Reelle Funktionen ::

#def Eine reelle Funktion einer Veränderlichen, ist eine Abbildung $f:D⟼\mathcal{R}$, wobei $Dsubseteq(R)$ D.h. F ist eine eine endliche Vereinigung von Intervallen, z.B.::

Beispiele :

D = $D=(-\infty ,a]=\{x\in (R)|x\le a\}$ D = $(R{)}_0^{+}=[0,\infty ]$
D = $(-\infty ,\infty )=\mathcal{R}$

neue Funktionen aus alten, Kompositionen ::

Seien f,g Abbildungen mit : $D⟼\mathbb{R}$

Dann folgt :

==Summe / Differenz von F und G==

1. (f+-g)(x) := f(x) + g(x) $\forall x\in D$

==Produkt von F und G== 2. (f * g)(x) := f(x) * g(x) $\forall x\in D$ ==Quotient von f und G== 3. $(\frac{f}{g})(x):=\frac{f(x)}{g(x)}\forall x\in D$ Falls g(x) != 0 $\forall x\in D$
==Komposition / Hintereinanderausführung:== 4. $f:D_f⟼\mathbb{R},g:D_g⟼\mathbb{R}$, wobei $f(D_f)\subseteq D_g$ $D_F{⟼}^{f}f(D_f)\subseteq D_g{⟼}^g\mathbb{R}$ ==> $g\circ f:D_f⟶\mathbb{R}$ $x⟼g(f(x))$ “G nach F”

Elementare Funktionen - Naive Einführung dieser

Konstante Funktionen ::

für $c\in \mathbb{R}(fest):f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ | $x⟼c$ ![[Pasted image 20230109134436.png]]

Die identische Funktion : Identitäts(funktion)

$f:=\mathbb{R}⟶\mathbb{R}|x⟼x$ ![[Pasted image 20230109134430.png]]

==Durch mehrfache Anwendung von Kompositionen diverser Funktionen, entstehene viele Variationen dieser.==

Potenzen - Monome ::

für $n\in \mathbb{N}(fest):=f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}|x⟼x^n$ Mit n=0 folgt: $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}|x⟼x^0=1$ also die konstante 1-Funktion, siehe oben. Sofern n ungerade : f ist Punktsymmetrisch zum Ursprung, und somit auch injektiv

Sofern n gerade: f ist achsensymmetrisch zur y-Achse, nicht injektiv, da jedes Element zweimal vorkommt : Bsp $x^2⟶x=2,-2:4,4$ somit ist 4 nicht eindeutig bestimmt und kommt doppelt vor. Weiterhin gilt : $f(x)\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$

Wurzelfunktionen ::

Wurzelfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Mono,e. Dazu muss die Gleichung von $x^n=y$, wobei y in R gegeben ist, gelöst werden

Ist n ungerade: f ist injektiv, denn:

es gibt zu jedem $y\in \mathbb{R}$ genau ein $x\in \mathbb{R}$ mit $x^n=y$ sodass es die n-te Wurzel aus y bildet. == $x{=}^n\sqrt{y}$ :: $n\sqrt{}:=\mathbb{R}\to \mathbb{R}|x⟼n\sqrt{x}$

![[Pasted image 20230109165123.png]]

Ist n gerade : f ist nicht injektiv, da f(1)=f(-1) = 1

dann hat die Gleichung ${}^n=y\in \mathbb{R}$

• keine Lösung - falls y < 0
• genau eine Lößung, falls y = 0 –> genau dann, wenn x = 0
• zwei Lösung, falls y > 0:
  • $x1=\sqrt[n]{y}(>0)$
  • $x2=-\sqrt[n]{y}(<0)$ Die positive Lösung wird hier als n-te Wurzel bezeichnet, also $\sqrt[n]{:}{\mathbb{R}}_0^{+}⟶{\mathbb{R}}_0^{+}|x⟼\sqrt[n]{x}$ ![[Pasted image 20230109165112.png]]

Polynome – multiple Monome ::

$a_0,\dots ,a_n\in \mathbb{R}$ als Koeffizienten Polynome sind Funktionen: $p:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ $x⟼a_n{X}^n+a_{n-1}{X}^{n-1}+\dots +a_1{X}^1+a_0{X}^0=a_0⟺\sum _{k=0}^n{a}_k{X}^k$ Also eine Funktion, welche mehrere Exponenten beinhaltet, jedoch nicht alle ausfüllt bzw. nicht für jeden Exponenten einen Wert hat und somit arbiträr gekürzt dargestellt werden kann.

Rationale Funktionen ::

sind Quotienten von [[math1_reelleFunktionen#Polynome – multiple Monome ::|Polynomen]], also $f:D⟶\mathbb{R}|x⟼\frac{p(x)}{g(x)}\text{(p,q sind Polynome)}$ mit D = $\{x\in \mathbb{R}|q(x)\ne 0\}$

Exponentialfunktionen ::

sind Funktionen $f:\mathbb{R}⟶{\mathbb{R}}^{+}|x⟼q^x$, wobei die Basis $0<q\subset \mathbb{R}(q\ne 1)$ vorgegeben ist. - wieso darf q nicht kleiner 0 sein ?

Es folgen die Eigenschaften: ==q >1== : f steigt 0 < q < 1 : f wird fallen

Diese Definition entspricht einer naiven Einführung:: was soll $q^x$ sein für $x\notin \mathbb{N}$? >> $x\notin \mathbb{Q}$? not in R ? was können wir daraus folgern?

Bekannte Rechenregeln für Exponentialfunktionen::

1. $q^x\ast q^y=q^{x+y}$, $\frac{q^x}{q^y}=q^{x-y}$ –> Addition und Subtraktion
2. $(q^x{)}^y=q^{x\ast y}$ –> Multiplikation
3. $(p\ast q{)}^x=p^x\ast q^x,(\frac{p}{q}{)}^x=\frac{p^x}{q^x}$ -> Distributivgesetzmäßigkeiten.

Zur Beschreibung von exponentiellen Funktionen genügt es eine bestehende Basis zu benutzten - man kann g(x) = $p^x$ durch f(x) = $q^x$ ausdrücken. früher: Basis 10, heute: eulersche Zahl, In der Informatik oft Basis 2.

$exp:\mathbb{R}⟶{\mathbb{R}}^{+}|x⟼e^x$ some examples: exp(0)=$e^0=1$ exp(1)=$e^1$= e ![[Pasted image 20230109171906.png]]

Logarithmen ::

Die exponentielle Funktion $exp:\mathbb{R}⟶{\mathbb{R}}^{+}|x⟼e^x$ ist bijektiv. Ihre Umkehrung bedingt der Umformung und Lösung der Gleichung $e^x=y$. Die Lösung ist für y > 0 in $\mathbb{R}$ eindeutig und wird als der natürliche Logarithmus von y bezeichnet. Weiterhin ist er in $\mathbb{R},\text{mit }y<=0$ unlösbar.

Es folgt daraus : $x=lny$

Die Logarithmusfunktion :: $ln:{\mathbb{R}}^{+}⟶\mathbb{R}|x⟼lnx$ ![[Pasted image 20230109173250.png]]

Analog gilt für andere exponentielle Funktionen :

$f:\mathbb{R}⟶{\mathbb{R}}^{+}|x⟼q^x(q>0,q\ne 1)$ Es gilt somit : $q^x=y⟷x=lo{g}_{q}y$ Der Logarithmus zur Basis q Es genügt auch hier, eine feste Basis zu betrachten, beispielsweise e:: $q^x=(e^{lnq}{)}_{thatisq}^x=e^{x\ast ln\ast q}$

Wir können daraus folgern :

$q^x=y⟺e^{x\ast lnq}=y$ $⟺ln(e^{xln(q)})=lny$ $⟺xlnq=lng$ $⟺x=\frac{lny}{lnq}$

==ALSO== $lo{g}_q(y)=\frac{lny}{lnq}$ und damit gilt auch : $lo{g}_q(y)=\frac{lo{g}_b(y)}{lo{g}_b(q)}$ wobei b > 0 und != 1.

Weitere Rechenregeln für den Logarithmus:

Aus den Regeln der Exponential-Funktionen lassen sich die Regeln für den Logarithmus herleiten:

Sei u:= ln x. v:= ln y

Dann ist $x=e^u,y=e^v$ und somit folgt: $x\ast y=e^y\ast e^v=e^{u+v})$ also: $ln(x\ast y)=ln(e^{u+v})=u+v=lnx+lny$. Weiterhin kann man so auch mit einer beliebigen Basis q $>0,\ne 1$ verfahren. Daraus erhalten wir die ==Logarithmusfunktion==

$log:={\mathbb{R}}^{+}⟶\mathbb{R}:$

• $log(x\ast y)=log(x)+log(y)\forall x,y>0$
• $log(\frac{x}{y})=log(x)-log(y)\forall x,y>0$
• $log(x^a)=a\ast log(x)\forall x>0,a\in \mathbb{R}$

Weiterhin können noch [[math1_trigonomFunktion|Trigonometrische Funktionen]] betrachtet werden.