Folgen ::

Definition einer Folge:

#def

Eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist eine Abbildung von der Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ in eine Menge M. - Oft ist M eine echte Teilmenge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ Das n eine jeden Gliedes $a_n[n=1,2,3,4,5,\dots ]$ heißen Index und jedes beschrieben Element mittels des Index, also $a_1,a_2\dots a_n$ heißen Glieder der Folge.

Das 1. Glied einer Folge muss nicht zwingend $a_1$ sein. Durch eine Umbenennung der Glieder - etwa $b_1=a_7\dots$ ist es auch Möglich eine Folge beginnend mit dem Index 7 zu erschaffen.

==Schreibweisen== ::

$(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ $(a_n{)}_{n\ge n_0}$
oder auch $(a_n)$ - oder $(a_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}_0}$

Beispiele für Folgen ::

1. $(an)=c\forall n\ge 1,c\in \mathbb{R}$ konstant == $(an{)}_{n\in \mathbb{N}}=(c{)}_n$ || (c,c,c, ….) konstante Folge
2. $(an)=n$ || (1,2,3,4,5,…) fortlaufende Folge
3. $(an)=(-1{)}^n$ || (-1,1,-1,1,-1,1,-1,….) Oszilierend | alternierend
4. $(an)=\frac{1}{n}$ || (1, 0.5, 0.25, …)
5. $(an)=[0,\frac{2}{n}]$ :: Eine Folge von Intervallen wird gebildet. Wobei die Intervalle von 0 bis 2/n immer kleiner werden.
6. rekursiv definiert : $a_1=1,a_{n+1}:=(n+1)\ast a_n(n\ge 1)$ ==> $a_2=2\ast a_1=2$ ==> $a_3=3\ast a_2=6$ …

Beschränktheit ::

#def Eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ reeller Zahlen heißt ==beschränkt==, wenn die Menge der Folgenglieder beschränkt ist. Das heißt, dass die ergebene Menge sowohl ==oben== als auch ==unten== beschränkt ist, also ein Supremum, Infimum existiert. D.h. es existiert eine Zahl K mit $|a_n|<=K\forall n\in \mathbb{N}$. Also eine Zahl, die immer größer ist als alle Folgenglieder. Daraus folgt dann, dass ==alle== Folgenglieder in dem Interval dieser Zahl K mit $[-K,K](-K\le a_n\le K\forall n)$ .

Alternierend ::

#def Eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ reeller Zahlen heißt ==alternierend==, falls ihre Glieder abwechselnd positiv und negativ sind. Beispiel wäre $(a_n):=(-1{)}^n$ ==> 1 mit n = gerade, -1 mit n = ungerade

Konvergenz einer Folge ::

1. Eine Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ reeller Zahlen heißt ==konvergent gegen== $a\in \mathbb{R}$, wenn es zu jeder positiven Zahl $ϵ>0$ ein $n\in \mathbb{N}$ gibt - welches von $ϵ$ abhängen kann, aber nicht muss! - so, dass gilt: 1.2. $|a_n-a|<ϵ\forall n\ge N$ Das heißt, dass eine Folge gegen einen Wert a konvergiert, wenn es für jedes beliebige $ϵ$ ein N gibt, sodass der Abstand, von allen nachfolgenden an von N, zum Wert a echt kleiner als $ϵ$ ist. 1.3. Die Folge nähert sich mit ihren Werten somit immer näher an eine bestimmte Stelle an, jedoch erreicht sie diese Stelle niemals und wird gegen diese konvergieren.

   1.4. $\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}:\forall n\ge N:|a_n-a|<ϵ)$

2. Die Zahl a heißt dann ==Grenzwert== oder ==Limes== der Folge, und wir schreiben die Eigenschaft der Folge wie folgt auf: $li{m}_{n⟶\infty }(an)=a$ oder alternativ $an⟶a$ für $n⟶\infty$ In Worten: “(an) strebt/konvergiert gegwn a”

3. Eine Folge, die gegen ==0 konvergiert== heißt ==Nullfolge==

4. Eine Folge, die nicht konvergiert, heißt ==divergent== bzw. die Folge divergiert

==Bemerkung zur Konvergenz==::

Man nutzt $ϵ$>0 als eine Schranke, wobei das Epsilon meist sehr klein gewählt wird - da der Abstand immer geringer werden sollte - um dann garantieren zu können, dass alle Folgenglieder ab einem bestimmten Index N weniger als Epsilon vom gesetzten Grenzwert a entfernt sind. Das heißt man setzt einen kleinen Abstand >0 voraus und muss dann zeigen können, dass diese Abstand ab einem bestimmten Index unterschritten bzw erreicht wird und sich die Folgenglieder somit immer näher an den Grenzwert setzen. Alternativ kann man es sich auch wie eine Tube vorstellen, die immer kleiner gewählt wird und darin dann alle nachfolgenden Elemente einkreist und in sich beinhaltet. Dabei kann es auch ein früheres Epsilon - größer, als ein späteres - geben, was mehr Element eindeckt. ![[Pasted image 20230109223058.png]] Mit der gegebenen Verteilung können wir immer weiter schauen, ob der Abstand der nachfolgenden Folgenglieder näher an unseren gesetzten Grenzwert angesetzt wird, oder nicht.

Beispiel : $a_n=\frac{1}{n}$

1. $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $an=\frac{1}{n}$ ist eine Nullfolge, das heißt :
2. $li{m}_{n⟶\infty }(\frac{1}{n})=0$, denn:
3. Sei ein $ϵ>0$ beliebig gewählt. Dann wähle N als $N>\frac{1}{ϵ}$, sodass dann für alle $a_{n}n\ge N$ gilt:
4. $|a_n-a|=|a_n-0|=|\frac{1}{n}-0|=\frac{1}{n}{\le }_{n\ge N}\frac{1}{N}{<}_{daN>\frac{1}{ϵ}}\frac{1}{\frac{1}{ϵ}}=ϵ$

#Tip Meist setzt man die Wahl für N erst, nachdem man mit einer genaueren Überlegung - Abschätzung bestimmt hat, wie groß N sein muss. ==Further== N muss nicht genau gesetzt werden

In diesem Falle etwa mit :$\frac{1}{N}{<}^{!}ϵ⟷N>\frac{1}{ϵ}$ sodass man damit resultiert und N bestimmen kann.

Nehme man beispielsweise $ϵ=\frac{1}{10}$ dann wähle man N>10, also beispielsweise N=11. ab $a_{11}$ müssen dann alle Folgenglieder (12,13,…) einen kleineren Abstand als $ϵ$ also $\frac{1}{10}$ zu 0 haben. Das stimmt offentsichtlich, da $|\frac{1}{11}-0|<\frac{1}{10}$ für alle Glieder größer und gleich 11

Beispiel : $a_n=\frac{n+1}{3n}$ ::

$li{m}_{n⟶\infty }{a}_n=\frac{1}{3}$: Sei $ϵ>0$ beliebig gewählt. Wähle $N>\frac{1}{3ϵ}$ Für alle $a_{n}n\ge N$: $|a_n-a|=|\frac{n+1}{3n}-\frac{1}{3}|=|\frac{n+1-n}{3n}|=\frac{1}{3n}\le \frac{1}{3N}<ϵ$ the letter step due to $N>\frac{1}{ϵ3}$

Beispiel : $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit $a_n=c$

$li{m}_{n⟶\infty }{a}_n=c$ Sei $ϵ>0$ beliebig. Dann gilt : $|a_n-a|=|a_n-c|=|c-c|=0<ϵ\forall n\ge 1$ Sodass wir N mit =1 wählen können, da der Abstand immer 0 und somit kleiner $ϵ$ sein wird.

#Tip N hängt hier nicht von $ϵ$ ab was normalerweise untypisch ist, aber vorkommen kann.

N muss nicht optimal gewählt sein ::

Es ist nicht zwingend notwendig groß N so zu wählen, dass es der optimalen Lösung entspricht. Zum Teil ist es möglich via Abschätzungen N grob bestimmen zu können.

$li{m}_{n⟶\infty }\frac{1}{n^3+n+5}=0$ Den Term so umzustellen, dass N damit definiert werden kann, ist aufwendig. Man müsste hier nach N auflösen, was schwierig ist: Der Ansatz für das optimale N:$|\frac{1}{n^3+n+5}-0|=\frac{1}{n^3+n+5}\le \frac{1}{N^3+N+5}<ϵ$ Man kann hier jedoch auch grob abschätzen : $\frac{1}{n^3+N+5}<\frac{1}{N}⟹N>\frac{1}{ϵ}$

Jede Konvergente Folge ist beschränkt :

#def

Beweis :: Es ist zu zeigen $\exists K\in \mathbb{N}$ so, dass $|a_n|\le K\forall n\in \mathbb{N}$

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergent gegen a : $li{m}_{n⟶\infty }{a}_n=a$ Dann $\exists \forall ϵ>0:N\in \mathbb{N},|a_n-a|<1\forall n>N$ auch für den Fall $ϵ=1$

Es gilt demnach $\forall n\ge N:|a_n|=|a_n-a+a|$ $\le |a_n-a|+|a|$ Gemäß der Dreiecksungleichung - $|x+y|\le |x|+|y|$ können wir daraus schließen: $<1+|a|$ Also: für $n\ge N$ sind die $|a_n|<1+|a|$ für die rest;ichen, also alle $n<N$ gilt dies ebenfalls.

Wir definieren K also so $L:=max\{|a_1|,|a_2|,\dots ,|a_{n-1}|,|a|+1\}$ Damit gilt dann $|a_n|\le K\forall n\in \mathbb{N}$

Äquivalenz zwischen Konvergenz und Beschränkung ::

Nach dem obigen Satz gilt hier dann ::

$(a_n)$ konvvergiert $⟹(a_n)$ ist beschränkt | $A⟹B$ Weiterhin ist das äquivalent zu der Kontraposition der obigen Aussage :: $\neg B⟹\neg A$:: $(a_n)$ ist nicht beschränkt $⟹(a_n)$ konvergiert nicht

unbeschränkte Folgen sind demnach immer divergent!

$(an)=a_n=n$ > konvergiert nicht und ist auch nicht beschränkt.

Wichtig ist jedoch, dass diese Implikation nicht immer stimmt Es existieren beschränkte Folgen, welche nicht konvergieren: $(an)=a_n=(-1{)}^n$ Diese Folge ist beschränkt mit [-1,1] aber nicht konvergierend.

Beispiel :: ==Geometrische Folge== ::

Für $q\in \mathbb{R}$ gilt : $li{m}_{n⟶\infty }{q}^n=0,$ falls $|q|<1$ 1, falls $q=1$ $li{m}_{n⟶\infty q^n}=0\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{0\text{falls}|q|<1}{1,\text{falls}q=1}\right)$
Die Folge $(q^n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ divergiert demnach immer dann, wenn q= -1 oder $|q|>1$

Beweis für diese Aussage ::

1. Fall $|q|<1$ Zu zeigen ist : $q^n⟶0$ konvergiert

Sei $ϵ>0$ beliebig gewählt. Dann ist $|q^n-0|=|q^n|=|q{|}^n<ϵ$ $⟺n\ast ln(|q|)<lnϵ⟺n>\frac{lnϵ}{ln|q|}$

Damit haben wir eine Bestimmung für N gefunden

Wähle $N>\frac{lnϵ}{ln|q|}$, dann ist also $|q{|}^n<ϵ\forall n\ge N$ 2. Fall q = 1 Ist q =1 ist $a_n=|q{|}^n=1^n$ eine konstante Folge.

3. Fall $|q|\ge 1$: für $|q|>1$ ist $(q^n)$ unbeschränkt und divergiert demnach auch.

Den Fall q= -1 können wir erst mit Cauchyfolgen beweisen.

Rechenregeln für konvergente Folgen ::

Seien $(a_n),(b_n)$ reelle Folgen mit $li{m}_{n⟶\infty }{a}_n=a,li{m}_{n⟶\infty }{b}_n=b$ Dann gelten folgende Regeln ::

1. Die Folge $(c\ast a_n)$ konvergiert gegen c*a, wobei $c\in \mathbb{R}$ eine Konstante ist.
2. Die Folge $a_n+//-b_n$ konvergiert gegen a + / - b
3. Die Folge $(a_n\ast b_n)$ konvergiert gegen a*b
4. Die Folge $(\frac{a_n}{b_n})$ konvergiert gegen $a/b$ falls $b\ne 0$ und $|a_n|⟶|a|$

Sei weiter $(d_n),(e_n)$ reelle Folgen mit $li{m}_{n⟶\infty }(dn)=0$ Also dn ist eine Nullfolge. Dann gilt :: 5. Ist $(e_n)$ beschränkt, so ist $(d_n\ast e_n)$ auch eine Nullfolge. 6. gilt $|e_n|\le d_n\forall n$ So ist (en) auch eine Nullfolge.

Beweis ::

1. falls c=0 - konstante Nullfolge falls $c\ne 0$ Sei $ϵ>0$ Dann $\exists N\in \mathbb{N}:|a_n-a|<\frac{ϵ}{|c|}\forall n\ge N$ da ja $a_n$ gegen a konvergiert!

Dann ist aber: $|c\ast a_n-c\ast a|=|c\ast (a_n-a)|=|c|\ast |a_n-a|$ $<\frac{ϵ}{|C|}$ und somit $<ϵ|foralln\ge N$

Demnach können wir daraus schließen, dass $c\ast a_n⟶c\ast a\square$

2. Sei $ϵ>0:\exists N\in \mathbb{N}:|a_n-a|<\frac{ϵ}{2}\forall n\ge N$ da ja $a_n⟶a$ und nun existiert ein weiteres $N_1\in \mathbb{N}:|b_n-b|<\frac{ϵ}{2}\forall n\ge N_1$ da ja $b_n⟶b$ Dann gilt weiterhin auch $|(a_n+b_n)-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|{\le }^{\text{Dreiecksungleichung}}|a_n-a|+|b_n-b|$ wobei beide Terme $<\frac{ϵ}{2}<\frac{ϵ}{2}+\frac{ϵ}{2}=ϵ$ $\forall n\ge (N\wedge N_1)$ Somit gilt dann, dass die Summe beider Folgen immernoch konvergieren.

Weitere Beispiele ::

$\frac{(-1{)}^n+5}{n}⟶0$

Dies stimmt, da $\frac{1}{n}⟶0li{m}_{n⟶\infty }$ ( erste Folge) und $(-1{)}^n+5$ ist beschränkt, da $|(-1{)}^n+5|\le 6\forall n\in \mathbb{N}$ >> somit kann man mit Nullfolge + beschränkte Folge ==> Nullfolge argumentieren.

$\frac{3n^2-2n+1}{-n^2+n}⟶-3$

Denn wir können die größte Potenz herausziehen und dann somit zeigen, dass wir einen Grenzwert haben! #Tip

$\frac{3n^2-2n+1}{-n^2+n}=\frac{n^2\ast (3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2\ast (-1+\frac{1}{n})}⟹-3$ Da :: $li{m}_{n⟶\infty }-1+\frac{1}{n}⟶-1$ und $li{m}_{n⟶\infty }3-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}⟶3$ sein wird.

wichtiges Beispiel ::

Sei $x\in \mathbb{R}$ mit $|X|<1$ also ist $|x|=\frac{1}{1+t},t>0$ Sei weiterhin $k\in {\mathbb{N}}_0$ Dann ist :: $li{m}_{n⟶\infty }{n}^k\ast x^n=0$ ![[Pasted image 20230113195248.png]] Wir wissen somit dann, dass $(1+t{)}^n$ ==schneller als jede Potenz $n^k$ wächst!==

Monotonie

#def Eine Folge reeller Zahlen (an) heißt ::

1. (streng) monoton steigend/wachsend, wenn gilt : $a_{n+1}\ge a_n\forall n\in \mathbb{N}$ oder (>, wenn streng monoton steigend)

2. _(streng)monoton fallend wenn gilt :: $a_{n+1}\le a_n\forall n\in \mathbb{N}$ oder (<, wenn streong monoton fallend)

3. monoton, falls 1. oder 2 gilt.

Beispiel $a_n=\frac{1}{n}$

die Folge ist streng monoton fallend, ab n=1.

Beispiel : $a_n=(-1{)}^n$

die Folge ist nicht monoton, da sie alterniert und somit die Bedinungen nicht erfüllt werden!

Wie zeigt man jetzt, dass Monotonie erzielt wurde ? ::

Man kann die Monotonie zeigen, indem man folgende Rechnung einbringt. Prinzipiell betrachtet man das vorherige Element und muss dann zeigen, dass die Differenz zwischen dem Nachfolger und vorherigen Element größer 0 ist >> Monoton steigend!. $a_{n+2-a_n}\ge 0\forall n\in \mathbb{N}$ oder alternativ, wenn alle $a_n>0:\frac{a_{n+1}}{a_n}\ge 1\forall n\in \mathbb{N}$

Monotone Konvergenz :: 7.19!

#def Jede beschränkte monotone Folge reelle Zahlen $(a_n)$ konvergiert gege ::

1. __$sup\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$, falls an monoton steigend ist

2. __$inf\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$, falls an monoton fallend ist.

Beweis dazu ::

Sei (an) monoton steigend und beschränkt:

Es folgt : $\{an:n\in \mathbb{N}\}\subseteq \mathbb{R}$ ist beschränkt ==> es existiert demnach ein $S:=sup\{an:n\in \mathbb{N}\}\in \mathbb{R}$

Wir zeigen weiterhin :: $a_n⟶Sn⟶\infty$ Sei $ϵ>0$ und beliebig. Zu zeigen ist, dass $\exists N\in \mathbb{N}:|a_n-S|<ϵ\forall n\ge N$: Es gilt $a_n\le S\forall n\in \mathbb{N}$, also müssen wir zeigen: $S-a_n<ϵ\forall n\ge N$ S ist dabei die kleinste obere Schranke, also wäre $S-ϵ$ keine obere Schranke –> Wert wird ja kleiner sein, als unsere eigentlich Schranke! ==> $\exists N\in \mathbb{N}:a_n>S-ϵ\forall n\ge N⟹S-a_n<ϵ\forall n\ge N$

Wir beweisen hier demnach so, dass wir zeigen, dass für JEDES Epsilon ein N gefunden werden kann, sodass anschließen die Differenz zwischen der Schranke und des N kleiner ist –> Also ihr Abstand beliebig klein wird!, da unsere Folge ja immer größer wird und irgendwann bei S konvergieren wird!

==Der Beweis für monoton fallende Folgen ist analog dazu gesetzt!==

Intervallschachtelungsprinzip ::

#def

Seien $(a_n),(b_n)$ reelle Folgen mit :

• (an) ist monoton steigend
• (bn) ist monoton fallend
• (an)$\le$ (bn) für alle n in N
• (bn)-(an) konvergiert gegen 0 für n gegen unendlich

Dann sind beide Folgen konvergent und besitzen den selben Limes ==> sie konvergieren gegen den gleichen Wert!

Logisch, wenn man betrachtet, dass an steigt und bn sinkt und die Differenz aus beiden dennoch gegen 0 konvergiert, also sich ihre Werte irgendwann annähern werden!

Beweis Intervallschachtelungsprinzip ::

$(a_n).(b_n)$ konvergieren nach den Rechenregeln für Kompositionen von Funktionen.

(an) ist monoton steigend, und beschränkt, was heißt :: $a_n\le b_n\forall n$ und demnach auch $a_n\le b_1$ schließlich werden alle nachfolgenden (bn) kleiner sein als b1

(bn) ist monoton fallend, und beschränkt, was heißt :: $b_n\ge a_n\forall n$

Da (bn)-(an) eine Nullfolge ist, sind auch die Grenzwerte gleich, weil sie sich sonst nicht gegenseitig auscanceln würden.

Weitere Informationen, um Konvergenzen zu zeigen ::

[[math1_konvergenzZeigen]]

Teilfolgen ::

#def

Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge und $(n_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine streng monoton steigende Folge von Indizes.

–> also der Anstieg der Indizes steigt streng an und alterniert nicht oder ähnliches : (n1< n2 < n3 < n4 …) wobei nur die Indizes nicht die Werte betrachtet werden!

Dann heißt die Folge $(a_{n_{n_k}}{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Teilfolge von $(a_n)$.

eine Teilfolge ist also imemr dann vorhanden, wenn wir aus der ursprünglichen Folge bestimmte Glieder weglassen >> etwa alle ungeraden, alle geraden oder einfach bestimmte Indizes.

Beispiel $(a_n)=((-1{)}^n)$

Wir wissen, dass diese Folge alterniert. Setzen wir nun einen neuen Indikator: $n_k=2n$, dann ergibt unsere neue Teilfolge $a_{2n}=1\forall n\in \mathbb{N}$ . Wir haben hier also alle geraden Elemente in der Teilfolge gesammelt und somit den Häufungspunkt! als Grenzwert 1 gesetzt.

Gleichzeitig können wir das auch für alle ungeraden Glieder vornehmen :: Setzen wir $n_l=2n+1$, dann ergibt unsere Teilfolge $a_{2n+1}=-1\forall n\in \mathbb{N}$ Denn wir sammeln nur noch die ungeraden Potenzen, wo -1 herauskommt.

Konvergenzen von Teilfolgen:

Es gilt $a_n$ konvergiert gegen a $⟹$ jede Teilfolge von $a_n$ konvergiert ebenfalls gegen a.

Häufungspunkte }

#def

Sei $(a_n)$ eine reelle Folge. Eine Zahl $k\in \mathbb{R}$ heißt dann Häufungspunkt von $(a_n)$, wenn es eine Teilfolge von $a_n$ gibt, die gegen diese Zahl $k$ konvergiert.

Häufungspunkte müssen also nicht zwingend das Supremum / Infimum der Folge sein, sondern einfach eine Zahl, die sehr oft auftritt und man durch weglassen von weiteren Werten aus der Folge, dann eine Teilfolge finden kann, die nur gegen diesen Wert konvergiert.

Alternierende Folgen, wie $(-1{)}^n$ haben so dann Häufungspunkte bei 1 und -1, denn man kann für beide jeweils Teilfolgen finden, wie in [[math1_Folgen#Beispiel $(a_n)=((-1)n)$]] zu sehen.

größte und kleinste Häufungspunkte von Folgen ::

#def

Sei $(a_n)$ eine reelle und beschränkte Folge. Dann gibt es einen größten und einen kleinsten Häufungspunkt.

Der größte Häufungspunkt :: Limes superior von $(a_n)$ wird bezeichnet mit $li{m}_{n⟶\infty }sup{a}_n$

Der kleinste Häufungspunkt :: Limes inferior von $a_n$ wird bezeichnet mit $li{m}_{n⟶\infty }inf{a}_n$

Weiter setzen wir :

den Limes superior als : $li{m}_{n⟶\infty }sup{a}_n:=\left\{\begin{array}{c}\infty \text{wenn an nicht nach oben beschra¨nkt ist}\\ -\infty ,\text{wenn}{a}_n⟶-\infty :\forall k>0\exists N:a_n\le -K\forall n\ge N\end{array}\right\}$

den Limes inferior als : $li{m}_{n⟶\infty }inf{a}_n:=\left\{\begin{array}{c}-\infty \text{wenn an nicht nach unten beschra¨nkt ist}\\ \infty ,\text{wenn}{a}_n⟶+\infty :\forall k>0\exists N:a_n\ge -K\forall n\ge N\end{array}\right\}$

==Achtung== $\infty ,-\infty$ sind keine reellen Zahlen! Man erweitert hier $\mathbb{R}$ um zwei ideelle Elemente $-\infty ,\infty$ und setzt $/\mathbb{R}=\mathbb{R}\cup \{-\infty ,\infty \}$ und erweitert die Ordnungsstruktur auf $\mathbb{R}$ durch $-\infty <x<\infty \forall x\in \mathbb{R}$

Mit dieser Festlegung besitzt jede reelle Zahlenfolge sowohl limes superior als auch limes inferior.

Beispiele dafür ::

1. $a_n=\frac{n+1}{n}li{m}_{n⟶\infty }sup{a}_n=li{m}_{n⟶\infty }{a}_n=1$

   Beide N gehen gegen unendlich und verschlingen sich dabei gegenseitig, wobei der kleine Wert von 1 keinen so großen Einfluss hat, und man somit den Limes inferior und superior auf 1 setzt.

2. $a_n=(-1{)}^n$ lim sup = 1, lim inf = -1

3. $a_n=(-1{)}^n\ast n$ lim sup =$\infty$ lim inf = $-\infty$

4.$a_n=n\ast (1+(-1{)}^n)$ : lim sup = $\infty$ lim inf = $-\infty$