scattered-lenity

Boolean Equations

Boolean equation aond some examples to prove it :: A: 6 ist durch 3 teilbar :: $|A|=1$ $/A$: 6 ist nicht durch 3 teilbar (0) : $|/A|=0$

B : 4.5 ist eine gerade Zahl, $|B|=0$ $/B$ : 4.5 ist keine gerade Zahl, $|/B|=1$ // ungerade wäre unpassend //

1.2 Konjunktionen ::

Verknüpfung von zwei Aussagen A und B zu einer gemeinsamen Aussage :

Wahrheitstabelle ::

Bsp for $\wedge$ : 6 ist eine gerade Zahl und durch 3 teilbar whereas 6 ist gerade Zahl == A and durch 3 teilbar == B /

1.3 Disjunktionen ::

Verknüpfung zweier Aussagen, welche mit true resultiert, sobald eine der beiden wahr ist

Beispiel :: 6 ist durch 3 teilbar oder ungerade :: $1\vee 0\to 1$

1.4 XOR ::

Antivalenz welche zwei Aussagen verknüpft, aber nur mit wahr resultiert, sobald beide Werte ungleich sind ::

1.5 Implikationen ::

“wenn, dann “ $A\to B$ || A impliziert B, aus A folgt B, A ist hinreichend für B, B ist notwendig für A ::

als “ex falso quiod libet” >> aus einer falschen Aussage kann man alles folgen >> sobald A falsch ist und B impliziert, sind alle Folgerung zu B irrelevant, um die Aussage wahr sein zu lassen.

1.6 Äquivalenz ::

Genau dann, wenn beide Aussagen wahr sind, resultiert es mit wahr

Beispiele 1.7 ::

Wann ist der Ausdruck $(A\vee B)\wedge /(A\wedge B)$ $\leftrightarrow A\vee B\wedge (\bar{A}\vee \bar{B})\leftrightarrow A\oplus B$

$(A\wedge B)\to \overline{(}C\vee A)$ >> what does it resolve to

1.8 logische Äquivalenz ::

Haben zwei Ausdrücke a und b bei jeder Kombnation von Wahrheitswerten ihrer Variablen den gleichen Wahrheitswert, dann heißen sie logisch äquivlanet Man schreibt sie $A\equiv B$
Dabei ist $\equiv$ kein Junktor, es entspricht einem Symbol, wie “=”

1.9 Satz ::

Seien A,B,C Aussagen. Es gelten folgende logische Äquivalenzen ::

1. doppelte Negation $A\equiv \neg (\neg A)$
2. Kommutativität von $\wedge ,\vee ,xor,⟺$ $A\wedge B\equiv B\wedge A$ $A\vee B\equiv B\vee A$ $AxorB\equiv BxorA$
3. Assoziativität von $\wedge ,\vee ,xor,⟺$ $(AquantorB)quantorC\equiv Aquantor(BquantorC)$
4. Distributivität : $Aquantor(BotherquantorC)\equiv (AotherquantorB)quantor(AotherquantorC)$
5. Regeln von DeMorgan :: $\neg (A\wedge B)\equiv \neg A\vee \neg B$ $\neg (A\vee B)\equiv \neg A\wedge \neg B$

Kontraposition :

$A⟹B\equiv \neg B⟹\neg A$ the latter formula being Kontraposition which is an important system for proofing.

Definition Tautologie / Kontradiktion::

Eine Aussage heißt Tautologie, wenn für jede Belegung der Aussagen wahr resultiert. Sofern sie nur mit false resultiert, ist es eine Kontradiktion.