| Weitere Betrachtung | Zahlentheorie gelte in $K(x)$

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Overview |

Die zuvor betrachteten Konzepte ( Teilbarkeit etc. definiert [[104.11_elementare_zahlentheorie|hier]]) gelten jetzt auch in anderen Körpern, neben $\mathbb{Z}$, also sie sind in $K[x]$ gültig!

Spezifisch möchten wir jetzt den Körper der Polynomringe über K betrachten.

[!Example] Revisit Polynomringe über $K$ betrachte etwa: $f=x^2+3x+2$ und $g=3x^2+2x+4$ mit dem Körper $K={\mathbb{Z}}_5$ Wir sehen jetzt bei der Addition beider Polynome: $$f+g=4x^2+5x_{=0}+1$$ –> wir müssen also immer auf die Restklasse achten!

| Definition ( 5.20) | normiertes Polynome | ggT | kgV $\in K[x]$

Da wir jetzt wissen, dass die obigen Eigenschaften auch in anderen Körpern gelten, möchten wir sie jetzt für Polynomringe betrachten.

[!Definition] normiertes Polynom Sei ein Polynom: $f=\sum _{i=0}^n{a}_i\cdot x^i,\in K[x](=a_0\cdot x^0+a_1\cdot x+a_2\cdot x^2+\cdots +a_n\cdot x^n)$ Wir nennen hierbei den Grad $grad(f)=n$ –> der größte Exponent unseres Polynomes

Wir nennen dieses Polynom jetzt folgend normiert, wenn gilt: $$a_n=1$$

[!Definition] Teilbarkeit und ggt von zwei Polynomen Sei hier $g,h\in K[x]$, wobei beide $\ne 0$. Das ggT Polynome $f$ was beide Polynome $g,h$ teilen wird beschreiben wir jetzt folgend: $f\in K[x]=\gcd (g,h)$, falls $f$ ein normiertes Polynom von maximalen Grad ist. Sodass es dann $g,h$ teilt!

[!Definition] kgV von zwei Polynomen Betrachten wir jetzt noch die Definition des kgV bei Polynomen: Sei dafür: $g,h\in K[x]\setminus \{0\}$: $f\in K[x]:=kgV(g,h)$, falls $f$ wieder ein normiertes Polynom von mindesten Grad $\ge 0$ ist. Es wird muss weiterhin von $g,h$ geteilt werden!

| Bemerkung (5.21) |

Betrachte weiter:

Sei $f=\sum _{i=0}^n{a}_i\cdot x^i,a_n\ne 0$ ein Polynom im Körper $K[x]$ Wir beschreiben jetzt folgend: $a_n^{-1}=x^n+\dots$ als ein normiertes Polynom:

Wir müssen beim EEA für Polynome in $K[x]$ anschließend noch das resultierende Polynom normieren. Dafür multiplizieren wir es einfach mit seinem inverse $a_n^{-1}$ -> Müssen anschließend aber auch nochmal: die resultierenden Faktoren $s,t$ normieren!

| Beispiel (5.24) | EEA (ggT) für ein Polynome

Sei $$\begin{array}{rl}g=& x^4+x^3+2x^2+1\in {\mathbb{Z}}_3[x]\\ h=& x^3+2x^2+2\in {\mathbb{Z}}_3[x]\\ \text{Ziel ist finden eines gemeinsamen Teilers, mit maximalen Grad!}:& \\ \text{ Berechne durch Polynom division }& \\ & \\ \text{( wobei wir als Ergebnis dann unser Polynom erhalten wollen) }((x^4+x^3+2x^2+1){)}_g& =(x^3+2x^2+2{)}_h\cdot (x+2{)}_q+(x^2+x{)}_r\\ (x^4+x^3++2x)& -\text{resultat von *x}\\ 2x^3+2x^2+1x+1& \\ 2x^3+1x^2& -\text{resultat von *2}\\ (x^2+x{)}_r& \\ & \\ \text{ jetzt haben wir das Polynom + Rest berechnet}& \\ \text{es folgt jetzt noch die Berechnung des ggT mit folgender Gleichung}& \\ h=r\cdot q^{\prime }+r^{\prime }& \\ (x^3+2x^2+2{)}_h=(x^2+x{)}_r\cdot (q^{\prime })+(r^{\prime })& \\ \text{berechne jetzt nochmal Polynomdivision}& \\ (x^3+2x^2+0x+2{)}_h=(x^2+x{)}_r\cdot (x+1{)}_{q^{\prime }}+(2x+2{)}_{r^{\prime }}& \\ (x^3+x^2)& -\text{ von *x}\\ x^2+2& \\ x^2+x& -\text{ von 1}\\ 2x+2& \to =(r)\text{Rest}\\ ⟹& \gcd (g,h)=2x+2\\ \text{jetzt noch rekursiv wieder einsetzen, um die Form zu erhalten:}& g\cdot s+h\cdot t=2x+2\\ =& h+2(x^2+x{)}_r(x+1)\\ =& h+2(g+2\cdot h(x+2)\cdot (x+1))\\ =& h+2g(x+1)+h(x+2)\cdot (x+1)\\ =& h\cdot (1+(x+2)\cdot (x+1)+2(x+1{)}_g)\\ =& 1+(x^2+x+2x+2)\\ =& x^2+x+2x\end{array}$$ Dieses ERgebnis müssen wir jetzt noch normieren, und dann können wir entsprechend die normierte Lösung in Form eines Polynoms betrachten / erhalten.

| Irreduzible Polynome |

Motivation | irreduzible Polynome

Wir haben im vorherigen Beispiel bereits gesehen, dass Polynome durch die Polynomdivsion so aufgeschrieben werden, dass $f=g\cdot h,f,h,g\in K[x]$, also wir haben eine Möglichkeit gefunden ein Polynom als Produkt von anderen darzustellen. Betrachten wir dabei jetzt Polynome, die wir nicht mehr weiter zerlegen können, dann werden wir sie Irreduzibel nennen und sehen da, dass sie ungefähr den Primzahlen $\in \mathbb{Z}$ entsprechn.

In einem Polynomring haben die Elemente ( anders als es etwa in $\mathbb{Z}$ ist) immer einen Teiler, der von 1 und dem Element selbst verschieden ist ( also es wird durch irgendein Polynom geteilt ). Für ein $a\in K\setminus \{0\}$ kann man dann ein Polynom $p\in K[x]$ schreiben, sodass $p=a\cdot (a^{-1}\cdot p)$. Durch diese mögliche Umformung sind dann alle konstanten Polynome (außer 0 halt) Teiler von $p$!

[!Important] Anpassen des Vergleiches zu Primzahlen Wir sehen hier, dass jedes Polynom durch alle konstante Polynome dargestellt / beschrieben werden kann. Aus diesem Grund muss man hier dann entsprechend den Vergleich zu den Primzahlen in $\mathbb{Z}$ anpassen, weil hier neben der Teilbarkeit durch 1 und sich selbst, auch noch eine Teilbarkeit aller konstanten Polynome inbegriffen ist.

| Definition (5.25) | Irreduzibel Polynome |

[!Definition] Irreduzibles Polynom Ein Polynom $p\in K[x]$ welches folgenden Grad aufweist: $grad(p)\ge 1$, nennen wir jetzt irreduzible, wenn folgendes gilt:

$p=f\cdot g$ mit $f,g\in K[x]$, wobei wir hier die Forderung stellen, dass $grad(f)=0\vee grad(g)=0$ –> Also wir können es nicht durch zwei andere Polynome darstellen ( und dabei keinen Rest haben). Hierbei sind dann $g,f$ - konstante Polynome

Beispiele | irreduzible Polynome |

[!Example] Bei Körpern gelten folgende: 1. Jedes Polynom mit $grad(f)=1$ -> ist irreduzibel 2. Wenn ein irreduzibles Polynom eine Nullstelle hat, dann hat es $grad(f)=1$

3. jedes irreduzible Polynom in einem algebraisch abgeschlossenen Raum, etwa wie $\mathbb{C}$ hat den Grad = 1 ($grad(f)=1$)

[!Example] Polynom $a+b,a\ne 0$ Betrachten wir das Polynom $ax+b,a\ne 0$ in einem Körper $K[x]$. Es ist für jeden Körper, den wir für dieses Polynom betrachten irreduzibel –> Es hat nur konstante Polynome ( also einen Wert, wie $4$) als Teiler -> somit ist es dann irreduzibel, wie wir zuvor in der Definition gefordert haben.

[!Important] Polynom $x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$ ist irreduzibel: Betrachten wir folgendes Polynom $x^2-2\in \mathbb{Q}[x]$. Nehmen wir an, dass es nicht irreduzibel ist, dann können wir das Polynom folgend umschreiben: $$x^2-2=(ax+b)\cdot (cx+d)$$ wobei hier $a,b,c,d\in \mathbb{Q}$ und $a,c\ne 0$

Was hier jetzt folgt: Das Polynom $ax+b$ hat die Nullstelle $-\frac{b}{a}$, also muss $-\frac{b}{a}$ auch eine Nullstelle von dem Ursprungspolynom $x^2-2$ sein, aber $x^2-2$ hat nur die Nullstellen $\sqrt{2},\sqrt{-2}$ wobei diese aber $\notin \mathbb{Q}$ ! –> Soimt ist es irreduzibel

[!Example] Polynom $x^2+1\in \mathbb{R}[x]$ Dieses Polynom ist irreduzibel, denn die Gleichung $x^2+1$ hat keine Nullstelle $\in \mathbb{R}$ und somit auch keinen Teiler außer sich selbst und den konstanten Polynomen. ( in $\mathbb{C}$ ist es reduzibel!): Wir können es folgend aufteilen: $$x^2+1=(x+i)\cdot (x-i)$$

Wir möchten noch ein Polynom betrachten:

[!Example] Polynom $x^2+1\in {\mathbb{Z}}_5$ Wir betrachten dafür jetzt noch den Körper von ${\mathbb{Z}}_5$
Das folgende Polynom $x^2+1$ ist dabei nicht irreduzibel: -> Wir können $2,3$ als Nullstellen finden und weiterhin gibt es eine Schreibweise, die das Polynom darstellen kann: $$x^2+1=(x+2)\cdot (x+3)=x^2+3x+2x+1$$

| Bemerkung ( 5.27) | irreduzible Polynome entsprechen $\mathbb{P}\in \mathbb{Z}$

–> Die Eigenschaften, die bei einer Primzahl im Zahlenraum $\mathbb{Z}$ realisiert werden, werden im Körper $K[x]$ ( also dem Körper der Polynome, wie obig definiert) von irreduziblen Polynomen dargestellt.

Somit ist etwa eine [[104.11_elementare_zahlentheorie#Definition (5.11) Primzahlen|Primfaktorzerlegung]] möglich. Man kann hierbei zeigen, dass $f\in K[x]$ mit Grad $\ge 1$ -> dann existiert ein eindeutig bestimmtes Produkt aus irreduziblen Polynomen: sodass wir diese Funktion $f$ folgend darstellen kann: Dafür suchen wir dann entsprechende irreduzible Polynome: $p_1,\dots ,p_k$ und deren exponent $e_1,\dots e_k\in \mathbb{N}$, sodass wir dann folgend konstruieren können: $$f=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k}$$

Sei weiterhin eine Primzahl $p$ gegeben. Wir wissen aus [[103.00_anchor_math]], dass es dann einen Köýper mit $p$ Elementen geben kann. Wir meinen hierbei $({\mathbb{Z}}_p,\oplus ,\odot )$

Man kann ferner zeigen, dass es dann auch zu jeder Primzahlpotenz $p^n$ einen Körper mit genau $p^n$ Elementen gibt ( etwa mit $49=7^2$ Elementen ). Diesen Körper kann man dann durch irreduzible Polynome ${\mathbb{Z}}_p[x]$ definieren !

| Homomorphismen |

ist ungefähr eine lineare Abbildung in Ringen –> sie ändern nicht die Werte, nur die Darstellung ( afaik)

Betrachte ferner: $$\begin{array}{r}f:A\to B,(A\oplus ,\odot ),(B,+,\cdot ),\text{ seien Ringe}\end{array}$$ Wir nennen jetzt ferner etwa homomorph: (ist aber nicht zwingend eine lineare Abbildung):

$$\begin{array}{rlr}f\text{homomorph}:& ⟺& \\ & f(x\oplus y)=f(x)+f(y)& \\ & f(x\odot y)=f(x)\cdot f(y)& \end{array}$$

( prinzipiell sind homomorphe Funktionen nichts weiter, als Funktionen, die das gleiche machen, aaber auf anderen “Zahlen” quasi) -> sie sind also prinzipiell gleich, aber wir haben hier verschiedene Mengen ( Zahlen) auf welchen wir diese Funktionen / dieser Veränderungen ansetzen können.

$$f\text{ homomorph }\wedge f\text{ bijektiv}⟺f\text{ isomorph}$$

[!Definition] Beweisen von Isomorphismen |

1. Wir müssen also zeigen, dass die Funktion $f$ homomorph ist
2. Wir müssen auch zeigen, dass $f$ bijektiv ist
3. entweder durch vergleichen / betrachten der Mächtigkeit der beiden Mengen –> dadurch dann Bijektiv, weil wir eindeutig abbilden!
4. kann auch durch $f$ ist injektiv und surjektiv bewiesen werden

[!Important] Beispiel Isomoprh eder beliebiger Körper, der nur 5 Elemente hat, ist eigentlich ${\mathbb{Z}}_{5}5$, weil dieser Körper dann isomoprh zu den konstruierten Körper ist.!

Anwendung von Polynom-Körpern

Im Kartenspiel: Dobble -> Codierungstheorie