Funktionen und Kurvendiskussionen ::

this is an extension to the topic of [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]] which focuses on local extrem points and points of interest in regard of local and global perspectives.

Lokale Maxima/Minima – Extrema ::

$f:D⟶\mathbb{R}$ hat ein lokales Maximum/Minimum in $x_0\in D$ wenn es einen Intervall: $I=(x_0-s,x_0+s)\subseteq D,s>0$ gibt mit $f(x_0){\ge }_{\le }f(x)\forall x\in I$ Dann benennen wir diesen Intervall, eine Umgebung für $x_0$. Also eine lokale Betrachtung

Bedingung des lokalen Extremas ::

Sei $f:D⟶\mathbb{R}$ diffbar in Punkt $x_0\in D$. Dann besitzt $f\in x_0$ ein lokales Extremum, wenn gilt $f‘(x_0)=0$ Also wir haben einen Anstieg von 0 an der Stelle.

In logischer Betrachtung ergibt es Sinn, weil wir wissen, dass die erste Ableitung die Steigung der Funktion in jedem beliebigen Punkt $x_0$ angibt und charakterisiert. Haben wir jetzt ein Extrema gefunden, dann bedeutet dies, dass wir an der Stelle keinen Anstieg haben - da wir sonst kein Extrema hätten und es weiter ansteigen würde.

Beweis:

Sei $x_0$ eine lokale Max-Stelle, das heißt $\exists Imitf(x_0)\ge f(x)\forall x\in I$ Dann ist $f‘(x_0)=\underset{n⟶0}{\lim }\frac{f(x_0+n)-f(x_0)}{n}$. Für $n>0(h⟶0+)$ gilt dann (Nenner ist größer 0, Zähler ist kleiner 0) und somit $f‘(x_0)\le 0$ und für $n<0(h⟶0-)$ gilt dann $f‘(x_0)\ge 0$ (da Nenner <0, und Zähler <0)

gemeinsam könenn wir dann daraus folgern: $⟹f‘(x_0)=0$

Anmerkung zum lokalen Extrema, Existenz eines Sattelpunktes :

Die Bedingung $f‘(x_0)=0$ ist notwendig, jedoch nicht hinreichend, um ein lokales Extrema zu bestimmen:

Angenommen wir betrachten die Funktion $f:=x^3$ an der Stelle $x_0=0$ Dann ist die Ableitung: $f‘(x)=3x^2$,$f‘(0)=0$, also theoretisch ein Extrema. Betrachten wir da aber den Punkt graphisch, ist es nur eine Sattelstelle ![[Pasted image 20230209171229.png]]

Daraus folgern wir : f hat ein lokales Extrema in $x_0⟹$ $f‘(x_0)=0$

Jedoch gilt die Umkehrung nicht, da die Charakterisierung nicht eindeutig bestimmt ist, wie wir in obigen Beispiel einsehen konnten!

Mittelwertsätze / Satz von Rolle

Seien $f,g:[a,b]⟶\mathbb{R}$ stetige Funktionen und im Intervall (a,b) diffbar und weiterhin $g(x)\ne 0$ im gesamten Intervall $(a,b)$.

Mittelwertsatz

Dann existiert eine Zahl $\theta \in (a,b)$ mit $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f‘(\theta {)}_{f}b$ ![[Pasted image 20230209171715.png]]

Also ein Punkt, welcher genau den MIttelwert der beiden Funktionen bestimmt und in der Ableitung beschrieben wird.

Satz von Rolle, als Spezialfall ::

Betrachten wir : $f(a)=f(b)⟶\exists \theta \in (a,b)$ sodass $f‘(\theta )=0$

Das heißt, wenn wir eine Funktion betrachten, die an beiden Enden den gleichen Funktionswert hat, dann muss es ein Extrema geben, an welchem der Funktionswert der Ableitung 0 ist. Ausnahmen würden dabei womöglich konstante Funktionen bilden, da sie keinen Anstieg haben und so im ganzen Intervall in der Ableitung 0 ergeben.

2. Mittelwertsatz :

Es existiert $\exists \theta \in (a,b)$ mit $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f‘(\theta )}{g‘(\theta )}$

Wie bei dem ersten Mittelwertsatz suchen wir nach dem Median und können davon ausgehen, dass einen solchen Punkt gibt, welcher die Division passend resultieren lässt.

Beweise dazu :

Beweis des Satzes von Rolle: Sei $f$ stetig auf $[a,b]⟶$ f hat ein Maxima und Minima auf $[a,b]$

Dann können wir zwei Fälle ausmachen:

1.Fall: Beide Extrema - Maxima und Minima - werden auf dem Rand angenommen. Da w f(a) =f(b) = max = min, muss dann f dann konstant sein, als $f‘(x)=0$ –> Anstieg 0. Damit gilt dann $\forall x\in (a,b)$ also auch für ein beliebiges $\theta \in (a,b)$

2.Fall: Ein Extremum wird nicht auf dem Rand, also in einem bestimmten Punkt $\theta \in (a,b)$ angenommen –> Dann können wir mit der Notwendigkeit / Bedingung eines lokalen Extremas argumentieren [[#Bedingung des lokalen Extremas ::]] und somit daraus folgern: $f‘(\theta )=0$ –> Ein Extrema innerhalb des Intervalles.

Beweis des zweiten MIttelwertsatz:

Es gilt $g(a)\ne g(b)$, denn sonst - wie nach Rolle - gäbes es ein $\theta \in (a,b)$ mit $g‘(\theta )=0$. Jetzt betrachten wir eine weitere Hilfsfunktion : $h:[a,b]⟶\mathbb{R}$, mit $h(X)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\ast g(x)$ wir können aussagen, dass h stetig und diffbar auf (a,b) ist. Weiterhin müssen wir nun $h(a)=h(b)$ berechnen. und können dann mittels Rolle folgern: $⟹\exists \theta \in (a,b)$ mit $h‘(\theta )=0⟺f‘(\theta )-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g‘(\theta )$

Beweis des ersten Mittelwertsatz: Dieser lässt sich aus dem zweiten Mittelwertsatz mit g(x)=x und somit $g‘(x)=1,\ne 0$ folgern.

Monotonie-Kriterium ::

Sei $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ stetig und auf (a,b) diffbar.

Dann gilt damit :

1. $f‘(x)\ge 0\forall x\in (a,b)⟺$ f ist monoton wachsend auf $[a,b]$ $f‘(x)\le 0\forall x\in (a,b)⟺$ f ist monoton fallend auf $[a,b]$
2. $f‘(x)>0\forall x\in (a,b)⟹$ f ist streng monoton wachsend auf $[a,b]$ $f‘(x)<0\forall x\in (a,b)⟹$ f ist streng monoton fallend auf $[a,b]$

   Dabei ist wichtig zu beachten, dass es eine Implikation ist! $f(x)=x^3$ ist beispielsweise nicht streng monoton in 0

3. $f‘(x)=0\forall x\in (a,b)⟺$ f ist konstant auf $[a,b]$

Hinreichend Kriterien für lokale Extrema :

Sei $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ stetig und diffbar auf (a,b). Sei weiterhin $x_0\in a,b$ mit $f‘(x_0)=0$ Also $x_0$ gibt ein extrema an!

Ist $f\prime (x)\le 0$ für alle $x\in (x_0-s,x_0)$ für ein beliebiges s>0 und weiterhin $f\prime (x)\ge 0$ für alle x $\in (x_0,x_0+s)$

also $f\prime (x)$ wechselt in $x_0$ sein Vorzeichen von einem - nach + (oder umgekehrt für ein Maxima)

Dann hat $f$ in $x_0$ ein lokales Minimum(Maximum)

Wechselt $f\prime (x)$ in $x_0$ sein Vorzeichen nicht; ist also immer <0 oder >0 - außer in $x_0$!, Dann hat f in $x_0$ kein lokales Extremum

![[Pasted image 20230209182752.png]]

Bemerkung dazu

Falls $f\prime (x_0)=0$ gilt und die Funktion $f\prime (x)$ lokal um $x_0$ streng monoton wachsend ist, dann sind die Bedingungen [[#Hinreichend Kriterien für lokale Extrema :]] erfüllt. Dies ist dann beispielsweise nach dem Satz zur Monotonie [[#Monotonie-Kriterium ::]] dann beispielsweise der Fall, wenn: $(f\prime )\prime$ – also die zweite Ableitung von $f$! – >0 in einer Umgebung von x_0 gilt. Diese Aussage führt dann zu folgendem Satz für Minima/Maxima :

Hinreichende Kriterien für lokale Extrema - Teil zwei :

Sei $f:[a,b]⟶\mathbb{R}$ zweimal diffbar und weiterhin $f\prime \prime$ stetig in $x_0\in (a,b)$ Dann gilt somit :

• falls $f\prime (x_0=0)$ und weiterhin $f\prime \prime (x_0>0)$, so hat f in $x_0$ ein lokales Minimum
• umgekehrt mit $f\prime \prime (x_0)<0$, hat die Funktion $f$ in $x_0$ ein lokales Maximum.