| Satz (3.27) | Hauptachsentransformation |

anchored to [[104.00_anchor_math]] proceeds from [[104.04_orthogonale_matrizen]]

Overview:

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Mit der Hauptachsenstransformation können wir eine gegebene Menge bzw Koordinaten-Representation so anpassen, dass diese auf eine Normalform gebracht werden kann. Das heißt wir beschreiben den gleichen Sachverhalt, aber in so einer Representation, die normalisiert ist.

| Definition | Bedingungen für $\mathbb{C}$ und $\mathbb{R}$

[!Definition] 1. Folgerung für Matrizen $\in \mathbb{R}$ Sei jetzt $A\in M_n(\mathbb{R})$ eine symmetrische Matrix. Dann ist $A$ orthogonal diagonalisierbar, also es existiert folgend ($\exists Q=\mathcal{O}(n{)}_{\text{also in der Orthonormalbasis}},D$ ist diagonal matrix, also folgt $A=Q\cdot D{Q}^T$ )

[!Definition] 2. Folgerung für Matrizen $\in \mathbb{C}$ Sei jetzt $A\in M_n(\mathbb{C})$ eine hermitesche Matrix. Dann ist $A$ unitär diagonalisierbar mit einer reellen Diagonalmatrix. Also auch hier muss dann gelten ( $\exists U\in U(n),D\in M_n(\mathbb{R}{)}_{\text{ diagonal}}$, sodass dann gilt: $A=U\cdot D{\overline{u}}^T$)

| Beweis |

Wir können den Beweis durch eine Induktion über $n$ konstruieren:

IA: Für $n=1$ Ist $A=(a)=D$ und somit gilt dann folgend $A=(1)\cdot (a)\cdot (1)$, und es ist die Matrix $A$ orthogonal diagonalisierbar.

IS: möchten wir jetzt von $n-1$ auf $n:\text{ Sei }n\ge 2$ Die Aussage gelte für eine symmetrische Matrix $A\in M_{n-1}(\mathbb{R})$. Es ist jetzt zu ziegen, dass dann auch jede symmetrische Matrix $A\in M_n(\mathbb{R})$ orthogonal diagonalisierbar ist.

Sei jetzt $A\in M_n(\mathbb{R})$ symmetrisch. Dann besitzt A auch einen Eigenwert $\lambda$. Wir haben dann die zugehörigen Eigenvektoren $v_1$ und wir können ihn folgend immer normalisieren!.

Wir ergänzen jetzt den Vektor $v_1$ zu einer ONB von $R^n$ unter Anwendung von [[104.05_orthogonalisierungsverfahren_gram_schmidt]]. Dann sei $Q$ eine Matrix mit den Spaltenvektoren $v_1,\dots ,vn$ ( also der ONB!). Jetzt ist $Q$ definitiv orthogonal, denn sie basiert auf einer ONB!

Wir setzten jetzt folgend: $B:=Q^T\cdot A\cdot Q$ ( um die Diagonale zu berechnen): $$B^T=(Q^T\cdot A\cdot Q{)}^T=Q^T\cdot A^T\cdot Q=Q^T\cdot A\cdot Q=B$$ und somit ist B symmetrisch! Dadurch gilt jetzt folgend: $Q\cdot e_1=v_1$ –> die Erste Spalte unserer konstruierten Matrix ist dann der Eigenvektor, den wir berechnet / bestimmt haben! somit gilt dann auch : $e_1=Q^T\cdot v_1$ ( also die Umkehrung!)

Damit lässt sich dann die erste Spalte der neuen Matrix B ( die die Diagonalmatrix werden soll!) folgend: $$\begin{array}{rl}B\cdot e_1=& Q^T\cdot A\cdot Q\cdot e_1\\ =& Q^T\cdot A\cdot v_1\\ =& Q^T\cdot \lambda v_1\\ =& \lambda Q^T\cdot v_1\\ =& \lambda e_1\\ =& \left(\begin{array}{c}\lambda \\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$ ( Also der Eigenwert und sonst nichts. )

Da B symmetrisch ist, ist dann auch die erste Zeile von B folgend: $$b=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 0& \dots & 0\\ 0& B& B& B\\ & & & \\ ⋮& B& B& B\\ & & & \\ 0& B& B& B\end{array}\right)$$ und hierbei ist die Matrix $B\in M_{n-1})\mathbb{R}$ auch Symmetrisch, denn B ist auch symmetrisch –> und sie ist ein Teil davon, also muss es auch da gelten!

Gemäß der Induktionsvoraussetzung existiert jetzt eine orthogonale Matrix $P\in M_{n-1}(\mathbb{R})$so dass folgend: $D=P^T\cdot B\cdot P$ wobei dann $D\in M_{n-1}(\mathbb{R})$ eine Diagonalmatrix ist.

Wir haben auch bestimmt, dass $B$ orthogonalisierbar ist, denn sie ist symmetrisch!. Daraus folgt jetzt: $$B=P\cdot D\cdot P^T$$

Wir können jetzt $P$ folgend setzen: $$P=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & 0\\ 0& P& P& P\\ & & & \\ ⋮& P& P& P\\ & & & \\ 0& P& P& \tilde{P}\end{array}\right)$$ und damit ist $P$ also auch orthogonal und wir können jetzt folgend umformen!

[!Important] Umformung zu $D$ $$P^T\cdot B\cdot P=\left(\begin{array}{cccc}\lambda & 0& \dots & 0\\ 0& D& D& D\\ ⋮& D& D& D\\ 0& D& D& \tilde{D}\end{array}\right):=D\in M_n(\mathbb{R})$$ Sie ist ebenfalls eine Diagonalmatrix!

Da $Q,P$ orthogonal ist auch $Q\cdot P$ orthogonal und somit folgt dann jetzt: $$(Q\cdot P{)}^T\cdot A(Q\cdot P)=P^T\cdot Q^T\cdot A\cdot Q\cdot P⟹D!$$

Wir haben gezeigt, dass $A$ orthogonal diagonalisierbar ist

Beispiel | Hauptachsentransformation

Wir möchten folgend ein Beispiel betrachten, um die Anwendung betrachten zu können.

Sei $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\in M_2(\mathbb{R})\text{ eine symmetrische Matrix}⟹\text{ sie ist orthogonal diagonalisierbar! }$$

[!Definition] Ablauf der Berechnung:

1. Wir möchten jetzt die Eigenwerte der Matrix berechnen, um die Form $Q\cdot D\cdot Q^T$ erhalten zu können.
2. Erstelle also das charakteristische Polynom durch $A-\lambda \cdot E_n$
3. finde dessen Nullstellen (( sie bilden dann die eigenwerte))
4. bilde die Eigenvektoren und bilde daraus $Q$ ( wenn sich keine Eigenwerte doppeln, dann sind die Eigenvektoren auch orthogonal zueinander!)
5. Wir bilden mit den Eigenvektoren jetzt eine ONB von aufgespannten Raum
6. Also die Eigenvektoren normieren!, danach haben wir eine normierte Basis!

Am beispiel heißt das jetzt - Eigenwerte berechnen ${\lambda }_1=5,{\lambda }_2=0$ Daraus jetzt die Eigenvektoren berechnen ( also in die Matrix einsetzen ) also folgend: $v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$ $\in V$

Wir möchten jetzt die Eigenvektoren normalisieren: $v_1^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),v_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)$ –> Sie sind orthogonal zueinander und wir wissen auch, dass sie eine ONB für ${\mathbb{R}}^2$ bilden!

[!Important] Eigenvektoren zu gleichen Eigenwerten Es kann sein, dass ein Eigenwert mehrfach auftritt ( etwa 2x die 0) und dadurch quasi ein Eigenvektor von den beiden DIngen abhänggig ist . Tritt das ein, müssen wir sie erst Orthogonalisieren! –> also eine ONB draus machen!

Folgend setzen wir jetzt: $Q=(v_1^{\prime },v_2^{\prime })=\frac{1}{\sqrt{5}}\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$ und ferner noch die Transponierte: $Q^T=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$ Die Diagonalmatrix entspricht folgend: $$D=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$ Damit haben wir eine Transformation in der Form einer diagonalisierten / orthogonalen Matrix bilden können. Bezeichnet wird sie also mit $A=Q\cdot D\cdot Q^T$

Anwendung / Betrachtung der Hauptachsentransformation:

-> Quadrik ( Quadrik bestehend aus einem ) also Lösen von Nullstellen in einem Polynom des Grad 2, wobei es viele Parameter aufweist, die ${}^2$ entsprechen. ( Wir können damit also eine große Menge von Nullstellen berechnen)

• Kegelschnitt

–> Hauptkomponentenanalyse, also das Finden von Korrelationen von diversen Punkten, die nah in einem Feld liegen ( meist in einer Ellipse)

Wir haben als Beispiel den generating faces, by DTU ( denmark) betrachtet, wo eine Basis von Gesichtern mit diversen Charakteristiken gesetzt wurde. Dabei haben sie viele Eigenschaften, die anschließend in ihrere Menge auf einen 2D-Raum abgebildet bzw reduziert werden. Also auch da wird eine Hauptkomponenten-Analyse durchgeführt!