(mehrdim) Taylor Polynome

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Motivation

Betrachten wir eine FUnktion, welche wir in einem gegebenen Intervall betrachten möchten. Das heißt etwa im INtervall von $[1,4]$ –> Jetzt kann es sein, dass diese Funktion in ihrer Konstruktion relativ komplex ist und es so aufwendig ist, in diesem INtervall die ganzen Funktionswerte zu berechnen. Da wir nur in diesem kleinen Bereich eine Funktion benötigen, die möglichst gleich zu unserer Funktion $f$ ist, können wir versuchen ein Polynom zu bilden, was in seiner Eigenschaft im betrachteten Bereich beinahe gleich zu $f$ ist.

( 8.27 Definition ) | Satz von Taylor

[!Definition] Satz von Taylor | Taylor-Polynom Sei $f:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ eine Funktion, welche n-mal minimal stetig diffbar auf $D$ ist! Wir definieren jetzt das Taylor-Polynom: $T_n(x):=\sum _{k=0}^n\frac{f^k(a)}{k!}(x-a{)}^k$ –> Das n-te Taylorpolynom von $f$ entwickelt sich um einen Punkt $a\in D$, also wir können uns immer mehr an bestimmte Punkte einer Funktion annähern und somit die Originale Funktion approximieren!

Dabei bezeichnet jetzt der Teil $f^k(x)$ die k-te Ableitung on $f$ Also folgend: $$\begin{array}{rl}>f^0& =f\\ >f^1& =f^{\prime }\\ >f^k& =f^{k-1};>\end{array}$$ Weiterhin gilt jetzt für $T_n(x)$ $$\begin{array}{r}>T_n(a)=f(a)\\ >T_n^k(a)=f^k(a),k\in \{1,\dots ,n\}>\end{array}$$ –> Also es wird sich immer mehr an $f$ annähern

Jetzt kommt die Frage auf, wie gut das funktioniert

( 8.26 | Satz ) | Formel von Taylor mit Lagrange-Restglied

Wir möchten jetzt eine von vielen Konstruktionsformen für das Taylor-Polynom betrachten see more here

[!Definition] Lagrange-Restglied zur Bildung eines Taylor-Polynoms Sei wieder $f:D\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ $n+1$-mal stetig diffbar auf $D,a\in D$ Es gilt jetzt: Zu jedem $\xi \in D$ gitb es eine Stelle zwischen $a-x$, sodass wir dann die Funktion $f(x)$ folgend darstellen können: $f(x)=T_n(x)=R_n(x)$ –> also wir schauen uns einen kleineren Intervall an, wo wir schauen wollen, dass wir eine Kombination bilden können. Dabei kann es sehr wohl zu Fehlern bei einer Ableitung kommen, die dann nicht ganz dem gewünschten Wert entspricht, wofür wir dann einen Rest einbringen müssen / können!

Wir beschreiben den Rest folgend mit $R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}\cdot (x-a{)}^{n+1}$ ( Dieses Restglied, gibt also den Fehler zwischen $f$ und dem $n-ten$ Taylorpolynom $T_n$ an. Also es versucht dieses Defizit zum Punkt $a$ zu kompensieren) Es lässt sich dann folgend darstellen: $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{f^k(a)}{k!}((x-a{)}^k)$

Aus der Betrachtung folgern wir, dass das Restglied

[!Important] Bedeutung des Restgliedes –> Falls der Rest relativ groß ist, ist es nicht soo optimal –> weil wir viel korrigieren müssen <– ist er jedoch relativ klein ( gar 0) dann haben wir wohl eine sehr gute Approximation gefunden also <— Falls $R_n(x)\to 0,n\to \infty$ ( also mit immer höherer Ableitung wird es immer kleiner), dann lässt sich die Funktion $f$ als Potenzreihe bzw TaylorReihe darstellen.

Wir nennen diese Darstellung jetzt Taylorentwicklung von $f$ an der Stelle $a$

[!Warning] übliche Größe von $k$ um quasi eine gewisse Annäherung zu finden: $k=1$, denn so kann man meist etwas einfacher linearisieren! Linearisieren meint also den Vorgang, dass wir von einem Polynom ganz einfah in eine Lineare Funktion ableiten können –> und so gewisse Approximationen betrachten und bearbeiten kann.

( 8.29 Bemerkung ) | steigende Annäherung mit hohem $k$

Aus dem obigen Satz können wir jetzt folgern, dass sich die Annäherung mit einem Taylorpolynom von höherem Grad, eigentlich näher zur Original-Funktion $f$ liegen sollte.

[!Definition] Folgerung aus [[#( 8.26 Satz ) Formel von Taylor mit Lagrange-Restglied|Satz]] Wir können hieraus zwei Aspekte folgern: 1. Der Satz besagt: Wir können $f(x)$ bis auf dem Rest, den wir immer brauchen, als Polynom $n-ten$ Grades dargestellt werden kann. Dabei ist relevant, dass desto größer $n$, desto besser sollte die Annäherung sein. Hierbei ist vor Allem interessant, ob $R_n(x)\to x,n\to \infty$, also ob wir irgendwann nur noch ein Polynom zum Approximieren haben können

[!Info] Weitere Darstellungsformen existieren Neben dieser Darstellung als Polynom könnten wir auch andere Darstellungsformen betrachten. Als solche etwa die Darstellung mit Integralen –> Es hängt stark vom gegebenen Kontext ab, welche Methode man nutzt / bevorzugen wird.

Beispiel | $f(x)=e^x$ $a=0$

Wir möchten ferner ein erstes Beispiel zum berechnen des Taylorpolynoms einer Funktion $f(x)=e^x$ betrachten und an der Stell $a=0$ annähern / approximieren

Netterweise ändert sich $e^x$ bei einer Ableitung nicht ganz und somit ist es relativ entspannt damit zu rechnen!

Wir möchten jetzt entsprechend ableiten:

$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=e^x,a=0$ und weiterhin die k-te Ableitung: $f^k(x)=e^x,\forall k\in {\mathbb{N}}_0$ Weiterhin jetzt an der Stelle 1: ( $f^k(0)=e^0=1$)

Wir möchten daraus jetzt die Tailor-Entwicklung aufbauen: $$\begin{array}{rl}{T}_n(x)& =\sum _{k=0}^n\left(\frac{f^k(0)}{k!}(x-0{)}^k\right)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\cdot x^k\\ & ⟹(e^x{)}_{f(x)}={\left(\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right)}_{T_n(x)}+{\left(\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}\cdot x^{n+1}\right)}_{R_n(x)}\end{array}$$ Und der letzte Term geschieht in der Betrachtung im Intervall $0\to x$ mit $\xi$ Dabei sehen wir jetzt bei dem REst, dass hier entscheidend ist, ob die Potenz größer wächst, als die Fakultät! Wir sehen jetzt hier: $e^{\xi }$ ist beschränkt durch $e^0$ ( linke Schranke) oder $e^x$(rechte Schranke), die wir im Intervall gesetzt haben. weiterhin gilt für diesen Rest jetzt! $\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\to 0,n\to \infty$ –> Die Fakultät wächst schneller als die Potenz selbst. siehe [[math1_konvergenzZeigen]]

Und somit folgt dann hier $R_n(x)\to 0,n\to \infty$, was, wie wir obige gesagt haben, zeigt, dass jetzt hier das gebildete Polynom $T_n(x)$ als Approximation ausreicht!

Es gilt dann jetzt folgend: $$e^x=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\frac{x^k}{k!}\right)\forall x\in \mathbb{R}$$ –> Was der Taylorreihe entspricht!

Setzen wir etwa $n=3$, dann: $T_3(x)=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$ und hierbei ist der Fehler des Polynoms $\frac{e^{\xi }}{4!}\cdot x^4$

weitere Beispiele betrachten

mögliche Übungen zur Berechnung von Approximationen: wären etwa folgende Funktionen:

• $f(x)=\sin (x)$
• $f(x)=x^2+3x+4$

Taylorpolynome, aber mehrdimensional

Folgend möchten wir die obige Approximation auch noch für mehrdimensionale Funktion $f(x_1,\dots ,x_n):{\mathbb{R}}^d\to \mathbb{R}$ betrachten

Wir können dabei den Satz analog wieder aufnehmen und dann somit für mehrdimensionale Funktionen zeigen / definieren.

( 8.31 Satz ) | Taylor-Definition

[!Definition] mehrdimensionale Bildung eines Taylor-Polynoms Sei jetzt wieder $D\subseteq {\mathbb{R}}^d$ eine offene Menge und weiter eine Funktion: $f:D\to \mathbb{R}$, welche $n+1$-mal stetig diffbar ist. Weiterhin benötigen wir einen Punkt $a\in D$, wobei dann jetzt: zu jedem $x\in D\exists \xi$ zwischen $a$ und $x$, sodass dann $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ Also wenn wir das so betrachten, dann werden wir hier oft die Hesse-Matrix und ähnliche haben, weil diese ja den Ableitungen von mehrdim Funktionen entsprechen Das Taylor-polynom bilden wir folgend: $$T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^k(a)}{k!}((x-a{)}^k)$$ und ferner dem Rest als $R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}$ das sieht harmlos aus, aber ausgeführt ist es schlimm, denn $f^k(a)$ für $f(a)bei$k=0$,aaberbei$1 \leq k \leq n$folgtdannjetzt:>$$\sum \frac{{\partial }^k}{\partial x_{k1},\dots \partial x_{jk}}\cdot f(a)=$$>Wasmanauchfolgendbeschreibenkann:$f_{x_{j_{1}}} \dots x_{jk}(a)$ –> Also es wird relativ schnell sehr ekelhaft und groß x)

Beispiel | $f: \mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$Wirm\ddot{o}chtenjetzteine\ast \ast random\ast \ast Funktion,dieeinezwei-dimensionaleFunktionseinwird,alsTaylorpolynombetrachten.Hypothetischbetrachtet:giltdannf\ddot{u}rjedeFunktiondiesesMagnitude:$$\begin

f:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}, x= \begin{pmatrix}x_{1} \ x_{2} \end{pmatrix}, &a = \begin{pmatrix}a_{1} \ a_{2}\end{pmatrix} \ \ T_{2}(x) = T_{2} (x_{1},x_{2}) = (f(a_{1},a_{2}) + f_{x_{1}}(a_{1},a_{2}) \cdot (x_{1}-a_{1}) + f_{x_{2}} ( a_{1},a_{2}) \cdot (x_{2}-a_{2})) \ \text{ erster Term ist aus der Jacobi-Matrix gebildet worden!, und bildet jetzt} T_{1} \ \text{Bilde jetzt die Hesse-Matrix und wir müßsen einsetzen} \ \implies \

• \frac{1}{2} ( f_{x_{1},x_{1}} ( a_{1},a_{2}) \cdot (x_{1} -a_{1} )^{2} + f_{x_{1},x_{2}}(a_{1},a_{2}) \cdot (x_{1}-a_{1}) \cdot ( x_{2}-a_{2}) \
• f_{x_{2},x_{1}} ( a_{1},a_{2}) ( x_{2}-a_{2})\cdot (x_{1} - a_{1}) + f_{x_{2},x_{2}} (a_{1},a_{2}) \cdot (x_{2}-a_{2})^{2} ) \end{align}$$ Nach dem Satz von Schwarz haben wir hier auch zwei gleiche Terme drin ( symmetry der Hesse-Matrix!) und somit können wir gewissermaßen etwas zusammenfassen.

Wir können folgend unseren Term bzw die Bildung des Taylor-Polynoms auch anderweitig bilden,

( 8.31 Bemerkung ) | Alternativer Aufschrieb

Wir sehen, dass bei der obigen Bildung des Taylor-Polynoms, also $(x-a)^{k}$,einemVektorderDimension$d$,von$f: \mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}$ entspricht und dadurch wird die Rechnung dessen etwas schwierig.

Wir können ferner diesen Vektor etwas aufteilen, sodass man dann einzelne Zeilen hat, die aber in ihrer Struktur keinem Vektor mehr entsprechen und die Berechnung somit einfacher macht!

#nachtragen

( 8.32 Bemerkung ) | vereinfachte Struktur Taylor-Polynom im Grad $1,2$>[!Definition]EinfacheUmformungvonTaylor-PolynomenvonGrad1/2>DieTaylorpolynomevom\ast \ast Grad\ast \ast$1$und$2$k\ddot{o}nnenwirmitder\ast \ast JacobMatrix\ast \ast$f’(a)$undderHessematrix$H_{f}(a)$einfachschreiben,alsfolgendenTerm:>$$T_1(x)f(a)+(f^{\prime }(a){)}_{\in M_{d,1}}\cdot (x-a{)}_{\in M(1,d)}$$>Weiterhink\ddot{o}nnenwirauchdasTaylor-Polynomvon$grad~2$vereinfachtdarstellen:>$T_{2}(x) = (f(a) + f’(a)\cdot (x-a)) + \left( \frac{1}{2 } \cdot (x-a)^{T} \cdot H_{f}(a) \cdot (x-a) \right)$>DasheißtwirerweiternanschließendeinfachnochumdieHesse-MatrixmultipliziertmitdemWert,denwirbetrachten/>[!Important]$T_{1}(x)$entsprichtder\ast \ast linearenApproximation\ast \ast (Tangentialebene)von$f$imPunkt$a$

( 8.33 Beispiel ) | Berechnen von Taylorpolynom ( $T_{1},T_{2}$)BetrachtenwirwiederfolgendeFunktion:>[!Example]$f(x,y) = e^{x} + xy$ ( schon gesehen in [[104.16_mehrdimensionale_analysis#( Beispiel 8.15 ) $f mathbb{R} {2} to mathbb{R}$|siehemehrdimanalysis]])>Wirm\ddot{o}chtenobigbeschriebenFunktion$f(x,y) = e^{x}+ xy$imPunkt$a = (0,0)^{T}$betrachten>WirberechnennachderobigenFormeljetztdas\ast \ast ersteTaylorpolynom\ast \ast aus!>Ferneralso$T_{1}(x) f(a) + (f’(a)){\in M{d,1}} \cdot (x-a)_{ \in M(1,d)}$,aberentsprechendeingesetzt:>$$\begin

f(0,0) &+ f’(0,0) \cdot \begin{pmatrix} x-0 \ y-o\end{pmatrix} \ &= 1 + (1,0) \cdot \begin{pmatrix} x \y \end{pmatrix} \ & = 1 + x \end{align}$$>\ast \ast DamithabenwirdasersteTaylorpolynom\ast \ast -->undwirsehenauch,dasseseinerGeradeentspricht,wievorgegeben!>Fernernochdas\ast \ast zweiteTaylorpolynom\ast \ast ,also$T_{2}$:>$$\begin{align} T_{2}(x,y) &= T_{1} (x,y) + \frac{1}{2} &= \begin{pmatrix} x-0 \ y-0 \end{pmatrix}^{T} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-0 \ y-0 \end{pmatrix} \ &= 1+x + \frac{1}{2} ( (x~ y) \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} ) \ & = 1 + x + \frac{1}{2 } ( \begin{pmatrix} x+y & x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} ) \ & = 1 + x + \frac{1}{2} ( x^{2} + xy + xy ) = \ & = 1 + x + xy + \frac{1}{2}x^{2} \end{align}$$