Weiterführende Funktionen-Analyse

dient als Weiterführung der [[math1_Funktionsgrenzwerte]], welche primär Stetigkeit betrachtete und nun werden aus dieser Eigenschaft weitere gefunden

Betrachtung von Funktionen mit abgeschlossenen Intervallen ::

Sei $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ dann besitzt diese Funktion wichtige Eigenschaften:

• Zwischenwerteigenschaften
• Wir können Maxima und Minima der Funktion betrachten und bestimmen

Zwischenwertsatz von Bolzano - Nullstellenwertsatz ::

==Ein relativ wichtiger Satz der Analysis ^==

Betrachten wir eine Funktion $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ welche stetig ist. Weiterhin gilt : $f(a)<0\wedge f(b)>0$

Selbiges gilt auch für $f(a)>0,f(b)<0undf(a)\ast f(b)<0$

Dann existiert ein $c\in [a,b]$ mit $f(c)=0$ – also f hat eine Nullstelle irgendwo im Intervall [a,b]

Logisch betrachte man, dass sie im negativen Bereich startet und anschließend im positiven Bereich enden wird. Wir wissen also, dass es irgendwann einen Übergang von -x zu +x geben wird. Weiterhin wissen wir, dass x=0 existiert, da die Funktion stetig ist.

Beweis der Aussage ::

Wir können das Bijektionsverfahren anwenden - Auch als Intervallschachtelungsprinzip bezeichnet.

Wir starten mit : $[a,b]:=[a_1,b_1]$

Wir setzen einen bestimmten Intervall, welcher sich innerhalb des Intervalles befindet.

Schritt 1:: wir halbieren den Intervall und berechnen : $y_1=f(\frac{a_1+b_1}{2})$ also die Mitte des derzeitigen Intervalles ![[Pasted image 20230131172745.png]]

Da wir wissen, dass der Intervall von negativ zu positiv wechselt, befinden wir uns nun in einem der drei Fallunterscheidungen:

1. Das unser Wert noch im negativen Bereich ist
2. Das unser Wert schon im positiven Bereich ist
3. Das unser Wert 0 ist –> wir somit die Nullstelle gefunden haben.

Jetzt stehen uns 3 Fälle zur Verfügung ::

Fall 1: Funktionswert ist kleiner 0 $y_1<0$::

Wir sind noch im negativen Bereich

Wir setzen unseren neuen Intervall So, dass wir anschließend näher zum Nullpunkt kommen - wir also den Intervall in Richtung der negativen Werte verkleinern. Dafür definieren wir den Intervall, wie folgt: $[a_2,b_2]:=[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$ und verringern so den betrachteten Intervall. Wir wissen, dass sich der Nullpunkt hier also weiter Rechts vom Mittelpunkt befinden muss ![[Pasted image 20230131173151.png]]

Fall 2: Funktionswert ist größer 0 $y_1>0$:

Wir setzen also analog zum ersten Fall unseren Intervall so, dass die neu betrachtete Menge weniger positive Werte beinhalten wird und wir somit näher zum Nullpunkt kommen werden. Wir setzen den neuen Intervall, wie folgt : $[a_2,b_2]:=[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]$ ![[Pasted image 20230131173434.png]]

Fall 3: Funktionswert ist genau 0 $y_1=0$: In diesem Fall haben wir bereits den gesuchten Nullpunkt innerhalb des Intervalles gefunden, und müssen nicht weiter suchen.

Nach diesem Schritt gilt:: $[a_2,b_2]$ ist halb so groß wie der vorherige Intervall $[a_1,b_1]$ und weiterhin $f(a_2)<0,f(b_2)>0$

Wir haben also die Suche weiter eingeschränkt und können besser weitersuchen.

Schritt 2:: Wir halbieren den Intervall nochmals, und berechnen den zweiten Punkt : $y_2=f(\frac{a_2+b_2}{2})$ Auch hier betrachten wir, wie in Schritt 1 alle drei Fälle und konstruieren danach den nächsten Intervall.

Für die Folge $([a_n,b_n]{)}_n$ - also die N-te Abfolge dieser Operation -gilt dann:: $(a_n)\uparrow$ ist monoton steigend $(b_n)\downarrow$ ist monoton fallend und weiterhin : $b_n-a_n⟶0$

$⟹$ ==Intervallschachtelungsprinzip== $\underset{n⟶\infty }{\lim }{a}_n=\underset{n⟶\infty }{\lim }{b}_n=:c$ Also wir haben einen gemeinsamen Punkt gefunden, der beide Folgen konvergieren lässt. da beide Folgen im Intervall beschränkt und monoton steigend / fallend sind, können wir den Punkt auch eindeutig bestimmen!

Es folgt demnach $f(a_n)\le 0,f(b_n\ge 0)$ : Da $f$ stetig ist, gilt dann : $\underset{n⟶\infty }{\lim }f(a_n)=f(c)$ und $\underset{n⟶\infty }{\lim }f(b_n)=f(c)$

$⟹f(c)=0$

Also hat unsere Funktion $f$ eine Nullstelle an Konstante C!

Dieses Verfahren wendet man auch zum Beweisen von Nullstellen an!

Was wir daraus folgern können ist folgender Satz :

Vollständigkeit des Wertebereichs :

Sei $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Weiterhin ist $y\in (f(a),f(b))$ Also zwischen f(a) und f(b). $⟹$ Dann gibt es ein $\overline{x}\in [a,b]:f(\overline{x})=y$

F nimmt im Intervall [a,b] also definitiv jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an!.

Beweis der Aussage ::

oBdA - Es gilt zu erklären : Sei $f(a)\le y\le f(b)$. Dann definieren wir eine Funktion $g:[a,b]⟶\mathbb{R}|x⟼f(x)-y$

Alle folgenden Aussagen bilden eine gemeinsame Folgerung : $g(a)\le 0⟶f(a)-y=f(a)\le y$ $g(b)\ge 0⟶f(a)-y=f(a)\ge y$ g ist eine stetige Funktion

$⟹\exists c\in [a,b]$ sodass $g(c)=0$ –> Argumentation durch den Zwischenwertsatz – es muss einen Wert geben, der sich mit dem gesuchten y genau zu einer Nullstelle formt. Also es existiert dann ein Funktionswert, der mit $y$ resultiert –> das was wir gesucht haben!. Es folgt : $g(c)=f(c)-y=0$ Also $f(c)=g(c)+y=0+y=y$.

#Tip Wir bauen eine Hilfsfunktion, sodass wir anschließend den Zwischenwertsatz anwenden können –> wir finden ein paar so, dass wir anschließend passend die Nullstelle bestimmen können.

Anwendung dieses Satzes ::

1. Existenz von Nullstellen
2. Existenz von Lösungen einer Gleichung
3. Kamel, Tisch, Antipoden, Käsebrot (?)
4. Existenz stetiger Umkehrfunktionen
5. Charakterisierung von stetigen Funktionen

Monoton wachsend/fallende Funktionen

Sei $f:D\mathbb{R}$ Die Funktion $f$ heist (streng) monoton wachsend oder fallend wenn gilt :

Sei $x,y\in D:x<y$ Dann ist $f(x){\le }_{<,streng}f(y)$ (streng mit >) monoton wachsend bzw $f(x){\ge }_{>,streng}$ (streng mit <) monoton fallend.

injektivität auf D

Sei $D\subseteq \mathbb{R},f:D⟶\mathbb{R}$ eine stetige Funktion. Dann gilt

Ist f injektiv auf D $⟺$ f ist streng monoton auf D

Das heißt, dass in unserer Betrachtung jedem Wert in D erreicht mit f(x) maximal einmal getrofffen wird ==> $\forall x‘,x\in D:f(x)=f(x‘)⟹x=x‘$

Beweis der Aussage ::

Beweis von $⟸$ : Sei $x\ne y$, also etwa x<y: f ist streng monoton $⟹$ $f(x)<f(y)$ oder $f(x)>f(y)$ also $f(x)\ne f(y)$ –> definition von Injektivität

Beweis von $⟹$ : f injektiv $⟹$ f ist streng monoton - für f stetig!

Wir zeigen dass f nicht streng monoton $⟶$ f nicht injektiv:

Sei f nicht streng monoton, dann gilt für ein y mit $x<y<z$ aus D: $f(x)\le f(y)\wedge f(y)\ge f(z)$ bzw $f(x)\ge f(y)\wedge f(y)\le f(z)$

Gemäß des Zwischenwertsatzes können wir jetzt folgen : F nimmt in $[y,z]$ jeden Wert zwischen f(x) und f(y) an. Bzw jeden Wert von $[z,y]$ also f(y) und f(z).

Daraus können wir folgern : $⟹$ mindestens ein Wert wird doppel angenommen $⟶$ dann ist f aber nicht mehr injektiv!

Die Aussage ist nur eine Implikation, gilt also nur in eine Richtung!

![[Pasted image 20230203154858.png]]

Minimax-Theorem von Weierstraß ::

Jede stetige Funktion $f"[a,b]⟶\mathbb{R}$ ist:

• beschränkt das heißt, $\exists K\in \mathbb{N},f(x)\in [-K,K]\forall x\in [a,b]$

Sie deckt also einen bestimmten, dabei beschränkten Wertebereich ab, denn da sie stetig ist, befinden sich alle Werte in einer Abhängigkeit innerhalb der gültigen Funktionsaufrufe.

• besitzt sowohl Minimum, als auch Maximum,
  • $\exists x_{\ast }\wedge x^{\ast }\in [a,b]$ sodass: $f(x_{\ast })\le f(x)\le f(x^{\ast })\forall x\in [a,b]$
  • $x_{\ast }$ wird dann Minimalstelle, und $x^{\ast }$ Maximalstelle genannt

Wir haben also Stellen innerhalb des Intervalles, an welchem die Funktion einen maximalen Wert oder minimalen Wert annimmt, welcher innerhalb des Def-Bereiches nicht mehr überstiegen wird .

Beweis :

Unter Anwendung des [[#Betrachtung von Funktionen mit abgeschlossenen Intervallen ::]] Intervallschachtelungsprinzipes kann man die maxima und minima, sowie die Beschränktheit bestimmen und beweisen.

==Wichtig== ist zu betrachtenn, dass die Aussagen über das globale Maximum/Minimum nicht eindeutig sein müssen / sind.

Betrachtung von Beispielen :

![[Pasted image 20230203155902.png]] In gezeigtem Beispiel lässt sich kein eindeutiges maximum/minimum finden, bzw lässt sich eines finden, jedoch nur in lokaler Umgebung!

![[Pasted image 20230203155937.png]] In diesem Beispiel sind all $x\in [a,b]$ gelegen und werden somit als Maximal- und Minimal-Stelle definiert –> Gemäß der Definition sind sie nicht eindeutig bestimmt!

![[Pasted image 20230203160330.png]] sie besitzt mehrere Maxima- und Minimalstellen – je nach Betrachtung! Falls nicht a;;e Vorbedinungen erfüllt sind, gilt der Satz nicht. Beispielsweise : $f(x)=\left\{\begin{array}{c}{x}^{2}x<1\\ 0x\le 1\end{array}\right\}$ auf $[0,2]$ ![[Pasted image 20230203160514.png]] Hier hat F kein definiertes Maximum im Intervall.

Theoretisch wäre es bei f(1), da ist jedoch f(x)=0 gemäß der Definition! –> linksseitig betrachtet gäbe es also einen Maximal-Wert

Definitionsbereich von f nicht abgeschlossen:: Sei $f(x):[0,3)⟶\mathbb{R}|x⟼x$

![[Pasted image 20230203160711.png]] Sie weist kein Maxima auf!

Definitionsbereich von f ist nicht beschränkt:: Sei $f(x):(0,\infty )⟶(0,\infty )|x⟼\frac{1}{x}$ ![[Pasted image 20230203160734.png]]Da sie konvergiert und somit niemals einen festen Intervall erreichen wird, hat sie kein Minima. Würden wir als Minima 0.00001 nehmen, dann würde weiterhin ein kleineres Minima 0.0000001 existieren etc ..

nicht stetige Funktionen mit Max/Min::

![[Pasted image 20230203160936.png]] Dennoch können nicht stetige Funktionen ein Maxima/Minima aufweisen.

Anmerkung ::

Das [[#Minimax-Theorem von Weierstraß ::]] Theorem gibt nur an, dass ein Max/Min existieren kann, gibt aber keine Aussage, wie man es ermittelt / finden kann.

Die Anwendung erfolgt nun mittels der Prüfung der Differenzierbarkeit :[[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]]