Äquivalenzrelationen ::

Zwei oder mehrere Elemente sind äquivalent, falls sie sich bezüglich einer Eigenschaft ähneln oder gleich sind. So können Autos verschiedener Hersteller beispielsweise die gleiche Farbe aufweisen, Personen in der gleichen Übungsgruppe sein oder zwei Zahlen in Z den gleichen Rest bei der Division mit 3 aufweisen - modulo restklassen.

Definition :

Eine Relation N auf einer Menge $M\ne \varnothing$ heißt ==Äquivalenzrelation== falls gilt:

Sie ist ==Reflexiv== : $x\in M=x\sim x\in M$

Sie ist ==symmetrisch== : $\forall x,y\in M:x\sim y⟹y\sim x$

Sie ist ==transitiv== : $x\sim y,y\sim z⟹x\sim z$

Beispiel ::

“<” Relation ist keine Äquivalenrelation, da sie nicht reflexiv und nicht symmetrisch ist. nicht symmetrisch, weil man bei zwei Elementen nicht sagen kann, dass ihr Ergebnis das selbe ist, wenn man sie vertauscht . 4 <5 ja, 5 < 4 nein >> somit nicht symmetrisch.

$M\ne \varnothing$ beliebig, $a\sim b:⟺a=b$ Gleicheit ist eine Äquivalenzrelation mit $=:=\{(a,a)|a\in M\}$ Es gelt die Symmetrie, Reflexivität und Transitivität dieser Menge wenn man immer zweimal das gleiche Element aus der Menge M nimmt.