Lineare Abbildungen:

anchored to [[104.00_anchor_math]]

Ferner möchten wir mit Linearen Abbildungen starten und dabei die Definitionen von Vektorräumen wieder in Erinnerung ziehen: Als Resource dafür dient etwa [[math2_Vektorräume]].

Wir möchten mit der Definition einer Linearen Abbildung starten:

Definition - lineare Abbildung:

Sei hierfür $K$ ein Körper und weiter $V,WV\in [K]$ als ein $K$-Vektorraum. Wir definieren jetzt: $$\phi :V⟶W$$als eine lineare Abbildung, auch definiert als Vektorraum-Homomorphismus, wenn folgend gilt: 1.$(i):\phi (v_1+v_2)=\phi (v_1)+\phi (v_2)\forall v_1,v_2\in V$, genannt mit Additivität

Angenommen wir wollen einen Vektor entsprechend strecken, dann ist es egal, ob wir zuerst strecken und dann addieren oder erst addieren und dann strecken ( man kann also die Operation untereinander tauschen!)

2.$(ii)\phi (\lambda v)=\lambda \cdot \phi (v)$, genannt mit Homogenität

Auch hier ist es gleich, ob wir zuerst den Skalar multiplizieren oder zuerst die Abbildung anwenden, beide sollten gleich evaluieren.

Vektorraum-Homomorphismus

• Homo für gleich
• Morphismus für Wandlung repräsentiert also die Anpassung durch die lineare Abbildung

Weiterhin: Ist die lineare Abbildung $\phi :V⟶W$ bijektiv [[math1_abbildungen|Erinnerung]], so heißt sie $\phi$ dann Isomorphismus. Die Vektorräume $V\wedge W$ heißen dann isomorph, geschrieben mit $V\cong W$

es ist also ein Homomorphismus welcher in beide Richtungen funktioniert: Also $\phi :V⟶W\wedge {\phi }_1:W⟶V$

Eigenschaften linearer Abbildungen:

eine lineare Abbildung: $\phi :V⟶W$ hat weiterhin folgende Eigenschaften: 1. $\phi (\mathcal{O})=\mathcal{O}$, denn folgend sehen wir: $\phi (\mathcal{O}+\mathcal{O})=\phi (\mathcal{O})=\phi (\mathcal{O})+\phi (\mathcal{O})$ –> das ist aufgrund der Additivität(1.) möglich! 2. $\phi \left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i\right)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot \phi (v_i),v_i\in V,{\lambda }_i\in K$ Also eine Linearkombination $\in V$ wird durch die Anwendung der linearen Abbildung $\phi$ in eine Linearkombination $\in W$ überführt. Wir können also passend übersetzen. –> Bewiesen werden kann es durch die Anwendung der [[math1_proofmethods#Vollständige Induktion|Vollständiger Induktion]]

Lineare Abbildungen werden meist / oft für einfache Translationen in einem Raum genutzt. Demnach finden sie auch in der Computergrafik sehr oft eine Anwendung.

Beispiele:

Wir möchten ferner diverse Beispiele für lineare Abbildungenbetrachten:

1. die Nullabbildung: $\phi :V⟶W,v⟼\mathcal{O}$ sie ist linear und sollte eine Homomorphismus sein
2. eine Abbildung im gleichen Vektorraum ( Ursprung und Ziel bleiben also im gleichen Bereich, aber wahrscheinlich translatiert): $\phi :V⟶V,v⟼\lambda \cdot v$, für ein festes $\lambda \in K$. Sie ist auch linear (Man kann hier also $\lambda$ beliebig setzen, um passend zu übersetzen. Die Identität wird mit $\lambda =1$ gesetzt )
3. $\phi :{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3,\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ -x_3\end{array}\right)$ . Auch sie ist linear. ( In der geographischen Betrachtung ist sie eine Spiegelung an der $x_1,x_2$-Ebene )
4. als nichtlinear bezeichnet wird folgende Abbildung: $\phi :\mathbb{R}⟶\mathbb{R},x⟼x+1$ Unter Betrachtung eines Beispiel wird es ersichtlicher: $\phi (1+1)=\phi (2)=3\ne \phi (1)+\phi (1)=2+2=4$
5. auch nicht linear: $\phi :{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2,\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{x}_1^2\\ x_2\end{array}\right)$

   [!Warning] meist ist eine Übersetzung unter Anwendung einer $x^n$ gefährlich und führt schnell zu einer nicht-linearen Abbildung

Satz - Lineare Abbildung durch Matrizen:

Für eine Übersicht zu Matrizen, konsultiere [[math2_Matrizen_Grundlage]].

Sei also folgend $A\in M_{m,n}(K)$ eine Matrix. Dann ist jetzt: $\phi :K^n⟶K^m,x⟼A\cdot x$ eine lineare Abbildung.

Also wenn wir etwa von einem Vektor $\in K^n$ in einen Vektor $\in K^m$ übersetzen, können wir diese Translation passend mit einer Matriz darstellen. Das sieht man ganz gut an den Regeln für die [[math2_Matrizen_Grundlage#Matrixprodukte $AcdotB$|Multiplikation von Matrizen]].

[!Important] Darstellungsmatrix Wenn wir die Matrix definieren, dann ist sie eindeutig definiert. Wir nennen diese Matrix, die die Translation zwischen der beiden Räume $V,W$ aufspannen wird auch ==Darstelungsmatrix==

Beweis - lin Abbildung durch Matrizen:

Wir kennen die Rechenregeln von Matrizen [[math2_Matrizen_Grundlage]] und können so anwenden: 1. $\phi (x+y)=A(x+y)=A\cdot x+A\cdot y=\phi (x)+\phi (y)$ –> entsprechend unserer Definition in [[104.02_lineare_abbildungen#Eigenschaften linearer Abbildungen|Eigenschaft 1]] 2. Weiter auch: $\phi (\lambda \cdot x)=A(\lambda x)=\lambda \cdot A\cdot x=\lambda \cdot \phi (x)$ [[104.02_lineare_abbildungen#Eigenschaften linearer Abbildungen|Eigenschaft 2]]

vorherige Beispiele in Matrizen-Form:

[!Success] all die obigen Beispiele entsprechen der folgenden Darstellung: $\phi :V⟶W;x⟼A\cdot x$

Die zuvor betrachteten Beispiele [[104.02_lineare_abbildungen#Beispiele|hier]] sind auch in einer Matrizen-Form darstellbar. Ferner in der Anwendung also:

1. für die Null-Abbildung also: $A=\mathcal{O}$ 2. für die Skalierung nach $\lambda$: $A=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & & \dots & & 0\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& & \dots & & \lambda \end{array}\right)$ oder $=\lambda \cdot E_n$ 3. $\left(\begin{array}{ccccc}1& & 0& & 0\\ 0& & 1& & 0\\ 0& & 0& & 1\end{array}\right)\in M_{3,3}(\mathbb{R})$

Eigenschaften des Bilds einer lin. Abbildung:

Wir möchten die Eigenschaften eines Bildes, was bei einer linearen Abbildung gegeben ist, betrachten.

Sei hierbei: $\phi :V⟶W$ eine lineare Abbildung. Wir können daraus jetzt folgende Eigenschaften beziehen:

1. $U\subseteq V$ bildet Unterraum von V

#TODO Sei $U\subseteq V$ ein [[math2_Vektorraum_UV|Unterraum]] von $V$, dann gilt hier folgend: $\phi (U)\subseteq W$, das Bild von $U$ wird hier also durch die Anwendung der linearen Abbildung ein Unterraum von $W$.

2. Ist $\dim (U)<\infty ⟹\dim (\phi (U))\le \dim (U)$

Auch hier Referenz zu [[math2_Vektorräume]]

1. Beweis:

Wir wenden hierfür das Unterraum-Kriterium an, spezifisch für $\phi (U)$ [[math2_Vektorraum_UV#Unterraumkriterium card]]

Ferner müssen wir jetzt also Zeigen:

• nicht leer: $\phi (\mathcal{O})=\mathcal{O}\in \phi (U)$, passt Addition: $u+v\in U,v,u,\in U$: Seien jetzt $u,v\in U,\lambda \in K$: Dann sind jetzt $\phi (u),\phi (v)\in \phi (U)$ und somit also auch: $\phi (u)+\phi (v)=\phi (u+v)\in \phi (U)$ ( Rechenregel aus der Definition!)

Skalarmultiplikation: $\lambda \cdot v\in U$: Ist $\lambda \phi (u)⟺\phi (\lambda \cdot u{)}_{\in U}\in \phi (U)$

2. Beweis:

Sei hierfür $\{u_1,\dots ,u_k\}$ eine Basis von $U$: Dann gilt auch, dass $⟹\{\phi (u_1),\dots ,\phi (u_k)\}$ bildet ein Erzeugendensystem. Daraus folgt $⟹$ enthält Basis von $\phi (U)$ $⟹$ Behauptung aus 2.

Rang Betrachtung:

Sei wieder: $\phi :V⟶W$ eine lineare Abbildung. Weiterhin ist hier $\dim V<\infty$. Jetzt heißt $\dim (\phi (V))$ dann der Rang von $\phi$** Weiterhin auch: $\dim (\phi (U))\le \dim (U)$

Definition: Kern einer linearen Abbildung

Sei wieder: $\phi :V⟶W$ eine lineare Abbildung.

[!Definition] Kern von $\phi$ Wir definieren folgend den Kern $\ker \phi :=\{v\in V|\phi (v)=\mathcal{O}\}$ Diese Definition beschreibt alle Vektoren, die von $\phi$ auf $\mathcal{O}$ angebildet werden.**

Wir nennen diese Menge dann folgend: Kern von $\phi$. Ferner ist diese Menge ein Untervektorraum von $V$

[!Tip] $\phi$ injektiv $⟹\ker \phi =\{\mathcal{O}\}$ Denn wenn die lineare Abbildung $\phi$ injektiv ist, dann hat jedes Element im Bild, höchstens ein Element aus dem Urbild. Also muss der Kern nur einen einzigen Vektor beeinhalten Ferner muss es der $\mathcal{O}$ Nullvektor sein, weil dieser enthalten sein Muss im Vektorraum, also kann es keinen weiteren Vektor geben!

Beweis Kern ist UR von $V$:

Wir können zum Beweisen das UR-Kriterium anwenden:

Wir wissen, dass im UR der Nullvektor enthalten sein muss. Also $\mathcal{O}\in V⟹\phi (\mathcal{O})=\mathcal{O}$ Somit gilt dann: $\mathcal{O}\in \ker \phi$

Seien jetzt $u,v\in \ker \phi$, also: $\phi (u)=\phi (v)=\mathcal{O}$. Betrachten wir weiter die Anwendung von Skalaren: $\lambda ,\mu ,\in K⟹\phi (\lambda u+\mu v){=}_{\text{ist linear!}}\lambda \cdot \phi (u)+\mu \cdot \phi (v)=\mathcal{O}$ $⟹\lambda \cdot u+\mu \cdot v\in \ker \phi$

Beweis: injektiv $⟺\ker \phi =\{\mathcal{O}\}$

Wir beweisen zuerst unter Anwendung von: $⟹$: Wir wissen, dass $\phi$ injektiv ist. Das heißt $\phi (\mathcal{O})=\mathcal{O}$. Aufgrund der Injektivität, existiert höchstens ein Urbild, für jedes Bild. Es kann also kein weiteres Element auf $\mathcal{O}$ abbilden.

Wir beweisen weiter: $⟸$:

[!Tip] Diesen Beweis kann man auch mit der Eindeutigkeit der Linearkombinationen betrachten!

Sei der Kern folgend gesetzt: $\ker \phi =\{\mathcal{O}\}$ Wir möchten zeigen: falls $\phi (v_1)=\phi (v_2)=⟹v_1=v_2$ Angenommen, es gibt: $v_1,v_2\in V$ mit $\phi (v_1)=\phi (v_2)$ Dann ist jetzt $\mathcal{O}=\phi (v_1)-\phi (v_2)=\phi (v_1-v_2)$ $⟹$

1. $v_1-v_2=\mathcal{O}$
2. $v_1=v_2$
3. $\phi$ injektiv!

Beispiel:

Betrachten wir folgende lineare Abbildung: $\phi :{\mathbb{R}}^3⟶{\mathbb{R}}^3,\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 2x_1\\ x_1+x_2+2x_3\end{array}\right)$ Wir können sie auch als Matrix-Multiplikation betrachten: $A=\left(\begin{array}{ccccc}1& & 0& & 0\\ 2& & 0& & 0\\ 1& & 1& & 2\end{array}\right)$ (theoretisch können wir durch die Definition einer Matrix zur Beschreibung der Abbildung, schon zeigen, dass es eine lineare Abbildung ist –> sonst wäre sie nicht zu bilden)

Wir haben die Basis gegeben: $U=⟨e_2,e_3⟩$ und $\dim U=2$ Wir wollen jetzt betrachten:

Erzeugersystem des Bildes: $\phi (U)=⟨\phi (e_2),\phi (e_3)⟩$ (müssen noch die Vektoren berechnen) $\phi (e_2)=\phi (\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ und $\phi (e_3)=\phi (\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)$ Also das Erzeugendensystem für $\phi (U)=⟨\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 2\end{array}\right)⟩=⟨\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩$ -> denn sie waren linear abhängig!

Beispiel für Rangs-Bestimmung:

Somit ist die Dimension/Rang $\dim \phi (U)=1$ ( sie ist kleiner geworden). –> wird auch im obigen Satz beschrieben, gefordert! [[104.02_lineare_abbildungen#Eigenschaften des Bilds einer lin. Abbildung]]

Weitere Aufgabe: Wir möchten ferner berechnen: $\ker \phi :$ für welche $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$ gilt dann $\phi (\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ Wir wollen also das LGS lösen: $x_1=0$ $2x_1=0$ $x_1+x_2+x_3=0$ $⟹x_1=0,x_2=-2x_3$ und daraus folgt der Kern: $\ker \phi =\{\left(\begin{array}{c}0\\ -2\lambda \\ \lambda \end{array}\right)|\lambda \in \mathbb{R}\}⟶\dim (\ker \phi )=1$

Satz - Existenz einer linearen Abbildung für $V$

Seien $V,W\in K_{VR}$, $\dim V=n$ und weiter: $\{v_1,\dots ,v_n\}$ bilden eine Basis von $V$ Weiterhin $w_1,\dots ,w_n\in W$ -> nicht notar. verschieden.

[!Example] Existenz einer linearen Abbildung für V Dann $\exists !$ lineare Abbildung $\phi :V⟶W$ mit $\phi (v_1)=w_i\forall i]in\{1,\dots ,n\}$ Sodass: $\phi :V⟶W$ $v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i⟼\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot w_i$

[!Important] Aussage des Satzes: Wenn wir also die Abbildung einer Basis bestimmen bzw. bilden können, sind alle weiteren Linearkombinationen auch fest definiert.

Beispiel für Satz | Drehmatrix:

Betrachten wir folgend: $V={\mathbb{R}}^2,{\phi }_{\alpha }:{\mathbb{R}}^2⟶{\mathbb{R}}^2$ Wobei wir mit $\alpha$ den Winkel der Drehung um den Ursprung gegen den Uhrzeigersinn angeben.

Wir wissen, dass ${\phi }_{\alpha }$ eine lineare Abbildung ist.

Wir können diese Drehung visuell betrachten und daraus erschließen lassen, wie man entsprechend drehen muss. Betrachten wir dafür einfach ein rechtwinkliges Dreieck ,was vom Ursprung zu den Basisvektoren aufgespannt werden kann und schauen dann, wie man es translatieren muss.

Wir wissen, dass $V_b=\{e_1,e_2\}$ und können jetzt folgend übersetzen: $e_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right){⟶}^{{\phi }_{\alpha }}\left(\begin{array}{c}\cos (\alpha )\\ \sin (\alpha )\end{array}\right)$ und weiter: $e_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right){⟶}^{{\phi }_{\alpha }}\left(\begin{array}{c}-\sin (\alpha )\\ \cos (\alpha )\end{array}\right)$ Aus dieser Basis können wir jetzt die allgemeine Form bzw. Translation der Vektoren bestimmen bzw festlegen: $x=a\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=x_1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+x_2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ beschreibt die Linearkombination Die übersetzte LK wäre dann:** $${\phi }_{\alpha }(x)=x_1\cdot {\phi }_{\alpha }(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))+x_2\cdot {\phi }_{\alpha }(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))$$ welche wir nun entsprechend übersetzen können : $${\phi }_{\alpha }(x)=x_1\cdot {\phi }_{\alpha }(\left(\begin{array}{c}\cos (\alpha )\\ \sin (\alpha )\end{array}\right))+x_2\cdot {\phi }_{\alpha }(\left(\begin{array}{c}-\sin (\alpha )\\ \cos (\alpha )\end{array}\right))$$ Daraus können wir jetzt auch die Matrix bestimmen –> denn jede lin Abbildung kann auch als Matrix dargestellt werden:$$=\left(\begin{array}{c}{x}_1\cdot \cos (\alpha )-x_2\cdot \sin (\alpha )\\ x_1\cdot \sin (\alpha )+x_2\cdot \cos (\alpha )\end{array}\right)⟺A\cdot x$$ wobei wir $A$ folgend definieren: $$A=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )& & -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& & \cos (\alpha )\end{array}\right)$$ Als Beispiel, sei $\alpha =0$, dann ist die Translation folgend: $A\left(\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )& & -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& & \cos (\alpha )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & 1\end{array}\right)=E_2$ (Identität) Weiter sei $\alpha =90$, dann ist die Translation folgend: $A\left(\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )& & -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& & \cos (\alpha )\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& & -1\\ 1& & 0\end{array}\right)=E_2$ (Identität)

Satz | Dimensions-Satz Für Lineare Abbildungen:

[!Important] Satz: Sei folgend: $V,W\in K-VR$ weiterhin ist: $\dim V=n,$ $\phi :V⟶W$ beschreibt die lineare Abbildung

Dann gilt jetzt folgend: $\dim V=\dim (\ker \phi )+rg(\phi )$, wobei $rg(\phi )⟺\dim (\phi (V))$

Beweis des Satzes:

Sei hierfür $\{u_1,\dots ,u_k\}$ eine Basis von $\ker \phi$ wir können jetzt unter Anwendung des [[math2_Vektorräume#Korollar - Basisergänzungssatz|Basisergänzungssatz]] diesen Kern zu einer Basis von $V$ erweitern: Diese setzen wir dann folgend: $\mathcal{U}:=⟨u_{k+1},\dots ,u_n⟩$

[!Tip] Definition $\mathcal{U}$ Mit $\mathcal{U}$ beschreiben wir den Unterraum innerhalb von $V$, welcher nicht gemeint bzw definiert wird, wenn wir den Raum betrachten, der durch den $\ker (\phi )$ definiert bzw aufgespannt wird. Grafik nachfügen!

Wir können jetzt folgern: Da $\ker \phi \cap U=\{0\}\wedge V=\ker \phi +U$(Wir haben die Menge $V$ nochmals neu konstruiert!) gilt dann folgend $\dim (B)=\dim (\ker \phi )+\dim (U)-\dim (\ker \phi \cap U)(=0)$

Wir müssen hier zeigen: $\dim U=dim\phi (U)=\dim \phi (V)=rg(\phi )$ -> denn wir wissen, dass die Dimension des Raumes gleich sein muss

Wir können diese jetzt nach und nach zeigen:

1. $\ker \phi \cap U=\{0\}$ $⟹\ker (\phi |U)=\{)\}$ –> das heißt wir beziehen die Abbildung unter Anwendung von $U$. $⟹\phi |U$ ist injektiv $⟹\dim U=\dim \phi (U)$

2. $\dim \phi (U)=\dim \phi (V)$, denn wir wissen: $\phi (V)=\phi (U+\ker \phi )=\phi (U)+\phi (\ker \phi )=\phi (U)$ –> denn wir können $\phi (\ker \phi )=\mathcal{O}$ resultieren lassen

Korollar | Äquivalenzsatz für lin Abbildung auf endlichen Vr gleicher Dimension:

Aus dem obigen Satz können wir jetzt einige Resultate ziehen, die man vereinfacht anwenden kann.

[!Example] Folgerung des Satzes: Sei jetzt: $V,W\in K-VR$ mit $\dim V=\dim W=n$. Weiterhin definieren wir eine lin. Abbildung. $\phi :V⟶W$. Es folgt jetzt hieraus:

1. $\phi$ surjektiv
2. $\phi$ injektiv
3. $\phi$ bijektiv

Das heißt, dass sobald einer der Aspekte gilt alle anderen genannten auch entsprechend gelten müssen.

Beweis des Korollar:

Aus dem obigen Satz gilt: $n=\dim (\ker \phi )+rg(\phi )$ Somit stimmt / gilt:$$\phi \text{ surjektiv }⟺rg\phi =n⟺\dim (\ker \phi )=0{⟺}^{1.7,\text{muss injektiv}}\phi \text{ ist injektiv }$$ #TODO Beispiele aus der Vorlesung nochmals nachtragen

[!Important] Wichtig DIeser Korollar kann nur auf Vektorräume angewandt werden. Schauen wir uns die Abbildung von $\phi :\mathcal{N}⟶\mathcal{N}:x⟼2x$ -> sie ist injektiv, aaber sie ist nicht surjektiv und somit auch nicht bijektiv

Bemerkung zu homogenen LGS: -> #TODO nachtragen: homogene LGs sind folgend:$$A\in M_{m,n}(K),\forall x\in K^n,A\cdot x=\mathcal{O}$$ Wenn wir uns dabei zurückerinnern, dann ist der Kern einer Koeffizientenmatrix: -> der Lösungsraum eines homogenen LGsS. Man beschreibt ihn mit $\ker (A)$ und es galt hier / gilt hier: $$\dim (\ker (A))=n-rg(A)$$ und wenn wir jetzt weiterschauen:

• lineare Abbildung mit Matrix A: $$\phi :K^n⟶K^m,x⟼Ax$$ auch beschreibt der $\ker (\phi )$ alle Vektoren

Weiterführend:

• [[104.03_lineare_abbildungen_matrizen]]