5 Relationen ::

Definition Relation : #def

Seien $M_1\dots M_n$ nicht leere Mengen $n\in \mathbb{N}$.

Eine n-stellige Relation R über $M_1\dots M_n$ ist eine Teilmenge des Kreuzproduktes dieser Mengen. Also $R\subseteq M_{1}x{M}_n$. Ist $n_1=\dots =M_n=M$, d.h $R\subseteq M^n$ so spricht man von einer n-stelligen Relation auf M.

Speziell mit zwei Mengen, also $M_1,M_2$. Es handelt sich um eine ==zweistellige Relation== auf M. Sei $M\ne \varnothing$. Eine Teilmenge $R_{\sim }\subseteq MxM$ heißt dann eine ==zweistellige Relation auf M.== Statt (a,b)$\in R_{\sim }$ mit den Elementen a,b in M, schreibt man kurz einfach $a\sim b$

Beispiele für Relationen ::

Relationale Datenbanken :

Sei $M=\{1,2,3\},R_{\sim }=\{(1,2),(1,3),(2,3)\}$ also $1\sim 2,1\sim 3,2\sim 3$. Betrachte man das Beispiel könne man die Relation “<” setzen, da: 1 < 2, 1<3, 2<3. (“Kleiner-Relation”) Ein weiteres Beispiel wäre $\ge$ welches man auch ferner auf die ganzen natürlichen Zahlen ausweiten könnte.

$R_{<}:=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{Z},x<y\}$ Es beschreibt die Menge der Tuple, die zwei Zahlen aus Z so zusammenfassen, dass die erste Zahl (x) immer kleiner als y ist.

==Teiler-Relationen auf Z==

$R_{|}=\{(x,y)|x,y\in \mathbb{Z}\wedge \exists k\in \mathbb{Z}=>y=k\ast z\}$ x | y $⟹$ x teil y | 3 | -27, 6|42 …

Definition Partielle Ordnungsrelationen : #def

Se $M\ne \varnothing ,⪯$ eine Relation auf M mit folgenden Eigenschafen ::

1. Reflexivität: $\forall x\in M:x⪯x$ Ein Element ist kleiner / gleich mit sich selbst bzw zwei Elemente, die die selben sind, erfüllen die VOraussetzung einer Äqui-Relation.

2. Antisymmetrie: $\forall x,y\in M:(x⪯y\wedge y⪯x)⟹x=y$ That is, sobald zwei Elemente mit (x,y) als auch (y,x) die Bedingung der Relation erfüllen, müssen sie die selben Elemente sein. Da es beispielsweise nicht sein kann, dass (3,4) 3 <4 und 4 < 3 (4,3) $⟹$ Violation der Definition.

3. Transitivität: $\forall x,y,z\in M:(x⪯y\wedge y⪯z)⟹x⪯z$ wenn für zwei Elemente die Relation bereits gilt, und dann ein drittes Element genommen wird, welches größer, als das zuvor größere ELement ist, dann muss es auch größer, als das erste Element sein. Bsp : 3,4,5 : (3,4) da 3 < 4 ; (4,5) da 4 < 5 ; und nun auch (3,5) da 3 < 5

Sind all diese Parameter erfüllt, dann handelt es sich um eine $⪯$ Ordnungsrelation oder auch ==Partielle Ordnung== auf M. Partiell, da Elemente immernoch gleich sein können und so nicht komplett geordnet sein müssen.

Partielle Ordnungen :: Sei eine Menge nicht leer, dann kann man nicht alle Elemente miteinander vergleichen >> partielle Ordnung

Beispiele ::

$R_{\ge }$ auf Z >> ist partiell geordnet, da x <= y, wenn x=y > antisymmetrie, x <= x (reflexiv) und x <= y, y <= z auch x <= z ( transitiv)

Definition totale Ordungsrelation : #def

Gilt neben den Grundlegenden Bedingungen (1),(2),(3) von [[math1_relationen#Definition Partielle Ordnungsrelationen : def|partielle Ordnung]] auch noch :

4. Totalordnung: $\forall x,y\in M:x⪯y\vee y⪯x$ Das heißt zwei verglichene Elemente sind entweder kleiner oder größer zueinander. Dann nennt man die Ordnungsrelation eine ==total -vollständige, lineare - Ordnung==.

Totalordnungen beschreiben Mengen, bei der alle Elemente miteinander verglichen werden können. Ist $x⪯y\wedge x\ne y$ so schreibt man $x\prec y$

Beispiele ::

Es existiert eine totale Ordnung auf $\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R}$

Die obig genannte ==Teiler-Relation auf Z== auf N betrachtet, ist eine partielle Ordnung, nicht total. Da für $3,4\in \mathbb{N}\ne 3|4\vee 4|3$ gilt.

Die ==Teiler-Relation auf Z== ist keine partielle Ordnung, da sie nicht antisymmetrisch ist. Ein Beispiel :: $-3|3,3|-3,$aber dennoch $-3\ne 3$ >> Verletzung, dass sie nicht gleich sind, obwohl beide Varianten funktionieren : $x⪯y\wedge y⪯x$

Weitere Relationstypen:

[[math1_aequivalenzrelationen]]