Abbildungen ::

Eine Abbildung - Funktion - $f : A ⟶ B$ besteht aus zwei nicht-leeren Mengen : A, dem Definitionsbereich von f - auch Urbild genannt B, dem Bildbereich von f - auch Bild oder Wertebereich und einer Zuordnungsvorschrift, die jedem Element $a \in A$ genein ein Element $b \in B$ zuordnet. Ausgedrückt schreiben wir dann b = f(a), wobei b das Bild oder Funktionswert von a ( unter F – Unter Anwendung der Abbildung – ) und a (ein ) Urbild von b (unter f - unter Anwendung von f) ist .

==Notation== : $f : A ⟶ B : a ⟼ f (a)$ Die Menge $G_{f} = {(a, f (a) ∣\forall a \in A} \subseteq A x B$ heißt dabei der Graph von f. Also Ausschnitt der gesamten Menge unter Anwendung von diversen Elementen aus dem Urbild A.

Spezielle Abbildungen ::

Seien A,B eine nichtleere Mengen: $i d_{A} : A ⟶ A : x ⟼ x$ wird als ==identische Abbildung definiert==

Beispiele von Abbildungen :: $\land$ als Abbildung als binärer Operator :: $\land : 0, 1 x 0, 1 ⟶ 0, 1 : (A, B) ⟼ A \land B$ als Darstellung des binären Operator And >> zwei Inputs aus definierter Menge, ergibt ein neues Ergebnis

$+ : R x R ⟶ R : (a, b) ⟼ a + b$

Gleichheit von Abbildungen f,g::

Zwei Abbildungen $f : A ⟶ B, g : C ⟶ D$ heißen gleich (f=g), wenn gilt : $A = C \land B = D ⟹ f (a) = g (a) \forall a \in A$ $f : {0, 1} ⟶ {0, 1}, x ⟼ x$ $g : {0, 1} ⟶ {0, 1}, x ⟼ x^{2}$ $⟹ f = g$

Teilmengen::

Seien $f : A ⟶ B$ und $A_{1} \subseteq A, B_{1} \subseteq B$ Teilmengen von A,B

==Dann gilt::== $f (A_{1}) := f (a) ∣\forall a \in A_{1} \subseteq B$ ist das Bild von $A_{1}$ (unter f, was der Bildmenge entspricht) Des Weiteren ist die Bildmenge von $A_{1}$ eine echte Teilmenge von B, da logischerweise alle Elemente von dieser Menge auch in B sein müsse, wenn A ebenfalls eine Teilmenge der Abbildung ist.

Weiterhin heißt: $f^{- 1} (B_{1}) := {a \in A ∣ f (a) \in B_{1}} \subseteq A$ das Urbild von $B_{1}$ (unter f). Auch hier gilt, dass die entstehende Menge in A eine echte Teilmenge dieser ist, da $B_{1} \subseteq B$ und somit die Abbildung im Universum von B agiert und definiert ist.

Injektivität ::

Mit Injektivität wird die Eigenschaft einer Abbildung definiert, welche ein Verhältnis zwischen Bild und Urbild definiert.

Spezifisch ist Injektivität der Zustand einer Abbildung, dass für jedes Bild höchstens ein Urbild vorhanden ist $\forall a_{1}, a_{2} \in A$ mit $a_{1} \neq = a_{2}$ gilt :: $f (a_{1}) \neq = f (a_{2})$ Mit Worten umschrieben:: Jedes Bild in B hat höchstens ein Urbild in A. – Dabei müssen nicht alle Elemente in B getroffen werden, jedoch können mehrere ungleiche Urbilder nicht auf ein Bild zeigen. Die formale Definition beschreibt dies, indem es zwei ungleiche Urbilder in A annimmt und beschreibt, dass für alle Kombination - wo $a_{1}, a_{2}$ ungleich sind- der Funktionswert ebenfalls ungleich sein muss. Es also keine Doppelungen geben kann. Beispiel: $f : {0, 1} ⟶ {2}, x ⟼ x$ kann nicht injektiv sein, da jedes Element des Urbildes, also 0 oder 1, auf ein Bild zeigen muss – ==sonst ist es keine Abbildung!== und sie aufgrund der Beschränkung der Menge beide auf 2 zeigen müssen. Weiterhin ist $f$ hier jedoch surjektiv, da jedem Bild mindestens ein Urbild zugewiesen wird!::

Surjektivität ::

$f (A) = B ⟹ \forall b \in B \exists a \in A : f (a) = b$ Mit Worten umschrieben:: Jedes Bild in B hat ==mindestens== ein Urbild in A. Oder auch :: Alle Elemente von B werden mit der Abbildung getroffen.

Bijektivität ::

Bijektivität beschreibt die Kombination beider Eigenschaften einer Abbildung, also die Injektivität(jedes Bild hat ==höchstens ein== Urbild) und Surjektivität(jedes Bild hat ==mindestens== ein Urbild). Daraus folgt, dass eine Bijektive Abbildung ==eindeutig== ist und jedem Bild ==genau ein== Urbild zuweist. (Die Abbildung ist demnach als linear zu verstehen )

Beweisen:

Bewiesen wird die Bijektivität einer Abbildung, indem gezeigt wird, dass sie ==Injektiv== und ==Surjektiv== ist.

Umkehrfunktionen ::

Sei $f : A ⟶ B$ bijektiv. Dann definieren wird die Umkehrfunktion $f^{- 1} : B ⟶ A$ indem wir jedem $b \in B$ das passende $a \in A$ zuordnen, für das $f (a) = b$ gilt.

Bemerkung ::

Kann jedem $b \in B$ ein $a \in A$ zugeordnet werden, sodass $f (a) = b$ erfüllt wird, dann ist f surjektiv. Sofern es nur ==ein einziges== solches a gibt, dann ist f injektiv. ![[Pasted image 20221116164432.png]] Im Beispiel wird jedem Bild höchstens ein Urbild zugeschrieben >> Injektiv

Komposition von Abbildungen ::

Seien $g : A ⟶ B$ $f : B ⟶ C$ Abbildungen.

Dann heißt die Abbildung $f \circ g : A ⟶ C$ mit $a ⟼ (f \circ g) (a) := f (g (a) \forall a \in A)$ die Hintereinanderausführung oder Komposition von f mit g ( f mach g). Somit lässt sich definieren :: $(f \circ g) (X) = f (g (x))$

Eine Komposition ist dabei (inj,surj,bij) sofern auch die Abbildungen (inj,surj,bij) sind.

Satz - Charakterisierung von bijektiven Abbildungen::

Sei $f : A ⟶ B$ eine Abbildung. f ist bij, genau dann, wenn es eine Abbildung (Umkehrfunktion/Abbildung) $g : B ⟶ A$ gibt mit $g \circ f = i d_{A}$ und $f \circ g = i d_{B}$ . Heißt, dass es eine Umkehrfunktion f mit $g = f^{- 1}$ gibt, welche ebenfalls ==bijektiv== ist und mit $(f^{- 1})^{- 1} = f$ sich selbst neutralisieren kann.

Die Abbildung ist dabei eindeutig definiert und die jeweiligen Kompositionen dieser Abbildung bilden beide Identitätsmengen der Abbildung. $f : A ⟶ B$ ist Bijektiv, dann gibt es $g : B ⟶ A$ , sodass gilt :: $f \circ g = A ⟶ B ⟶ A = i d_{A}$ und $g \circ f = B ⟶ A ⟶ B = i d_{B}$

Beweis f ist bijektiv $⟺ \exists g \dots$ ::

Beweis von $⟹$ : Se f bijektiv, dann existiert für jedes b in B genau ein a in A mit b=f(a). Definiert man ein $g : B ⟶ A$ mit g(b)=a, dann gilt die Aussage:: $(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (a) = b = i d_{B} (b)$ und $(g \circ f) (a) = g (f (a)) = g (b) = a = i d_{A} (a)$ Somit wurden beide Existenzen der Identitätsmenge gezeigt.

Beweis von $⟸$ : Sofern ein g existiert, dass…::

Es ist zu zeigen, dass f bijektiv ist::

f ist surjektiv: Sei b in B. Dann $B g (b) \in A, f (g (b)) = i d_{B} (b) = b$ Es folgt, dass g(b)==(a)== mit B+ ein Urbild von b unter f ist.
f ist injektiv : Sei $f (a_{1}) = f (a_{2})$ dann ist $a_{1} = g (f (a_{1})) = g (f (a_{2})) = i d_{A} (a_{2}) = a_{2} □$

Beweis der Eindeutigkeit von g:: angenommen es gäbe eine weitere Abbildung g1,g2. Sei $b \in B$ Dann $\exists! a \in A$ mit $f (a) = b$ . Also folgt $g_{1} (b) = g_{1} (f (a)) = a = g_{2} (f (a)) = g_{2} (b)$ wodurch $g_{1} = g_{2}$ somit ist $g_{1}$ eindeutig definiert.

Weiterhin zu Zeigen, dass $f^{- 1} bij e k t i v$ und $(f^{- 1})^{- 1} = f$ :: folgt aus $f \circ f = i d_{B}, f^{- 1} \circ f = i d_{A}$ Aussagen des Satzes anwenden, um es zu zeigen.

Definition von endlichen / unendlichen Mengen ::

Die Eigenschaft der Bijektivität erlaubt es eine präzise Definition von Endlichkeit und Unendichlkeiten von Mengen zu definieren. Die ist möglich, indem man beweist, dass eine Menge mit einer Abbildung $f : N ⟶ M e n g e X$ bijektiv ist und somit ==abzählbar unendlich== in Abhängigkeit zu N ist. Menge $M \neq = \emptyset$ ist endlich, wenn gilt: $\exists n \in N : \exists$ bijektiv Abbildung $f : 1, \dots, n ⟶ M$

Sofern eine solche Abbildung nicht existiert ist M ==unendlich==

Definition Rekursive Abbildungen ::

Sei $B \neq = \emptyset$ eine Menge, $n_{0} \in N, A = {n \in N ∣ n \geq n_{0}}$ Es ist möglich eine Funktion $f : A ⟶ B$ zu definieren, indem

man ihren ==Startwert== f( $n_{0}$ )
und die Beschreibung, wie man $\forall n \in A$ also alle Nachfolger der Folge den Funktionswert berechnet. Diese Beschreibung folgt einer Rekursionsvorschrift, sodass jedes Element mittels dieser Beschreibung generiert werden kann.

Beispiel : Fakultätsfunktion ::

$f : N ⟶ N$ $n ⟼ n!$ - n Fakultät

mit f(0) 0! = 1 ==Startwert==

f(n+1) = f(n) * n(n+1) = n! ( n+1) = (n+1)!

Daraus folgt : f(1) = 1! = 0!*1 = 1 f(2) = 2! = 1!* 2 = 2 f(3) = 3! = 2!*3 = 1*2*3 = 6 ….

Beispiel : Potenzen ::

Px : $N_{0} ⟶ R$ $n ⟼ x^{n}$ Px(0) = $x^{0} = 1$ $P x (n + 1) = x^{n +!} = x^{n} * x \forall n \geq 0$

scattered-lenity