Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit ::

Bisher kennen wir nur [[math1_reelleFunktionen]] [[math1_trigonomFunktion]] und bijektive,surjektive,injektive Abbildungen, welche ebenfalls Funktionen entsprechen.

Für weitere Eigenschaften möçhten wir uns die Konvergenz, und Stetigkeit von Funktionen anschauen können ::

Definition ::

#def

Sei $D\subset \mathbb{R},f:D⟶\mathbb{R}$ eine Funktion. Weiterhin enthält sie $x_0,a\in \mathbb{R}$

1. Die Funktion f heißt konvergent gegen a für $x⟼x_0$, wenn gilt für alle Folgen $(x_n{)}_x$ aus $D\setminus \{x_0\}$ –> also wir betrachten alle Glieder bis zum Grenzwert, aber nicht den Grenzwert selbst! die gegen $x_0$ konvergieren: Konvergieren die Funktionswerte für die Funktionenfolge $f(x_n)⟶a$ gegen a. Also wir müssen für alle Folgen zeigen: $f(x_n)⟶a{x}_n⟶x_0$
   Wir notieren diese Eigenschaft mit $\underset{x⟶x_0}{\lim }f(x)=a$
2. Analog dazu lässt sich der Grenzwert für $x⟶+\infty$ oder $x⟶-\infty$ definieren :: f konvergiert gegen a für $x⟶\infty \wedge x⟶-\infty$ falls für alle Folgen $(x_n{)}_n$ mit $x_n⟶(-)\infty$ Das heißt : $\forall K\in \mathbb{N}\exists N\in \mathbb{N}:x_n>K\forall n\ge N$, dann gilt $f(x_n)⟶a$ Geschrieben als $\underset{x⟶\infty }{\lim }f(x)=a$ and vice versa für $-\infty$

   Wir brauchen also eine Folge, welche gegen diese Polstelle konvergieren muss, sodass wir sie dann einfügen und die Stetigkeit an der Stelle berechnen können.

Beispiele ::

$f:D\subseteq \mathbb{R}⟶\mathbb{R}|x⟼x^2$ Wa ist der Limes f(x) gegen 2 :: $\underset{x⟶2}{\lim }f(x)$ Sei $(xn{)}_n$ eine Folge mit $\underset{n⟶\infty }{\lim }{x}_n=2$ Nach den Rechenregeln für Folgen gilt hier dann : $f(x_n)=x_n^2⟶(2{)}^2=4$ also ist der Limes von f(x) gegen 2 :: $\underset{x⟶x_0}{\lim }=2^2=4$

$f:(0,\infty )={\mathbb{R}}^{+}⟶\mathbb{R}|x⟼\frac{1}{x}$ Für alle $(x_n{)}_n$ mit $x_n⟶\infty$ für $n⟶\infty$ gilt dann $f(x_n)=\frac{1}{x_n}⟶0$ also alle $x_n$ die divergieren führen dann dazu, dass die Funktion gegen - konvergieren wird. Wir schreiben es als $\underset{x⟶\infty }{\lim }f(x)=0$ auf.

Häufungsstellen :

Die Betrachtung der [[#Definition ::]] ist nur interessant für die Punkte $x_0\in \mathbb{R}$, für die es dann Folgen mit $(x_n{)}_n\in D\setminus \{x_0\}$ gibt die dennoch gegen $x_0$ konvergieren. Diese Punkte nennen wir dann Häufungsstellen von D - dem Definitionsbereich! $\bar{D}=D\cup \{x|\text{x ist Ha¨ufungspunks von D}\}$ heißt dann der ==Abschluss== von der Menge D.

Anders formuliert nennen wir einen Punkt Häufungspunkt einer Menge wenn gilt, dass er unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat.

Betrachten wir dafür : $D=(0,\infty )={\mathbb{R}}^{+}$ ![[Pasted image 20230127153916.png]] Der Verlauf ist somit positiv-unendlich. Wir können also sagen, dass $-1$ kein Häufungspunkt der Menge D ist. $1,0$ sind jedoch Häufungspunkte von D.

Ein weiteres Beispiel $D={\mathbb{R}}^{+}\cup \{-2\}$ In diesem Fall ist $-2$ kein Häufungspunkt da wir keine Folge $x_n$ finden können, welche gegen den Punkt -2 konvergiert. Dennoch ist $-2\in D$ und $-2\in \bar{D}$ –> also im abschluss enthalten.

ein weiteres Beispiel :: $D=(a,b)\subseteq \mathbb{R}$, dann sind a,b Häufungspunkte $\overline{D}=[a,b]$ beschreibt den Abschluss von D –> Da die beiden Häufungspunkte a und b nun ebenfalls inkludiert sind. Anders niedergeschrieben :: $\overline{D}=(a,b)\cap a,b\in \mathbb{R}$

Weiterhin beispielsweise gilt auch : $\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}$

Links- und Rechtseitige Grenzwerte ::

In Def [[#Definition ::]] muss $f(x_n)⟶a$ für alle Folgen $(x_n{)}_n$ aus $D\setminus \{x_0\}$, die gegen $x_0$ konvergieren, gelten. Demnach gilt also, dass für Folgen, die von links und von rechts kommen diese ebenfalls gegen $x_0$ konvergieren müssen –> sie werden ja mit allen Folgen eingeschlossen.

Es muss also $x_n⟶x_0$ mit $x_n<x_0\forall n$ gelten –> Also alle Werte, die kleiner als der Grenzwert sind! linksseitiger Grenzwert:: $\underset{x⟶x_0-}{\lim }f(x)=a$ oder auch $\underset{x\uparrow x_0}{\lim }f(x)=a$

Weiterhin muss dies auch für alle Werte, die größer sind, gelten. $x_n⟶x_0,x_n>x_0\forall n$ rechtseitiger Grenzwert:: $\underset{x⟶x_0+}{\lim }f(x)=a$ oder auch mit : $\underset{x\downarrow x_0}{\lim }f(x)=a$

Beispiele ::

==Beispiel==$D=\mathbb{R},x_0=0$ wir suchen nun eine Folge, welche von rechts und links gegen $x_0=0$ konvergiert. Dabei könnten wir beispielsweise $(x_n{)}_{n+}=(\frac{1}{n}{)}_n$ bestimmen, denn wenn wir 1/n von rechts kommend betrachten, konvergiert es gegen 0. Weiterhin können wir den linksseitigen Grenzwert mit $(x_n{)}_x=-\frac{1}{n}$ bezeichnen, denn wenn wir sie so betrachten, wird auch diese Folge gegen 0 konvergieren.

==Beispiel==D=$[0,\infty ),x_0=0$ Wir können hier nur Folgen betrachten, die von rechts gegen $x_0$ konvergieren, denn linkseitige Konvergenz gegen 0 lässt uns keine Werte, die kleiner als 0 sind, nehmen.

==Beispiel== Heaviside Funktion - Schwellenwertfunktion: $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{c}0,x<0\\ 1,x\ge 1\end{array}\right\}$ Also sie ist für jeden positiven Wert 1, für jeden negativen 0. Was ist sie an der Stelle 0? Gemäß der Definition muss jede Folge die gegen $x_0$ also hier 0 konvergiert, gelten, dass sie den gleichen Funktionswert aufweist. ![[Pasted image 20230130230858.png]] Wir konstruieren die Folge : $x_n=\frac{1}{n}$ denn $\underset{n⟶\infty }{\lim }(x_n)=0$ $f(x_n)=f\left(\frac{1}{n}\right)=1⟶1$ da N positiv ist und somit immer größer 0 sein wird.

Weiterhin können wir ebenfalls die Folge definieren: $(x_n{)}_n=(\frac{1}{n}{)}_n$. und auch hier : $\underset{n⟶\infty }{\lim }(x_n)=0$ Wenn wir die Folge betrachten, dann $f(x_n)=f(\frac{-1}{n})=0⟶0$ denn -1/n wird immer kleiner 0 sein – negatives Vorzeichen!

Wir können daraus schließen, dass es kein a - also Grenzwert zur Stelle $x_0$ gibt, so dass alle Folgen mit $x_n⟶x_0$ $f(x_n)⟶a$ erfüllen. Es gibt hier also keinen $\underset{x⟶0}{\lim }f(x)$ ! Denn eigentlich muss für jede Folge, die gegen den gesetzten Grenzwert konvergiert, auch der Funktionswert gleich sein.

Divergiert bestimmt :

Sei $f:D⟶\mathbb{R},x_0\in \overline{D}$ –> es gibt also einen Grenzwert $x_0$ welcher sich in der abgeschlossenen Menge D befindet – kann also der Häufungspunkt sein!.

Falls für alle Folgen $(x_n{)}_n\in D\setminus \{x_0\}$ mit $\underset{n⟶\infty }{\lim }{x}_n=x_0$ gilt: $f(x_n)⟶\infty$ für $x⟶x_0$ selbiges gilt für $-\infty$. Wir beschreiben diese Eigenschaft dann mit ==f divergiert bestimmt gegen== $\infty \vee -\infty$ für $x$ gegen $x_0$. Also wenn zu dem Grenzwert hin die Funktionswerte so klein / groß werden, dass wir sie nicht quantifizieren können, dann haben wir divergiert f an dieser Stelle gegen $\infty$. #Tip Konvergenz bei einer Funktion heißt dann also, wenn sie divergiert dann ist der Funktionswert an der gegebenen Stelle nicht zu bestimmen, weil sie entweder + - unendlich ist. ==Wir haben also eine Asymptote gefunden!==

Beispiel :

==Beispiel== $f:D⟶\mathbb{R}|x⟼\frac{1}{x}$ Betrachten wir hier jetzt bestimmte Intervalle des Definitionsbereiches ::

1. Falls $D=(0,\infty )$ –> f divergiert bestimmt gegen $\infty$ wenn wir $x_0=0$ setzen. Die Funktion soll sich also von beliebigem X gegen 0 bewegen, und eigentlich konvergieren. –> da 1/0 jedoch nicht definiert ist, wird sie bis dahin immer größer (1/0,1, 1/0,01,1/0,001 …) und divergiert somit.
2. Falls wir $D=(\infty ,0)$ bestimmen, dann divergiert f ebenfalls gegen $-\infty$ für $x⟶0$
3. Wenn wir $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ definieren, dann existiert ein $\underset{x⟶0}{\lim }f(x)$ nicht, und f divergiert auch nicht bestimmt.

Stetigkeit ::

Sei $f:D⟶\mathbb{R}$ f heißt stetig an der Stelle $x_0\in D$, falls wir zeigen können, dass der Limes von beliebigem X gegen den Punkt $x_0$ gleich dem Wert $f(x_0)$ ist. $\underset{x⟶x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$ –> also wenn wir x fortlaufend an $x_0$ annähern, es aber nicht erreichen, dann soll der Wert $f(x)⟺f(x_0)$ sein. Also der Grenzwert der Funktion bis zur Stelle muss gleich dem Funktionswert an der Stelle sein.

Eine Funktion $f$ heißt überall ==stetig in D==m falls $f$ in jedem Punkt $x_0\in D$ stetig ist.

$ϵ$-$\delta$-Kriterium :

$\forall ϵ>0\exists \delta >0\forall x\in D:|x-x_0|\le \delta ⟹|f(x)-f(x_0)|\le ϵ$ Für jedes Epsilon existiert also ein Delta, sodass der Abstand zwischen x und dem Grenzwert $x_0$ kleiner des einen Deltas ist und daraus können wir dann folgern, dass der “Abstand der Funktionswerte” von f(x) und f(x_0) - dem Grenzwert - kleiner $ϵ$ ist. Also wir können den Abstand sehr klein bestimmen –> $ϵ>0,$ kann also auch 0,000001…. sein, und somit sehr nahe Felder betrachten.

Wir nähern uns nach diesem Prinzip also so des Grenzwertes an, dass wir bei einem beliebig gewählten Abstand - bestimmt von $ϵ$ - ein $\delta$ finden können, was so gesetzt wird, dass wir damit den Abstand zwischen $x_0$ dem Grenzwert und aller umliegenden Werte $x$ nach und nach verringern können. Es werden damit immer weniger x-Werte zur Auswahl stehen und wir nähern uns dem Grenzwert an. Wenn dann eine undefinierte Stelle auftritt - Asymptote oder so - dann wird der Abstand der Funktionswerte nicht kleiner Epsilon sein, da Epsilon den Abstand möglichst klein halten möchte.

Beispiel ::

==Beispiel== $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R},|x⟼x^2$ ist stetig auf $\mathbb{R}$ Denn es existiert ein Grenzwert $\underset{x⟶x_0}{\lim }f(x)$ und weiterhin ist dieser gleich $f(x_0)⟹\underset{x⟶x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$

![[Pasted image 20230130224416.png]] Weitere Beispiele, welche intuitiv angeben, ob eine Funktion stetig ist, oder nicht.

![[Pasted image 20230130224436.png]] $f$ ist nicht stetig in $x_0$, obwohl ein $\underset{x⟶x_0}{\lim }f(x)$ existiert –> hier ist der Grenzwert 3. dieser ist jedoch ungleich des tatsächlichen Grenzwertes $f(x_0)=4$

$f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ $f(x)=|x|$ ist stetig auf $\mathbb{R}$

Bemerkung ::

In der Schule beschrieb man Stetigkeit einer Funktion F so, dass man den Graphen von f ohne Absetzen zeichnen kann und sie dann stetig ist – also keine Sprungstelle hat.

Dieses Prinzip ist aber nur teils gültig, denn die Funktion $f:D=\mathbb{R}\setminus \{0\}⟶\mathbb{R},x⟼\frac{1}{x}$ ist mit der Definition des Definitionsbereiches auch stetig auf D! Und das, obwohl sie an Stelle 0 eine Polstelle hat - welche wir jedoch weglassen und somit keine Sprungstelle auftritt - und wir sie “theoretisch, absetzen müssten”. ![[Pasted image 20230130225438.png]]

Die Funktion $f:\mathbb{R}⟶\mathbb{R},f(x)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1x\in \mathbb{Q}}{0x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}\right)$ Also 1, wenn der Wert in Q ist und sonst 0 – immer dann wenn er in R ohne Q ist.

==Thomaesche Funktion==:: $f:[0,1]⟶\mathbb{R},f(x)=\frac{1}{q}$ falls x= $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$, 0 falls $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$, 1 falls $x=0$ Die Funktion ist stetig in jedem $x_0\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\in [0,1]$, und unstetig in jedem $x_0\in \mathbb{Q}in[0,1]$

Regeln für stetige Funktionen ::

Seien $f,g:D⟶\mathbb{R}$ stetig in $x_0$ und weiterhin $c\in \mathbb{R}$ eine Konstante. Dann sind auch $c\ast f,f+g,f-g,f\ast g,\frac{f}{q}$(für $g(x)\ne 0\forall x\in D)$ stetig in $x_0$ –> es skaliert demnach und Stetigkeit wird zwischen zwei stetigen Funktionen beibehalten.

Weiterhin ist die Komposition stetiger Funktionen ebenfalls stetig. Das heißt : $D,D^{‘}\subseteq \mathbb{R},f:D⟶\mathbb{R},g:D^{‘}⟶\mathbb{R},f(D)\subseteq D^{‘},f,g$ stetig $⟹(g\circ f):D⟶\mathbb{R}$ stetig.

Wir können dies aus den Rechenregeln für Folgen beweisen, denn wenn eine Funktion stetig in $x_0$ ist, dann ist jede Folge mit Grenzwert $x_0$ gleich konvergierend und sofern man nun zwei stetige Funktionen kombiniert, wird diese Eigenschaft übernommen und die neue Folge ebenfalls gleich konvergieren.

weitere Betrachtungen bei Bijketivität und Stetigkeit ::

Bijektivität und Stetigkeit Sei $D\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall. Weiterhin definieren wir die Funktion $f:D⟶f(D)$ welche bijektiv und stetig ist. $⟹$ Wir können daraus folgern, dass auch die Umkehrfunktion $f^{-1}:f(D)⟶D$ stetig ist.

Potenzreihen Potenzreihen mit dem Konvergenzradius $\delta$ sind stetig für alle x mit $|x|<\delta$ $exp(x)$ ist beispielsweise stetig auf ganz $\mathbb{R}$, da $\delta =\infty$

Polynome Polynome, exponentialfunktionen, logarithmen, wurzelfunktonen sind stetig in ihrgem gesamten Definitions-Bereich.

Trigonometrische Funktionen Sin(x),cos(x),tan(x),cot(x), sind ebenso stetig auf ihrem gesamten Def-Bereich.

Mit diesen Informationen können wir oft begründen, dass ein Teil einer Funktion definitiv stetig sein wird und uns dann auf die wichtigen Stellen - Übergänge zwischen zwei Funktionen beispielsweise - konzentrieren können.

Anmerkung für gebrochen rationale Funktionen ::

Sei $f:D⟶\mathbb{R}$ mit $x⟼\frac{p(x)}{q(x)}$ eine gebrochen rationale Funktion, wobei ihr Definitionsbereich $D:=\mathbb{R}\setminus \{x\in \mathbb{R}|q(x)=0\}$ also die Stelle, an welcher der Bruch eine Polstelle erstellen würde! $⟹\frac{1}{0}$

Ist dieser Definitionsbereich so gesetzt, dass diese Polstelle nicht entstehen kann, dann ist f stetig auf ganz D!

Lässt sich $f$ auf ganz $\mathbb{R}$ definieren – quasi fortsetzen? Ja, wenn wir für die Definitionslücke einen Fall inkludieren, welcher die Funktion stetig sein würde.

Beispiel :

Sei $f:D=\mathbb{R}\setminus \{1\}⟶\mathbb{R}$ Weiterhin ist die Definition von $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ ist stetig auf D.

Denn wir lassen die Polstelle 1 heraus!

Jetzt möchten wir die Funktion so erweitern, dass sie auf ganz $\mathbb{R}$ abbildet, wir also auch die Polstelle so umgehen, dass die Funktion weiterhin stetig bleibt. Dafür erstellen wir $f^{\wedge }:=\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ mit $f^{\wedge }=\left\{\begin{array}{c}\frac{x^2-1}{x-1},x\in \mathbb{R}\setminus fallsx\ne 1\\ b,\text{falls x=1}\end{array}\right\}$
Mit dieser Definition ist $f^{\wedge }$ stetig in $x_0=1$ genau dann, wenn b=2, denn wenn wir den Limes gegen 1 betrachten, dann resultieren wir mit 2. $\underset{X⟶1}{\lim }f(x)=2$.

Wir nennen diese Lücken, die wir anschließend füllen müssten, um eine konstant stetige Funktion zu erhalten stetig hebbare Definitionslücke von f

Allgemeines füllen von Definitionslücken ::

Sei $f:\mathbb{R}\setminus \{x_0\}⟶\mathbb{R}$ also auf ganz R ohne einen beliebigen Punkt
Dann $\exists \underset{x⟶x_0}{\lim }f(x):=r$

Es gibt also einen Grenzwert für die Funktion an der gegebenen Stelle, sodass wir den Anstieg anschließend bestimmen und füllen könnten. Dieser Wert wir dann mit $r$ definiert.

Wir definieren sie als stetig hebbare Definitionslücke von f und können eine neue Funktion erstellen, die die komplett stetig ist auf $\mathbb{R}$ $f^{\wedge }:\mathbb{R}⟶\mathbb{R}$ mit $f^{\wedge }(x)=\left\{\begin{array}{c}f(x),x\in \mathbb{R}\setminus \{x_0\}\\ r,x=x_0\end{array}\right\}$

wir können bei Funktionen, die veschiedene Bereiche abdecken, einfach den Anstieg an der zweigstelle betrachten und dann entscheiden, ob wir eine Stetigkeit vorliegen haben. Das heißt, wenn wir eine Funktion betrachten $f(x):=\left\{\begin{array}{c}2+x,fallsx>0\\ \frac{1}{2}\ast x,fallsx<0\end{array}\right\}$ dann können wir an der Stelle 0 beide Funktionen betrachten und prüfen, ob sie stetig sind. Sei x=0 $⟶2+x=2+0=2$ und $\frac{1}{2}\ast 0=0$ –> Die Funktionswerte sind in den Nullpunkten ungleich, und somit ist die Funktion nicht stetig!
#Tip

Beispiele ::

==Beispiel== $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}⟶\mathbb{R}$ Mit $f(x)=\frac{(x^2-1)(x-1)}{x-1}$ Betrachten wir die Funktion, erkennen wir eine Definitionslücke $x_0=1$. Sie muss hebbar sein, sodass wir die Stetigkeit weiterbetrachten können. Setzen wir den $\underset{x⟶1}{\lim }f(x)=0$ dann ist sie fortsetzbar. $f^{\wedge }:\mathbb{R}⟶\mathbb{R},f^{\wedge }(x)=\left\{\begin{array}{c}f(x),x\ne 1\\ 0,x=1\end{array}\right\}$ ist somit eine stetige Funktion.

==Beispiel== $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}⟶\mathbb{R}$ Mit $f(x)=\frac{x^2-1}{(x-1{)}^2}$ Wir haben eine Definitionslücke an $x_0=1$, welche wir nicht heben können, denn es existiert kein $\underset{x⟶1}{\lim }f(x)$ –> $x_0$ ist ein Polstelle der Funktion.

Wir können daraus die Definition von Polstellen ableiten :

Polstellen einer Funktion :

Gilt für eine Nullstelle $x_0$ des Nenners einer rationalen Funktion $f(x)⟶\infty \vee -\infty$ für $x⟶x_0-$ oder $x⟶x_0+$, dann nennt man $x_0$ eine Polstelle.

Beispiel ::

Sei $f,g:\mathbb{R}\setminus \{0\}⟶\mathbb{R}$ $f(x)=\frac{1}{x};g(x)=\frac{1}{x^2}$ und sei weiterhin $x_0=0$ Dann ist $f(x_0)=+\infty \vee -\infty$ für $x⟶0+\vee 0-$ Und für $g(x_0)=-\infty \vee +\infty$ wenn $g(x)⟶+\vee -\infty$

Spezielle Polstellen ::

Sei $f:\mathbb{R}\setminus \{0\}⟶\mathbb{R}$ mit $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ Dann hat sie bei $x_0=0$ eine Oszillationsstelle

Weiterhin können wir daraus schließen : $(x_n{)}_n=(\frac{1}{n\pi })⟶0$ und somit ist die Funktion $f(x_n)=sin(n\pi )=0⟶0$

wir können auch noch eine weitere Folge definieren $(x_n{)}_n=(\frac{1}{\frac{\pi }{2}+2\pi n})⟶0$. Denn setzen wir sie passend in die Funktion ein, dann folgt : $f(x_n)=sin\left(\frac{\pi }{2}+2\pi n\right)=1⟶1$ Wir haben also zwei verschiedene Folgen gefunden, welche gegen die Betrachtungsstelle $x_0$ konvergieren, jedoch eingesetzt haben sie einen anderen Wert.

Dennoch gilt für eine Funktion $f(x)=xsin\left(\frac{1}{x}\right)⟶0$ für $x⟶0$ Denn werden beide obigen Folgen weiterhin gegen 0 konvergieren.

Wichtig Haben wir eine Funktion $f(x)=sin\frac{x}{x}⟶1$ für $x⟶0$, dann ist die Definitinoslücke x=0 hebbar durch 1.

Wir können daraus folgern, dass Stetige Funktionen auf abgeschlossenen Intervallen wie: $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ diverse Eigenschaften aufweisen :

• Zwischenwerteigenschaften
• Es existieren Maxima und Minima

Diese Eigenschaften werden in [[math1_FunktionAnalyse]] betrachtet!