Trigonometrische Funktionen

Wir betrachten einen Punkt P auf dem Einheitskreis - Radius 1, um Punkt 0,0 Der Winkel, der von der Position $x_1$-Achse und der Geraden durch die Punkte O und P eingeschlossen wird, sei X.

Dann heißt die $x_1$-Koordinate von P der ==Kosinus== von x und die $x_2$-Koordinate der Sinus.

![[Pasted image 20230109212400.png]]

Der Winkel X kann im Gradmaß oder im Bogenmaß - Länge des Bogens von 1 bis Punkt P - gemessen werden.

==Dabei gilt dann==:: $\frac{\text{Gradmaß}}{360}=\frac{\text{Bogenmaß}}{2\pi }$ Beispielsweise : 90 im Bogenmaß ? :: BM = $\frac{2\pi }{360}\ast GM=\frac{1}{4}\ast 2\pi =\frac{\pi }{2}$

Mittels dieser Angabe lassen sih die Funktionen für den Cosinus und Sinus definieren ::

==Cosinus==: $cos:=\mathbb{R}⟶[-1,1]|x⟼cos(x)$

==Sinus==: $sin:\mathbb{R}⟶[-1,1]|x⟼sin(x)$

Außerdem können wir damit den Tangens und Cotangens definieren::

==Tangens==: $tan(X):=\frac{sin(x)}{cos(x)}$

==Kotangens==: $cot(x):=\frac{cos(x)}{sin(x)}$

![[Pasted image 20230109213421.png]]

Anschließend noch die Wertetabelle zur Veranschaulichung der Cosinus und Sinus-Funktion. ![[Pasted image 20230109213505.png]]

Folgen aus den Definitionen ::

Es gilt : $cos(x)=sin(x+\frac{\pi }{2})$, d.h. dass sinus und Cosinus um 2$\pi$-periodisch verschoben sind. Das heißt demnach, dass: $sin(x)=sin(x+2\pi )\forall x$ Er wiederholt sich alle 2$\pi$ und selbiges gilt auch für den cosinus: $cos(x)=cos(x+2\pi )\forall x$

Additionstheoreme für Cosinus und Sinus ::

==sin(x+y)$:==$sin(x+y) = sin(x)cos(y)~+~cos(x)sin(y)$==cos(x+y):==$cos(x+y)= cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)$==1==:$1=(sin(x))^{2}+(cos(x))^{2}1=sin(2x)+cos(2x)$ ==Satz des Pythagoras== ![[Pasted image 20230109214021.png]]