Mehrdimensionale Integration

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Overview | Intuition

Wir wollen für eine Funktion in einem bestimmten Intervall berechnen, wie viel Fläche sie einschließen kann! Dafür müssen wir innerhalb dieses Bereichs stark approximieren, damit wir die entsprechenden Inhalte genau erhalten können.

Konzeptuell funktioniert das durch Nutzung der Streifen-Methode, wo man quasi “Rechtecke” bildet, die kurz unter oder über der Funktion selbst sind, und dann füllt man damit den Intervall / Bereich. Folden muss man jetzt noch dazu übergehen, diese Rechtecke in ihrer Breite immer weiter zu verringern, bis man anschließend eine sehr genaue / starke Annäherung erhalten kann.

Beschrieben dann mit

| Stammfunktion HDI - Hauptsatz der Inegration

[!Definition] Stammfunktion Sofern wir eine Stammfunktion einer Funktion $f$ berechnen können, also $F:[a,b]\to \mathbb{R}:F^{\prime }(x)=f(x)$ Es folgt dann hierbei: ${\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$

| Anwendung in Mehrdimensionalen Bereichen |

( 9.1 Vorbemerkung ) | häufige Nutzung von mehrdim Integralen

[!Information] Integrale bei mehrdim Funktionen In vielen Funktionen, die wir betrachten können, werden folgende Integral-Funktionen angewandt, welche wir folgend beschreiben können: $$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$ Sie können aber auch in einer Integraldarstellung auftreten, welche durch folgende FOrm beschrieben wird: $$F(x)={\int }_c^{d}f(x,y)dt$$ worin der Integrand vom Parameter $x$ abhängig ist!

Unter Betrachtung weiterer Funktion wird es jetzt interessant, wie sich beim ableiten dieser Funktionen der intern aufgesetzte Integral verändern wird / wie er aufgebaut ist / wird.

[!Information] Verhalten von ableitbaren Funktionen mit definiertem Integral

Betrachten wir jetzt die bekannte Gammafunktion, welche dann etwa folgend dargestellt wird: $\Gamma (x)={\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}\cdot e^{-t}dot,(x>0)$ Und selbiges können wir auch in der Laplace-Transformierten Funktion betrachten: $F(x)={\int }_0^{\infty }f(t)\cdot e^{-xt}dt$ –> Aus all diesen Beispielen möchten wir beispielhaft vielleicht eine Ableitung bilden, welche wir erst umsetzen und berechnen müssten. Die Frage ist, wie wir da vorgehen würden, bzw wie wir das erzielen können –> Für die Differentation und anschließenden Integration dieser obigen Funktionen, reichen uns diverse Inhalte und Sätze aus Kapitel 8 –> mehrdim Analysis

( 9.2 Satz ) | Existenz Integralfunktion in mehrdim

[!Definition] Sei folgend $D=[a,b],[c,d],x\subseteq {\mathbb{R}}^2$ ( also etwa ein abgeschlossenes Rechteck im zweidimensionalen Raum!) Weiterhin haben wir eine Funktion $:D\to \mathbb{R}$, die stetig ist! Dann gilt jetzt: Wir können die INtegralfunktion ( Aufleitung von $f$ lol) $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ mit folgender Struktur $$F(x)={\int }_c^{d}f(x,y)dt$$ und wir wissen, dass sie existiert und weiterhin auch stetig ist!

Wir können noch ferner eine Aussage über die partiellen Ableitungen treffen:

[!Definition] zusätzliche Existenz Es existiert zusätzlich eine partielle Ableitung $\frac{{\partial }^{1}f}{\partial x}\leftrightarrow f_x$ und diese ist stetig / diffbar. Und weiterhin ist F diffbar mit: $F^{\prime }(x)={\int }_c^d{f}_x(x,t)dt,\forall x\in [a,b]$ Das heißt, dass wir hier einfach gemäß der betrachteten Funktion ableiten werden und diese in dem Integral ersetzen (( dann hat es sich erledigt ! ))