Matrizen in $\mathbb{C}$

anchored to [[104.07_matrizen_in_C]] proceeds from [[104.04_orthogonale_matrizen]]

Overview:

Wir möchten diverse Eigenschaften für Matrizen aus $\mathbb{R}$ nun auch noch in den Raum der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ übernehmen, bzw angepasst einbringen. Es gibt uns somit die Möglichkeit Definitionen aus dem reellen Raum auch im Raum der komplexen Zahlen anwenden zu können.

| Skalarprodukt über $\mathbb{C}-VR$ |

Wir möchten den Vektorraum der Komplexen Zahlen betrachten. Sei $V$ ein $\mathbb{C}-$Vektorraum. Wir möchten jetzt eine Abbildung, also spezifischer das Skalarprodukt $$(\cdot |\cdot ):V\times V⟶\mathbb{C}$$ Wir nennen diese Abbildung jetzt ein Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: $\forall u,v,w\in V,\lambda \in \mathbb{C}$: 1. Die Abbildung ist konjugiert symmetrisch: ( hermitesch): -> $(u|v)=\overline{(v|u)}$ 2. Die Abbildung ist linear im 1. Argument: -> $(\lambda u|v)=\bar{\lambda }(u|v)$ und weiter auch -> $(u+v|w)=(u|w)+(v|w)$ 3. Die Abbildung ist linear im 2. Argument: -> $(u|\lambda v)=\lambda (u|v)$ -> $(u|v+w)=(u|v)+(u|w)$ 4. Die Abbildung muss positiv definit sein –> aber das geht bei komplexen Zahlen nicht ganz, da man sie nicht wirklich ordnen kann. Dennoch können wir das sagen, weil wir wissen, dass nach den vorherigen Bestimmungen immer eine reele Komplexe Zahl auftreten wird $(v|v)\ge 0\wedge (v|v)-0⟺v=\mathcal{O}$

Durch diese Bedingung heißt $V$ mit $(\cdot |\cdot )$ dann auch unitärer Vektor-Raum (VR)

Gram-Schmidt auch für unitäre VR:

Das Orthogonalisierungs-Verfahren von [[#Satz Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt|Gram Schmidt]] gilt analog für unitäre VR und kann somit auch in diesen angewandt werden.

Standardskalarprodukt auf ${\mathbb{C}}^n$

Wir möchten ein solches Skalarprodukt im Raum $\mathbb{C}$ folgend betrachten: $$(u|v)=\sum _{i=1}^n{\bar{u}}_i\cdot v_i={\bar{u}}^T\cdot v,u,v\in {\mathbb{C}}^n$$ –> wr müssen hier immer mit dem konjunktiv der komplexen Zahl arbeiten, weiteres dazu nochmal [[math2_komplexeZahlen|hier]]

Definition | Hermitesche Matrix |

Analog zur Definition einer [[104.04_orthogonale_matrizen#Definition symmetrische Matrizen|symmetrischen Matrix]] in $\mathbb{R}$, möchten wir jetzt das äquivalent in $\mathbb{C}$ betrachten und definieren:

[!Definition] hermitsche Matrix Sei $A\in M_n\mathbb{C}$ eine Matrix in $\mathbb{C}$. Wir nennen sie jetzt hermitesch, falls $A=A^T$, das heißt also: $$\begin{array}{r}>(A\cdot x|y)(x|A\cdot y)\forall x,y\in {\mathbb{C}}^n\\ >{\overline{(A\cdot x)}}^T\cdot y={\overline{x}}^t\cdot \overline{A^T}\cdot y={\bar{x}}^T\cdot A\cdot y>\end{array}$$

[!Important] hermitesche Matrizen Wir nennen eine Matrix immer hermitesch, wenn wir sie $A$ mit der Konjugation und Transponierung wieder die selbe ist. Also $A={\bar{A}}^T$

Definition | unitäre Matrix:

Wir nennen jetzt eine Matrix $U\in M_n(\mathbb{C})$ unitär, –> wenn ihre Spalten eine ONB ( siehe [[104.04_orthogonale_matrizen#Bemerkung Existenz einer ONB für 3-dim VR|ONB]] ) des ${\mathbb{C}}^n$ bilden. (Dabei müssen wir das zuvor definierte Skalarprodukt anwenden) [[104.07_matrizen_in_C#Standardskalarprodukt auf $mathbbCn$]]

Wir nennen jetzt folgend

[!Definition] Folgerung für unitäre Matrizen:

1. $U(n):=\{U\in M_n(\mathbb{C})|U\text{ unita¨r}\}$ die unitäre Gruppe

und

2. $SU(n):=\{U\in U(n)|\det U=1\}$ - die spezielle unitäre Gruppe

–> Sie bilden dabei auch Untergruppen, beschrieben mit $G(L(n,\mathbb{C}))$

| Eigenschaften unitärer Matrizen |

Wir können für eine unitäre Matrix $U\in M_n(\mathbb{C})$ folgende Eigenschaften betrachten.

Folgend wenn wir ${\bar{U}}^T$ meinen, kann man es auch anders schreiben: $U^{\ast },U^H$ -> H weil hermitisch

[!Definition] Eigenschaften unitärer Matrizen: 1. | a ${\bar{U}}^T\cdot U=E_n$ –> also eine ähnliche Eigenschaft, wie im $\mathbb{R}$ Raum

2. | b $U$ ist invertierbar mit $U^{-1}={\bar{U}}^T$ –> sonst wäre die obige Aussage aus 1. auch nicht möglich

3. | c $\parallel U_v\parallel =\parallel v\parallel$ –> wir müssen hier wieder die [[104.06_skalarprodukt_norm|induzierte Norm]] betrachten

4. | d $|\det U|=1$ –> Dabei kann diese Determinante, aber auch eine komplexe Zahl sein! –> also wenn wir uns grafisch den Ring um den Koordinaten-Ursprung anschauen, dann können all diese Komplexe Zahlen genommen werden, die den Betrag 1 haben!

5. | e Die [[math2_Eigenvektoren|Eigenwerte]] von U haben den Betrag $1$ !

| Beispiel | unitäre Matrix $\in {\mathbb{C}}^n$ |

Betrachten wir folgende Matrizen: $$a=\left(\begin{array}{cc}0& i\\ i& 0\end{array}\right)$$ und weiter $$b=\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{cc}1+i& 1-i\\ 1-i& 1+i\end{array}\right)$$

dann können bei beiden sagen, dass sie unitär sind. Etwa, wenn wir prüfen, dass ihre Vektoren eine ONB bilden! Oder beim betrachten der Determinante

[!Important] Generell folgt Jede orthogonale Matrix ist unitär!

| Beispiel |

Sei $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\in M_2(\mathbb{R})=\text{symmetrisch}$$ Mit den Eigenwerten ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=5\in \mathbb{R}$ sind die Eigenvektoren folgend:

$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\text{ zu }{\lambda }_1\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\text{ zu }{\lambda }_2\end{array}\}=\text{ orthogonal}$$

[!Example] Bilkompression Anwendung findet man mit diesen Eigenschaften etwa bei “Bildkompression mit der diskreten Kosnustransformation” https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Kosinustransformation

Definition | (3.24) | orthogonale / unitäre Diagonalisierbarkeit

Wir möchten jetzt betrachten, wann eine unitäre Matrize Diagonalisierbar ist:

Sei hierbei eine Matrix $A\in M_n(\mathbb{C})$. Wir nennen sie jetzt unitär diagonalisierbar, wenn folgend gilt:

Es existiert eine unitäre Matrix: $U\in M_n(\mathbb{C})$, und auch eine Diagonalmatrix $D\in M_n(\mathbb{C})$, mit $$D=\left(\begin{array}{ccccc}\ast & 0& 0& \dots & 0\\ 0& \ast & 0& \dots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& 0\\ 0& 0& \dots & \dots & \ast \end{array}\right),\ast :=\text{ Werte ungleich 0, sind die Eigenwerte!}$$ Daraus folgt dann die folgende Darstellung der Matrix: $$\begin{array}{r}A=U\cdot D\cdot {\overline{U}}^T\\ \\ \text{ durch Umformung dann:}\\ D={\overline{U}}^T\cdot A\cdot U\end{array}$$ und wir haben somit eine unitäre Matrize bestimmen können.

[!Important] Gleiches vorgehen, wie bei Diagonalisierung von Matrizen! Dieser Operation ist gleich der Diagonalisierung einer normalen Matrix [[math2_Eigenvektoren#Diagonalisierbarkeit|Diagonalisierbarkeit]] Das heißt wir müssen auch hier:

1. charakteristisches Polynome bestimmen
2. Nullstellen finden
3. sind dann die Eigenwerte
4. mit den Eigenwerten die Eigenvektoren / Eigenräume bestimmen
5. (zusätzlich hier) jetzt die Vektoren normalisieren und eine ONB bilden!
6. Die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten füllen
7. Die orthogonale/unitäre Matrix mit den normalisierten Eigenvektoren füllen

| Beispiel | Unitäre Diagonalisierung

Betrachten wir die hermitesche Matrix: $$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1+i\\ 1-i& 3\end{array}\right)$$ Wir können hier jetzt das charakteristische Polynome bestimmen und die Eigenwerte entnehmen: ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=4$

Daraus lassen sich die Eigenvektoren bestimmen: $$v_1=\left(\begin{array}{c}1+i\\ -1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1+i\\ 2\end{array}\right)$$ -> Wir wissen aus [[#Eigenschaften unitärer Matrizen]], dass die Eigenvektoren aus verschiedenen Eigenräumen orthogonal zueinander sind!

Normalisieren der Vektoren: Wir können hier auch wieder die Norm bilden, indem wir folgend vorgehen: $$v_1^{\prime }=\frac{1}{\parallel v_1\parallel }\cdot v_1=\left(\begin{array}{c}1+\frac{i}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),v_2^{\prime }=\left(\begin{array}{c}\frac{1+i}{\sqrt{6}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$$

und daraus erhalten wir jetzt folgend die unitäre Matrix: $$U=\left(\begin{array}{cc}\frac{[}{1}+i]\sqrt{3}& \frac{1+i}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right),{\overline{U}}^T=\left(\begin{array}{cc}\frac{[}{1}-i]\sqrt{3}& \frac{-1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1-i}{\sqrt{6}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)$$ Damit haben wir jetzt eine diagonalisierte Variante erhalten!

| Satz (3.26) | $A\in M_n(\mathbb{C})$ unitär diag. (mit reeler Diagonalmatrix) $⟹$ $A$ ist hermitesch

[!Definition] Sei $A\in M_n(\mathbb{C})$ eine Matrize, die weiter unitär diagonalisierbar mit einer reellen Diagonalmatrix ist.

Es folgt hieraus: -> $A$ ist auch hermitesch ( Betrachte [[104.07_matrizen_in_C#Definition Hermitesche Matrix|Definition Hermitesch]] )

Ferner können wir es auch mathematisch folgend beschreiben: $$A=UD{\overline{U}}^T,\overline{D}=D(D\text{ ist also reell})$$

Ein Beweis können wir folgend formulieren: $$A={\overline{A}}^T⟹{\overline{A}}^T={\overline{u\cdot D\cdot {\overline{u}}^T}}^T$$ $$⟺\overline{({\overline{u}}^T{)}^T}\cdot {\overline{D}}^T\cdot {\overline{U}}^T⟺U\cdot D\cdot {\overline{u}}^{T=}A,$$

hierbei gilt auch die Umkehrung von folgendem:

• [[104.04_orthogonale_matrizen#Satz (3.25) ortho. diag. Matrix –> symmetrisch]]
• [[104.07_matrizen_in_C#Satz (3.26) $Ain{M}_n(mathbbC)$ unitär diag. (mit reeler Diagonalmatrix) $Longrightarrow$ $A$ ist hermitesch]]

Satz | Eigenwerte/Vektoren hermitescher Matrizen

Sei jetzt $A\in M_n(\mathbb{C})$ eine hermitesche, quadratische Matrix. Aus den Vorbetrachtungen gelten jetzt folgend:

1 | a $A$ besitzt nur reelle Eigenwerte

2 | b die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal!

• Wenn wir verschiedene Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten haben, dann müssen diese zueinander orthogonal sein!

Beweis | EV/EW hermitescher Matrizen:

Beweis 1 | a: Sei $\lambda$ ein Eigenwert von $A$ mit Eigenvektor $=x$. Das heißt jetzt: $$x\ne \mathcal{O}\wedge A\cdot x=\lambda \cdot x$$ Dann ist jetzt $$\begin{array}{rlr}\lambda (x|x)& {\leftrightarrow }^{\text{linearita¨t!}}& (x|\lambda x)\\ & =& (x|A\cdot x)\\ & =& (A\cdot x|x)\\ & =& (\lambda \cdot x|x)\\ & =& \bar{\lambda }(x|x)\end{array}$$ und weil $x\ne \mathcal{O}$ ist, ist dann auch $(x|x)\ne \mathcal{O}$. Also ferner folgt dann auch $\lambda =\bar{\lambda }$, und somit muss $\lambda$ reell sein!

Beweis 2 | b: Seien jetzt ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ jeweils Eigenwerte von $A$ mit den Eigenvektoren $x_1,x_2\ne \mathcal{O}$ Das heißt jetzt folgend: $$\begin{array}{r}A\cdot x_1={\lambda }_1\cdot x_1\\ A\cdot x_2={\lambda }_2\cdot x_2\end{array}$$ Aus der Aussage von 1 | a folgt jetzt ${\lambda }_1,{\lambda }_2\in \mathbb{R}$! und somit muss jetzt $(x_1|x_2)=0$

Dann können wir jetzt folgend umformen: $$\begin{array}{rlr}{\lambda }_1(x_1|x_2)& {=}^{\text{ wir wissen dass es reell und somit gleich ist}}& {\lambda }_1\cdot x_1|x_2)\\ & =& (A\cdot x_1|x_2)\\ & =& (x_1|A\cdot x_2)\\ & =& (x_1|{\lambda }_2{x}_2)\\ & =& {\lambda }_2(x_1|x_2)\\ & ⟹& {\lambda }_1\cdot (x_1|x_2)-{\lambda }_2(x_1|x_2)=0\\ & ⟺& ({\lambda }_1-{\lambda }_2{)}^{\ne 0}\cdot (x_1|x_2{)}^{=\mathcal{O}}=0\end{array}$$ und somit folgt dann jetzt, dass $x_1,x_2$ orthogonal zueinander sind!

Korollar | [[#Satz Eigenwerte/Vektoren hermitescher Matrizen|Satz]] gilt ebenso für symmetrische Matrizen

Beispiel

Sei $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\in M_2(\mathbb{R})=\text{symmetrisch}$$ Mit den Eigenwerten ${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=5\in \mathbb{R}$ sind die Eigenvektoren folgend:

$$\begin{array}{l}\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)\text{ zu }{\lambda }_1\\ \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\text{ zu }{\lambda }_2\end{array}\}=\text{ orthogonal}$$

[!Example] Bilkompression Anwendung findet man mit diesen Eigenschaften etwa bei “Bildkompression mit der diskreten Kosnustransformation” https://de.wikipedia.org/wiki/Diskrete_Kosinustransformation