scattered-lenity

Schnitt und Summe von $UR$ :

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Sei $V$ ein $K-VR$, $U_1,U_2$ Untervektorraum von $V$.

1. Wir betrachten die Vereinigung: $U_1\cap U_2:=\{u\in V|u\in U_1\wedge u\in U_2\}$ also die Schnittmenge beider Untervektorräume Diese Schnittmenge muss weiterhin ein Untervektorraum sein
2. Weiterhin möchten wir die Summe von zwei Untervektorräumen betrachten: $U_1+U_2:=\{u_1+u_2|u_1\in U_1,u_2\in U_2\}$ Wir nennen diese neue Menge also die Summe der Untervektorräume und weiterhin ist sie auch ein Untervektorraum von $V$.

Beweis der Aussagen:

1. als Übung, es muss aber den Nullvektor und weitere Vektoren enthalten etc.

Existenz Nullvektor: $\mathcal{O}\in U_1+U_2,$ denn $\mathcal{O}=\mathcal{O}\in U_1+\mathcal{O}\in U_2$ Skalare Multiplikation ist weiterhin im UV : Sei weiterhin $v=u_1+u_2\in U_1+U_2,\lambda \in K$ Dann ist jetzt $\lambda \cdot v=\lambda (u_1+u_2)=\lambda \cdot u_1+\lambda \cdot u_2$ Sei $U_1+U_2=\{u_1+u_2|u_1\in U_1,u_2\in U_2\}$ Addition bleibt im UV: Seien $v=u_1\in U_1+u_2\in U_2$ , und $w=u_1^{\prime }+u_2^{\prime }\in U_1+U_2$ dann ist die Konkatenation (Addition) beider, also $w+v=u_1+u_2+u_1^{\prime }+u_2=(u_1+u_1^{\prime })\in U_1+(u_2+u_2^{\prime })\in U_2$. Wir haben also gezeigt, dass es weiterhin ein Unterraum ist!

Weitere Folgerungen :

1. Der Schnitt von beliebig vielen UV wird weiterhin ein UR sein.
2. Weiterhin ist jedoch für endlich viele $UV$ $U_1\cup U_2$ kein Untervektorraum. Zumindest nicht im Allgemeinen betrachtet.
3. Der Schnitt zweier $UR$ ist nie leer, denn wir haben mindestens immer den Nullvektor enthalten $⟹$ deswegen ist dieser Schnitt auch immer ein neuer Untervektorraum!

Beispiele: Sei $v,w\in {\mathbb{R}}^2:v=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),w=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ Wir betrachten jetzt: $G_1=\{\lambda \cdot v|\lambda \in \mathbb{R}\}=⟨v{⟩}_R$ und auch $G_2=\{\mu \cdot w|\mu \in \mathbb{R}\}=⟨w{⟩}_R$ (geographisch betrachtet handelt es sich hier um zwei Geraden im Raum, welche durch den Nullvektor traversieren.)

Jetzt betrachten wir die Schnittmenge und die Addition beider Geraden:

$G_1+G_2=\{\lambda v+\mu w|\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\}$. Wir betrachten damit jetzt eine Ebene im Raum. Wir wissen, dass diese Addition beider dann auch ein Untervektorraum bildet.

$G_1\cap G_2=\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\}$ Weiterhin dann auch: $\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\mu \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),\mu ,\lambda =0$

$G_1\cup G_2$ = ist eine Aufspannung der beiden Geraden und weiter nicht.