scattered-lenity

Definition einer Basis (eines V):

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DIe Vektoren $v_1,\dots ,v_n\in V$ oder auch als eine Menge definiert mit $\{v_1,\dots ,v_n\}\subseteq V$ heißen Basis von $V$, falls sich jeder Vektor $w\in V$ eindeutig als eine Linearkombination der Vektoren dieser Menge (also $v_1,\dots ,v_n\in V$) darstellen lässt. Anders beschrieben heißt das dann: $\forall w\in V:\exists {\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\in K:w\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i$ . Gilt außerdemauch $w=\sum _{i=1}^n{\mu }_i{v}_i$ mit ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n\in K$. dann folgt daraus: ${\mu }_1={\lambda }_1,\dots ,{\mu }_n={\lambda }_n$ Also die LK ist eindeutig bestimmt.

Beispiele für Basen:

Sei $e_1,\dots ,e_n$ Basis von ${\mathbb{R}}^n$( wir sprechen dann von der kanonischen Basis) weiteres Beispiel : Betrachten wir die Vektoren $v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ Sie bilden eine Basis von ${\mathbb{R}}^2$, denn wir können diverse (alle) Vektoren mt diesen und zwei Skalaren darstellen. Beispielsweise $\left(\begin{array}{c}5\\ 7\end{array}\right)=5\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ Diese Betrachtung können wir noch verallgemeinern, zu: $\left(\begin{array}{c}{w}_1,w_2\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ Denn:

1. $w=w_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+(w_2-w_1)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ also wir können $w$ als eine LK von $v_1,v_2$ betrachten. ( denn es gibt dann einen Skalar der jeweils die beiden Vektoren so bestimmt, dass die Glechung funktioniert / aufgeht)
2. Sei $w={\mu }_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\mu }_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ (also eine weitere LK von W). Wr wissen, dass die LK eindeutig sein muss und es folgt also $\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ {\mu }_1+{\mu }_2\end{array}\right)$

Definition geordnete Basis:

Sei $B=\{v_1,\dots ,v_n\}$ eine Basis von $V$. Weiterhin sei $w\in V$ Seien jetzt ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ die eindeutig bestimmten Skalare mit $w={\lambda }_1\cdot v_1+\dots +\lambda -n\cdot v_n$. Dann ordnen wir den $w$ den Vektor $\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ \dots \\ {\lambda }_n\end{array}\right)\in K^n$ zu. Wir nennen diesen Vektor jetzt den Koordinatenvektor von $w$ bezüglich $\tilde{B}$ mit $\tilde{B}=(v_1,\dots ,v_n)$ als Beschreibung der geordneten Basis. $\tilde{B}$ ist also ein Tupel, wo die Vektoren geordnet enthalten sind! Weiterhin werden ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ als die Koordinaten von $w$ bzgl. $\tilde{B}$ bezeichnet.

Betrachten wir das Beipsiel von oben weiter: Dann ist $\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\cdot w_1\end{array}\right)$ der Koordinatenvektor von $w$ bezüglich der geordneten Basis $\tilde{B}=(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))$ In $V=K^n:\tilde{B}(e_1,\dots ,e_n)$ bezeichnen wir sie als Kartesische Koordinaten!.

Zusammenhang Dimension/Basis:

Gegeben seien $V$ mit der Dimension $dimV=n\in \mathbb{N}$, und linear unabhängige Vektoren $v_1,\dots ,v_n$. Es folgt jetzt: $⟹\{v_1,\dots ,v_n\}$ ist eine Basis von $V$. Also wenn wir wir in einem Vektorraum mit Dimension $n$ n beliebige Vektoren suchen, die linear unabhängig sind, dann können wir damit eine Basis generieren!

Beweis der Aussage:

Teil 1 des Beweis: wählen wir einen beliebigen Vektor $w\in V$. Dann folgt daraus: $⟶v_1,\dots ,v_n$ sind $n+1$ Vektoren, also linear abhängig nach der Definition der Dimension $V$ [[math2_Vektorräume#Dimensionen von Vektorräumen]] Ferner folgt damit: $⟹\exists {\lambda }_1,{\lambda }_n,\lambda \in K$ nicht alle = 0. Also in dieser Kombination muss bei der Linearkombination ein Lambda(Skalar) nicht 0 sein! Also ${\lambda }_1\cdot v_1+\dots +{\lambda }_n\cdot v_n+\lambda \cdot w=\mathcal{O}$ Nun ist $\lambda \ne 0$ denn sonst ist die Linearkombination ohne den Teil $\lambda \cdot w$ ein Nullvektor, denn wir würden mit dem Term: ${\lambda }_{1\cdot }{v}_1+\dots +{\lambda }_n\cdot v_n=\mathcal{O}$ sonst zeigen, dass dieser linear abhängig ist, was wir nicht wollen. (es wäre $v_i$ linear abhängig!) Wir folgern damit dann: $⟹w{\lambda }^{-1}(-{\lambda }_1\cdot v_1-\dots 0{\lambda }_n\cdot v_n)$ das heißt also wir haben eine linearkombination von $v_1,\dots ,v_n$

Teil 2 des Beweis: Sei $w=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i$ eine Linearkombination für den Vektor und ${\lambda }_i\cdot v_i=\sum _{i=1}^n{\mu }_i\cdot v_i⟹\mathcal{O}$ also $w-w=\sum _{i=1}^n({\lambda }_i-{\mu }_i{)}^{\text{=0}}\cdot v_i\forall i$, denn $v_i$ ist linear unabhängig gewählt!