Reele Zahlen und Reele Funktionen ::

Beschreibung der rellen Zahlen mittels:

• Körperaxiome
• Anordnungsaxiome - vgl. [[math1_relationen#Definition totale Ordungsrelation : def|Ordnugnsrelationen]]
• Vollständigkeitsaxiome

Mittels dieser drei Aussage kann der Zahlenraum $\mathbb{R}$ abgeleitet werden.

Definition der Reelen Zahlen ::

Es existiert eine Relation “<”, so dass für $(a,c,z\in \mathbb{R}):$

1. Für $x,y\in \mathbb{R}$ go;t gemau ein der Aussagen: $x<y;y<xor;x=y$
2. $x<y$ und $x<z⟹x<z$
3. $x<y⟹x+a<y+a$
4. $x<y,c>0⟹c\ast x<c\ast y$ Multipliziert man x,y mit einer Konstante C bleibt ihr Verhältnis bestehen. $x<y,c<0⟹c\ast x>c\ast y$ sofern die Konstante negativ ist, ist auch die Ordnung invertiert.
5. $x>0,y>0⟹x\ast y>0$ sind beide Faktoren positiv, ist das Ergebnis positiv $x>0,y<0⟹x\ast y<0$ ist ein Faktor negativ, ist das Ergebnis negativ $x<0,y<0⟹x\ast y>0$ sind beide Elemente x,y negativ, also kleiner Null, dann ist ihre Multiplikation positiv und größer null
6. $0<x<y⟹-<\frac{1}{y}<\frac{1}{x}$

Wir schreiben weiterhin : $x>y$ falls $y<x$ $x\ge y$, falls $x\ge y$ $y\ge x$, falls $x<y,\text{or}y=x$

und nennen Elemente, die größer 0 sind, positiv und Elemente, die kleiner 0 sind, negativ

Auf diesen Regeln bauen die bekannten Rechenregeln für Ungleichungen auf ::

Example :

Für welche $x\in \mathbb{R}$ $-2x+8<=x-1$:: $-2x+8<=x-1|-x|-8$ $-3x<=-9|\ast (-\frac{1}{3})$
$x>=3$

Definition Intervalle :: #def

Seien $a,b\in \mathbb{R}\text{mit}a<b$ $[a,b]:= {x \in \mathbb{R} | a < x < b}$ abgeschlossenes Intervall $(a,b):=\{x\in \mathbb{R}|a<x<b\}$ offenes Interval, a und b sind Schranken, wird nicht abgeschlossen

analog dazu :: $(a,b], [a,b)$ halboffenes Interval $[a,\infty ):=\{x\in \mathbb{R}|a<=x\}$h A ist inklusive, jedoch bis unendlich $(-\infty, b]:= {x \in \mathbb{R} | x <= b}$ $(-\infty ,\infty )=\mathbb{R}$

Definition Betrag :: #def

Für $x\in \mathbb{R}$ heißt: $|X|:=\left\{\begin{array}{c}x,fallsx\ge 0\\ -x,fallsx<0\end{array}\right\}$
der Betrag von x. – also aus jeder Zahl nur den Wert extrahieren, und dabei das Vorzeichen weglassen >> nur positive Werte.

Für x,y$\in \mathbb{R}$ ist $|x-y|$ der Abstand von x zu y und umgekehrt.

Satz Rechenregeln zum Betrag ::

1. $|x|\ge x$ und $|x|\ge -x$ Betrag ist immer gleich groß oder größer als x oder -x
2. $|x|=|-x|\ge 0$ $|x|=0⟷x=0$
3. $|x\ast y|=|x|\ast |y|$
4. $|x+y|<=|x|+|y|$

Zu beweisen sind diese Aussagen mit der Anwendung von Fallunterscheidungen.