Cauchy-Kriterium

gehört zu [[math1_Folgen]]

Cauchyfolgen #def ::

Eine Folge $(a_n)$ heißt Cauchyfolge, falls es zu jedem $ϵ>0$ ein $N\in \mathbb{N}$ gibt, so dass $|a_n-a_m|<ϵ$, wobei es für $\forall n,m\ge N$ gilt.

Es wird hier demnach der Abstand zweier Folgenglieder betrachtet und beobachtet, ob sich ihr Abstand fortschreitend verkleinert.

Kurz gefasst:: $\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}:|a_n-a_m|<ϵ\forall n,m\ge N$

Cauchy-Kriterium #def ::

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchyfolge ist.

Das heißt demnach:: $(a_n)$ konvergiert $⟹(a_n)$ ist eine Cauchyfolge. und es gilt auch :: $(a_n)$ ist eine Cauchyfolge $⟹(a_n)$ konvergiert.

Beobachtung mit dieser Implikation ::

Bisher haben wir gesagt, dass eine konvergente Folge auch eine beschränkte Folge impliziert, dabei jedoch darauf verwiesen, dass die Umkehrung davon nicht gilt: Also eine beschränkte Folge nicht impliziert, dass sie konvergiert –> siehe dazu eine alternierende Folge an!.

Bei Cauchy-Folgen jedoch gilt die Implikation in beide Seiten!