Polynome über Körper $\mathbb{F}$ ::

Previously we’ve observed and defined finite fields $K$ here [[math2_RingeKörper]] broad part of [[103.00_anchor_math]]

Alternative Schreibweise: $f(x)⟺f$ Sei $K$ ein Körper mit $0,1\in K$::

Wir definieren ein Polynom über K ( mit einer Veränderlichen $x$) mit dem passenden Ausdruck: $f=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x^1+\dots +a_n{x}^n$ wobei: $n\in \mathbb{N}$ und $a_i\in K$ die Koeffizenten von $f$ beschreibt. Ist in unserer Betrachtung $a_i=0$, so kann mann eine Verknüpfung $a_i\cdot x^i$ passend verkleinern und weglassen, da $a_i\cdot x^i=0\cdot x^i=0$ Sind alle $a_i=0$ in einem Polynom, dann beschreibt man das entstehende Polynom $f=0$ als Nullpolynom

2. Wir definieren die Menge aller Polynome über K mit $K[x]$
3. Wir nennen zwei gegebene Funktionen $f,g\in K[x]$ gleich, falls gilt: $f=0,g=0\vee \begin{array}{c}f=a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n,a)n\ne 0\\ g=b_0+b_{1}x+\dots +b_m{x}^m,b_m\ne 0\end{array}⟹n=m\wedge a_i=b_i\forall i\in \{0,1\}$

application of those system is found in Reed-Solomon-Codes for example

Beispiele :

Sei $f(x)=3x^2+\frac{2}{3}x-1\in \mathbb{Q}[x]\wedge \in \mathbb{R}[x]$ Betrachten wir weiter $g(x)=x^7+x^2+1\in {\mathbb{Z}}_2[x]$ wobei dann $a_7,a_2,a_0=1,a_i=0$ –> sonst würden sie auftauchen und in unsere Definition hineinfallen.

Es gibt sich die Annahme und der Wunsch, mit Polynomen rechnen zu können, benötigen dafür aber eine Grundstruktur, die $\cdot ,+$ erlaubt!

Wir definieren dafür nun folgend Polynomringe

Polynomringe $K[x]$ ::

Sei K ein Körper, dann wird $K[x]$ zu einem kommutativen Ring mit Eins durch die folgenden Verknüpfungen:: Für zwei Polynome $f=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ und $g=\sum _{j=0}^m{b}_j{x}^j$ Als Beispiel nutzen wir hier$f=x+2$ und $g=x^2+3x+3$ Definieren wir die Addition:: $f+g=\sum _{i=0}^{max(m,n)}(a_i+b_i)\cdot x^i$ Also wir betrachten das Polynom mit der größten Grad und wissen, dass die Addition der beiden Polynome garantiert diese Ordnung erreichen wird. Weiter schließen wir dann jede einzelne Zelle $a_i\cdot x^i$ mit einer Addition zusammen. Als Beispiel: $f+g=x^2+3x+3$ –> wir haben einfach jede einzelne Zelle zusammenaddiert

Definieren wir nun die Multiplikation:: $f\cdot g=\sum _{i=0}^{m+n}{c}_i\cdot x^i$ wobei $c_i=\sum _{j=0}^i{a}_j\cdot b_{i-j}$ Wir generieren also ein Faltungsprodukt und erstellen damit ein neues Polynom welches in seiner Strukutr folgend aussieht: $(a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n)\cdot (b_0+b_{1}x+\dots b_m{x}^m)⟹$ $a_0\cdot b_0+(a_0{b}_1+a_1{b}_0)+\dots \text{wa¨chst in seiner STruktur immer weiter}\cdot x^{n-m}$

Als Beispiel: $f\cdot g=(x+2)(x^2+2x+1)$ $⟺x^3+2x^2+x+2x^2+4x+2$ $⟺x^3+4x^2+5x+2$

Weitere Spezialdefinitionen in Polynomringen:

Weiterhin definieren wir

1. Einselemente $f=1(a_0=1,a_i=0\forall i\ge 1$
2. Nullelemente $f=0$
3. $K[x]$ heißt der Polynomring in einer Variablen über K
4. Monome $a_0,a_{1}x,a_2{x}^2,\dots a_n{x}^n$ werden Monome genannt
5. $a_n{x}^n$ heißt ein Leitterm von $f=a_0+a_{1}x+\dots a_n{x}^n,\text{where}(a_n\ne 0)$
6. Die Pluszeichen in der Beschreibung der Polynome entsprechen der Ringaddition der Monome –> Wir können aus Monomen und der Addition Polynome generieren ( obv)

Die Koeffizienten der Polynome sind also immer aus dem Körper $K$ kommend –> dann haben wir einen Polynomring “über K”

Beispiele Polynomringe :

1. Die Addition, wie wir sie betrachtet und definiert haben, ist in $\mathbb{Q}[x],\mathbb{R}[x]$ bekannt, wie wir es zuvor definiert und betrachtet haben.
2. Betrachten wir jetzt ${\mathbb{Z}}_3[x]$ und $f=2x^3+1=2x^3+0\cdot x^2+0\cdot x+1x^0$ als Kurzform beschrieben. Definieren wir weiter $g=x+2$ und Betrachten nun die Addition / Multiplikation $f+g=2x^3+x+(2+1)=2x^3+x$ –> denn $2+1=3\in {\mathbb{Z}}_3$ $f\cdot g=(2x^3+1)\cdot (x+2)⟺2x^4+(2\cdot 2)x^3+x+2$ $⟺2x^4+x^3+x+2$, denn unter Betrachtung des Raumes : $2\cdot 2=1\in {\mathbb{Z}}_3$
3. Betrachten wir noch eine weitere Betrachtung im Raum ${\mathbb{Z}}_2$ f = $x^{2+1},g=x+1$. Dann folgt: $f+f=0$ und auch $g\cdot g=x^2+1$ Denn in der Addition wäre es $2x^2+2=0$

Polynom Grad :

Sei $0\ne f\in K[x],f=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$ where $(a_n\ne 0)$

also der höchste gultige Ausdruck, der nicht mit 0 resultiert

Dann heißt $n$ der Grad von F, und wird beschrieben mit :$grad(f)=n$ Sofern der Grad 0 ist, haben wir $grad(0):=-\infty$ Weiterhin: $grad(g):=0$, falls g ein konstantes Polynom $\ne 0$ ist.

Polynom Gradformel :

Sei $K$ ein Körper und weiterhin $f,g\in K[x]$ zwei Polynome über den Körperring. Dann ist $grad(f\cdot g)=grad(f)+grad(g)$ $(x^2+1)\cdot (x^4+5x)⟶grad(f\cdot g)=6$ d

Wir addieren jeweils die zwei höchsten Koeffizienten und erhalten damit den neuen Grad der Konkatenation gemäß der Multiplikation

Weiterhin eine Konvention um die Multiplikation mit Polynomen, die $-\infty$ aufweisen, abzuschließen. $-\infty +(-\infty )=-\infty +n=-\infty$

Ein Nullpolynom multipliziert mit irgendeinem anderen Polynom, wird wieder mit dem Nullpolynom resultieren!

Beweise ::

• die Aussagen stimmen für $f=0$ oder $g=0$ –> gemäß der obigen Konvention!
• angenommen die Leitterme von f bzw. g sind $a_n{x}^n$ bzw $b_m{x}^m$ und weiterhin sind beide keine Nullpolynome: $a_n{x}^n,b_m{x}^m\ne 0$
• dann ist der Grad $grad(f)=n,grad(g)=m$ und die Multplikation i=gibt den Leitterm von $f\cdot g$: $(a_n\cdot b_m)\cdot x^{n+m}\ne 0$ –> Wir erhalten einen neuen Grad.
  • Das können wir belegen, da wir in einem Körper die Nullteilerfreiheit bewiesen haben
• Wir resultieren also mit : $grad(f\cdot g)=n+m$

Korollar : Invertierbarkeit von $K[x{]}^{\ast }$ ::

Sei $K$ ein Körper, dann ist $K[x{]}^{\ast }=\{f\in K[x]|grad(f)=0\}$ die Menge der invertierbaren konstanten Polynome $\ne 0$ . Sie sind bezüglich der Multiplikation des Körpers invertierbar.

Einfach zu betrachten: Wenn wir Konstante Polynome haben, dann sind diese beispielsweise $f=5$ und da wir uns in einem Körper befinden, wird da die Invertierbarkeit existieren.

Weiterhin können wir halt für nicht-konstante Polynome kein Inverses definieren, denn Terme, wie $x^2$ sind in dem Körper selbst nicht invertierbar –> wir bräuchten weitere Termne ,die in diesem nicht enthalten sind

Beweis des Korollar :

Suchen wir die Inverse zu einem konstanten Polynom $f\in K[x]$ und benennen es mit $f^{-1}$. Bezüglich der Multiplikation müssen wir folgern: $f\cdot f^{-1}=1$ Dann ist jetzt: $0=grad(1)=grad(f\cdot f^{-1})=grad(f)+grad(f^{-1})$ –> wir haben zuvor mit der Gradformel gezeigt, dass die Multiplikation zweier Polynom die Addition ihres Grades als neuen Grad festlegt. Dadurch können wir mit unserer Umrechnung resultieren. Weiterhiin ist dies nur möglich für $grad(f)=gra(f^{-1})=0$ –> denn wir müssen im Inversen die Addition und das Ergebnis von 0 erzielen. Sei Außerdem: $f=a_n/0$ ein konstantes Polynom. $⟹f^{-1}=a_0^{-1},f^{-1}\cdot f=f\cdot f^{-1}=1$ also ist das konstante Polynom $f$ eine Einheit von $K[x]$

Teilbarkeit in $K[x]$:

Sei $f,g\in K[x]$ Funktionen in f,g. IWr beschreiben mit f teilt g also $f|g$, falls $q\in K[x]$ mit $g=q\cdot f$, denn nach der Gradformel gilt hier $grad(f)\le grad(g),$ sofern $\ne 0$

Division mit Rest in $K[x]$:

Sei $0\ne f\in K[x],g\in K[x]$ Dann existieren bestimmte Polynome $q,r\in K[x]$ wobei $r=g\mathrm{mod}f$ also der Rest $g=g\cdot f+r$ $grad(r)\le grad(f)$U

Beispiel für Division von Polynomen :

sei $g=x^4+2x^3-x+2$ $f=3x^2-1\in \mathbb{R}[x]$ $(x^4+2x^3+0x^2-x+2):(3x^2-1)$

der Gedankenprozess: wie müssen wir den Dividend multiplizieren, sodass wir das erste Polynom reduzieren ( gen 0 ohne Rest) teilen können. Den Teil, den wir immer dazu multiplizieren, schreiben wir nieder und bilden so das Ergebnis

als ersten Schritt: $3x^{2-1}\cdot \frac{1}{3}{x}^2=x^4,-\frac{1}{3}{x}^2$ was wir nun von dem originalen Term abziehen. Dieser resultiert also mit : $2x^3+\frac{1}{3}{x}^2-x+2$ und jetzt suchen wir eine Multiplikation, um den nächsten Term zu reduzieren $3x^2-1\cot \frac{2}{3}x=-(2x^3-\frac{2}{3}x⟹2x^3+\frac{1}{3}{x}^2-x+2--(2x^3-\frac{2}{3}x=2x^3+\frac{1}{3}{x}^2-x+2$ Weiterhin dann $\frac{1}{9}\cdot 3x^2-1=-(\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{9})$ . Weiterhin resultieren wir dann mit $-\frac{1}{3}x+\frac{19}{9}=r$ also den Rest unserer Divison. Das heißt: $\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}+r$

Korollar : Teilbarkeit von Polynomen:

Sei $K$ ein Körper und $a\in K$ Weiterhin ist $f\in K[x]$ genau dann durch $x-a$ teilbar, also der Rest der Division ist 0, wenn $f(a)=0$ ist, also wenn wir eine Nullstelle auf f an der Stelle a haben. Wir wissen zum Zeitpunkt nicht, was $f(b)=0$ ist bzw. wie es berechnet wird, weil wir dafür noch keine Abbildung gefordert hatten. Das heißt, um dies zu berechnen müssen wir eine Abbildung von $K⟶K$ definieren und wir berechnen anschließend einfach ein Wert in $K$.

Beweis der Teilbarkeit :

Beweisen wir zuerst $⟹$: Sei F durch $x-a$ teilbar, das heißt dann: $f=q\cdot (x-a)⟹f(a)=q(a)(a-a{)}_{=0}=0$ Weiterhin der Beweis $⟸$: Sei $f(a)=0$ Z.z $(x-a)|f$, und dabei muss dann $r=0$ –> Teilbarkeit setzt keinen Rest voraus Wir führen die Division mit Rest durch: $f=q\cdot (x-a)+r$ mit $grad(r)<grad((x-a){)}_{=1}$ Daraus folgt: $⟹r\text{ ist konstantes Polynom }grad(r)=0$ oder auch $r=0(grad(r)=-\infty )$ als $r\in K$ $0=f(a)=q(a)\cdot (a-a)+r=r⟹r=0\square$ wobei $r$ eigentlich $r(a)$ sein müsste, aber r ist ja konstant!

Beispiel Nullstellen-Bestimmung:

Sei ein Polynom :$f(x)=x^3-6x^2+11x-6\in \mathbb{R}[x]$ Wir raten die Nullstelle passend: $x=1⟹f(1)=1^{3-6\cdot 1^2+11-6}=0$ und gemäß unseres Korollars muss das Polynom nun durch $(x-1)$ teilbar sein! $(x^3-(6x^2+11x-6):(x-1))=x^2-5x+6$

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