Matrizen - Determinanten :

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Zuvor möchten wir kleinere Teile von Matrizen betrachten, welche wir ferner auch mti Untermatrizen beschreiben möchten.

Untermatrizen:

Sei für die Definition $A\in M_n(K)$ und weiter auch $i,j=\{1,\dots ,n\}$ Wir möchten jetzt jeweils die i-te und j-te Spalte streichen, und so eine kleinere Matrix erzeugen. Wir definieren sie ferner mit $A_{ij}\in M_{n-1}(K)$, welche also alle Inhalte, außer die gestrichenen Enthält. Wir haben dabei die Struktur einer quadratischen Matrix beibehalten, aber diese um eins verkleinert.

Beispiel:

Betrachten wir folgende Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right)$ Ferner bezeichnen wir mit $A_{11}=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right)$ Wir nutzen also die Koordinate 1,1, um den Startpunkt zu definieren. Von diesem Punkt aus streichen wir dann die anliegende Reihe / Spalte weg. Also beispielsweise auch $A_{3,2}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right)$

Definition Determinanten:

Betrachten wir jetzt eine Matrix: $A\in M_n(K),A=(a_{ij}{)}_{i,j\in \{1,\dots ,n\}}$

1. Sei jetzt $n=1$, dann ist $A=(a)a\in K$, dann ist die $det(A)=a$. Also wenn wir eine 1-Matrix betrachten, dann ist ihre Determinante, gleich dem Eintrag.
2. Sei weiter $n>1$, dann ist die $det(A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}\cdot a_{1j}\cdot det(A_{1}j)$ Weiter ausgeschrieben heißt das dann: $a_{11}\dot{d}et(A_{11)}-a_{12}\cdot det(A_{12})+a_{13}\cdot det(A_{13})-\dots +\dots a_{1n}\cdot det(A_{1n})$ Bemerke, dass wir hier immer nur die oberste Zeile durchgehen und somit nur anhand dieser die Matrix aufteilen und dann die Determinante berechnen
   • Wir betrachten also die Summe aller berechneten Determinanten der Matrix, aufgeteilt in kleinere Matrizen. Dabei alternieren wir zwischen einem positiven / negativen Wert, also rechnen abwechseln $+$ und $-$. Wir starten mit $+$ ..

Für eine $(n\times n)$ Matrix erhalten wir zu Berechnung der Determinante bis zu $n!$ Summanden -> wir skalieren also sehr sehr schnell in unserem System.

Beispiele:

Betrachten wir folgende Matrizen: $det(\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right))=a_{11}\cdot a_{22}-a_{12}\cdot a_{22}$

[!Bemerkung] Denn wir betrachten nur die oberste Zeile ($a_{11},a_{12}$) und möchten dann jeweils die passende Spalte/Reihe streichen $\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& (a_{22})\end{array}\right)$
Wir entnehmen hier einfach $a_{22}$ und arbeiten mit diesem Datum, wir multiplizieren es mit $a_{11}$. Dieses Prozedere lassen wir nun auch für $a_{12}$ stattfinden, und erhalten damit $a_{12}\cdot a_{21}$

weiterhin auch: $det(\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right))$ $=a_{11}\cdot (a_{22}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{32})-a_{12}\cdot (a_{21}\cdot a_{33}-a_{23}\cdot a_{31})+a_{13}\cdot (a_{21}\cdot a_{32}-a_{22}\cdot a_{31})$

WIr können diese Betrachtung spezifisch für $3x3$ Matizen auch verallgemeinern / vereinfachen und beschreiben diese mit Regel von Sarrus

Regel von Sarrus - $3x3$-Matrizen:

Um dies anzuwenden, möchten wir jetzt die ersten Beiden Spalten nochmals rechts anhängen und können dann die Diagonalen von oben nach unten addieren und die Diagonalen Werte von unten nach oben subtrahieren
Ferner betrachten können wir aus einer obigen Matrix, dann folgende aufbauen $det(\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right))=det(\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& |& a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& |& a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& |& a_{31}& a_{32}\end{array}\right))$ und jetzt die Addition / Subtraktion aus folgenden Produkten bilden: $(a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33})+(a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31})+(a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32})-(a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13})-(a_{32}-a_{23}-a_{11})-(a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12})$

Determinante mit Dreiecksmatrix:

Betrachten wir eine Matrix, die in einer Dreiecksform auftritt, also : $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \dots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nm}\end{array}\right)$ oder auch $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & 0\\ 0& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \dots & a_{nm}\end{array}\right)$

Ferner ist dann für $n=1$ klar, dass die Determinaten auch wieder $det(A)=a_{11}=a$ ist.

Wir möchten ferner die vorher getätigte Definition [[#Definition Determinanten]] verallgemeinern, Dies führen wir mit dem Entwicklungssatz von Laplace durch.

Entwicklungssatz von Laplace:

Sei dafür eine Matrix $A\in M_n(K)$

1. Entwicklung nach der i-ten Zeile: Für $i\in \{1,\dots ,n\}$ gilt folgend: $det(A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}(det(A_{ij}))$ -> Also die alternierende Summe der einzelnen Zeilen!
2. Entwicklung nach der j-ten Zeile: Für $j\in \{1,\dots ,n\}$ gilt folgend: $det(A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot det(A_{ij})$ -> also die alternierende Summe der einzelnen Spalten

Wir können diese Berechnung also auch als ein Schachbrett betrachten: $det(A)=\left(\begin{array}{cccc}+& -& +& -\\ -& +& -& +\\ +& -& +& -\\ -& +& -& +\end{array}\right)$ und entsprechend addieren / subtrahieren wir die Einträge dann passend.

Beispiele:

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ -1& 0& 3\\ 2& 0& 4\end{array}\right)⟹\left(\begin{array}{ccc}+& -& +\\ -& +& -\\ +& -& +\end{array}\right)$ Mit den gegebenen Definitionen können wir jetzt die Determinante berechnen: Entwickeln wir nach der Zeile: $det(A)=2\cdot det(\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 4\end{array}\right))-1\cdot det(\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 4\end{array}\right))+1\cdot det(\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 0\end{array}\right))=10$
wir können die Determinante auch nach einer beliebigen Spalte aufbauen. Etwa die Dritte Spalte: $det(A)=2\cdot det(\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 3\end{array}\right))-0\dots +4\cdot det(\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 0\end{array}\right))=10$ man könnte aber auch nach der zweiten Spalten aufbauen: $det(A)=-1\cdot det(\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 4\end{array}\right))+0-0=10$

Folgerung des Entwicklungssatzes:

[!Bemerkung] Folgend folgt aus der vorherigen Definition, dass $det(A)=det(A^T)$, denn wir können die Determinante sowohl mit der Spalte als auch der Zeile berechnen. und sie sind äquivalent

Optimieren von Matrizen für Entwicklungssatz:

Falls es nur wenige Nullen gibt, können wir diese mit Gauß bearbeiten / generieren.

[!Error] Dabei kann sich die Determinante ändern, wie wir folgend definieren werden.

Eigenschaften von Determinanten :

Sei $A,B\in M_n(K)$ und ferner $s_1,\dots s_n$ die Spalten von $A$, und $s_i^{\prime }\in K^n,\lambda \in K$ Also $s_1,\dots ,s_n$ sind dann also $A=\left(\begin{array}{ccc}⋮& ⋮& ⋮\\ s_1& \dots & s_n\\ ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right)$ Wir möchten jetzt folgende Eigenschaften bestimmen:

[!Warning] Diese Sätze / Regeln werden hier spezifisch für die Spalten definiert. Jedoch gelten sie auch für Spalten, also die Veränderung der Matrix bzw. einer Spalte mit einer Multiplikation würde demnach auch die Determinante gemäß dieser Multiplikation verändern.

D1:

$=det(s_1\dots s_i,\dots ,s_n)+det(s_1,\dots ,s_i^{\prime },\dots ,s_n)$ Sofern wir also eine Matrix an einer gewissen Spalte aufspalten möchten, dann ist die Determinante der Matrix selbst, gleich der summierten Determinanten der beiden Matrizen, die wir durchs Aufspalten erhalten.

D2: Vorzeichenänderung:

D3:

D4:

Wir haben einen exponentiellen Anstieg nach ${}^n$ , denn wir können mit Hilfe von [[#D3]] folgend berechnen, dass wir für jede Spalte, die von $\lambda$ erweitert / verändert wird, auch die Determinante um dieses $\lambda$ multipliziert wird.

D5:

D6:

D7:

[!Bemerkung] sind $i\ne j$, dann folgt $det(s_1,\dots ,s_1+\lambda s_j,\dots ,s_n)=det(A)$ Wenn wir also eine Matrix haben und bei einer Spalte ein Vielfaches einer anderen addieren, dann ändert sich die Determinante nicht. Die Zeilenumformungen des Gauß-Algorithmus verändern also nicht die Determinante Beweis der Aussage: Unter Anwendung von [[#D1]][[#D3]][[#D6]] können wir dies passend umformen. Wir sehen dabei, dass sich die hinzuadierte Spalte und somit die theoretisch konstruierte Matrix dafür eine Determinante von 0 hat.

D8:

Bemerkung zu den Eigenschaften:

Sofern wir die Determinante einer großen Matrix bestimmen / berechnen möchten: Dann nutzen wir folgenden Ansatz:

1. Erzeuge mit dem Gauß’schen Algorithmus viele Null-Einträge

[!Error] wir müssen bei jeder Umformung von Typ [[#D2 Vorzeichenänderung]],[[#D3]] bedenken, dass sich die Determinante verändert! Dies geschieht jedoch nicht bei einer Umformung von [[#D7]]

2. Entwickle dann die Determinante, sofern wir passende Zeilen/Spalten haben, um dies zu berechnen
3. Alternativ: Bringen wir die Matrix auf die obere/untere Dreiecksform

Beispiel:

$M=det(\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ -2& 0& 3\\ 0& -2& 3\end{array}\right))$ Man könne hier schon nach der ersten Spalten auflösen, wir wollen sie aber weiter vereinfachen ${⟺}^{\text{I tausch II }}-det(\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& -2& 3\end{array}\right))$ ${⟺}^{\text{ III= 2II + III }}-det(\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right))=-(-2)\cdot 17=14$

Weitere Beispiele zur Bestimmung der Determinante: $\det (\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 0& 0\\ 4& 5& 6\end{array}\right))=0$ Denn wir haben eine Nullzeile ! [[#D5]] $\det (\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 4\\ 1& 2& 3\end{array}\right))=0$ -> denn wir sehen, dass die erste und dritte Spalte gleich sind und wir somit unter Anwendung von [[#D6]]

$\det (\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 4& 5& 2\end{array}\right))=0$ Denn wir wissen, dasss die erste und zweite Spalte linear abhängig sind. Alternativ könne man auch damit argumentieren, dass man den Faktor der Zeile II entnehmen und somit zwei identische Spalten erhält. Also $2\cdot \det (\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\\ 4& 5& 2\end{array}\right))=2\cdot 0$

Charakterisierung invertierbarer Matrizen über $det$:

Wir haben zuvor betrachtet, dass die Invertierbarkeit einer Matrize über den Rang definiert werden kann [[math2_Matrizen_Grundlage#Rang -> Invertierbar ?]]. Ferner möchten wir das jetzt noch ausweiten und ziegen, dass dies auch gilt, wenn wir die Determinante einer Matriz betrachten.

[!Satz] $A\in M_n(K)$ ist invertierbar $⟺det(A)\ne 0$ In diesem Fall gilt dann $det(A^{-1})=(det(A){)}^{-1}$ Also das multiplikative Inverse der Determinante ist die Determinante der inverierten Matriz Das heißt also, dass die Determinante in $\mathbb{R}$ folgend ist: $\frac{1}{det(A)},K=\mathbb{R},\mathbb{Q}$ Beispiel: ist die Determinante von $A⟶det(A)=5$ Dann ist auch $det(A^{-1})=\frac{1}{5}$

Beweis:

Betrachten wir zuerst die Implikation $⟹$: Sei $A$ demnach invertierbar, also $\exists A^{-1}:A\cdot A^{-1}=E_n$ Also folgendes [[math2_Matrizen_Grundlage#Invertieren einer Matrix]] Ferner gilt dann $⟹det(A\cdot A^{-1})=det(E_n)=1$ $=\det (A)\cdot \det (A^{-1}),\det (A)\ne 0\wedge \det (A^{-1})\ne 0$
Wir können dann passend auflösen: $⟹\det (A^{-1})=(\det (A){)}^{-1}$

Ferner möchten wir die zweite Implikation betrachten und beweisen $⟸$: Wir möchten es ferner mit der Kontraposition beweisen. Sei also $A$ nicht invertierbar. $⟹Rang(A)<n$ und es folgt $⟹$ Sapalten von $A$ sind linear abhängig und das heißt dann: $\exists \text{ Spalte }{s}_i=\sum _{k=1}^n{\lambda }_k\cdot s_k,k\ne i$ $\det (A)=\det \left(s_1,\dots ,s_i-\sum _{k=1}^n{\lambda }_k\cdot s_k,\dots ,s_n\right)=\det (s_1,\dots ,\mathcal{O},\dots ,s_n)=0$ Also wir haben unter Anwendung der Eigenschaften [[#D7]] gezeigt, dass die Determinante 0 sein muss, wenn $A$ nicht invertierbar ist -> also wir in dem Falle voneinander abhängige Vektoren haben und sie sich so neutralisieren.

Invertieren einer $A\in M_2(K)$ einfach:

Sei eine Matrix $A\in M_2(K)$ gegeben. Wir möchten jetzt die Inverse $A^{-1}$ berechnen.

Sei dafür $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in M_2(K)$ Wir können einfach folgern: $A^{-1}=(\det (A){)}^{-1}\cdot \left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ $=\frac{1}{\det (A)}\cdot \left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ falls $K=\mathbb{R}\vee \mathbb{Q}$ Ferner sehen wir hier auch schnell, dass bei einer $\det (A)=0$ die Invertierbarkeit nicht gegeben ist. Das haben wir auch schon mit dem Satz [[math2_Matrizen_Grundlage#Invertieren einer Matrix]]

Ferner möchten wir jetzt [[math2_Eigenvektoren]] betrachten