Invertieren einer Matrix:

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Unter Anwendung des [[math2_Matrizen_Grundlage#Gauß Jordan-Algorithmus]] können wir ferner eine Inverse einer Matrix bilden, was uns in diversen Fällen helfen kann, sinnvoller zu rechnen etc. Wir möchten also von einer Matrix $A\in M_n(K)$ das Inverse $A^{-1}$ berechnen! Falls $A$ invertierbar ist machen wir das folgend:

Gegeben sei also die neue Gleichung $A\cdot X=E_n,A\in M_n(K),X\in M_n(K)=A^{-1}$ Wir möchten die erweiterte Koeffizientenmatrix bestimmen: $(A,E_n)$ und möchten diese durch den Algorithmus [[math2_Matrizen_GaußJordan#Gauß Jordan-Algorithmus]] zur Form $(E_n,E_n^{\prime })$ Ferner ist dann $E_n^{\prime }=A^{-1}=X$ Ist das möglich, dann ist die gesuchte Lösungsmatrix $X=A^{-1}$.

Beispiel:

$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 1& 3& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 0& -5& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 0& -5& 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 0\\ 0& 1& -\frac{1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}2& 0& \frac{6}{5}& \frac{-2}{5}\\ 0& 1& \frac{-1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{3}{5}& \frac{-1}{5}\\ 0& 1& \frac{-1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)$ und wir können jetzt die Inverse betrachten: $\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{5}& \frac{-1}{5}\\ \frac{-1}{5}& \frac{2}{5}\end{array}\right)$ Wir müssen noch herausfinden, ob wir eine Matrix überhaupt invertieren können, das können wir mit dem Rang bestimmen.

Bestimmen von $A\cdot X=B,X=?$

Möchten wir folgende Gleichung bestimmen, also eine passende Matrix $X$ finden, welche in der Multiplikation mit A der Matrix $B$ entspricht, dann können wir folgend die Invertierbarkeit einer Matrix ausnutzen, um dies einfacher berechnen zu können. Wir wissen, dass $A^{-1}\cdot A=E$ die kanonische Einheitsmatrix ergibt. Betrachten wir folgend die Gleichung und multiplizieren sie mit dem Inversen $A^{-1}$: $$A\cdot X=B⟺A^{-1}\cdot A\cdot X=A^{-1}\cdot B$$ und weiter dann : $$A^{-1}\cdot A\cdot X=E\cdot X=A^{-1}\cdot B⟺X=A^{-1}\cdot B$$ Also wenn wir die Inverse schon kennen, können wir relativ einfach $X$ bestimmen, indem wir $A^{-1}\cdot B$ berechnen.

Prüfen kann man dies anschließend durch einsetzen in die ursprüngliche Gleichung. hier gefunden wobei es relativ trivial / einfach ist xd. bin doof.

Rang -> Invertierbar ? :

[!Satz] Sei $A\in M_n(K)$ invertierbar, dann gilt $rg(A)=n$ Also der Rang der Matrix ist genau der Größe der Matrix entsprechend!

Beweis der Implikation $⟹$ Sei $A$ invertierbar, dann gilt: $n=rg(E_n)=rg(A,A^{-1})\le rg(A)\le n$ -> größer kann der Rang nicht sein! und wir folgern dann : $⟹rg(A)=n$