Mathe Vorbereitung ::

Jameels Vorbereitungskurs

Predictions for exams ::

Abbildungen werden benötigt.

$k = 1 \sum n (k + 1) * (k + 2) = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}{4}$

$k = 1 \sum n - 1 (\frac{1}{k ( k + 1 )} = 1 - \frac{1}{n}$

Abbildungen ::

[[math1_abbildungen]]

Wenn in der Klausur Abbildungsaufgaben kommen,dann werden wir womöglich bijektivität zeigen :: Demnach injektiv und surjektiv zeigen.

Injektiv :: Jedes Bild hat maximal ein Urbild >> also jede x aus einer Menge M wird maximal ein Element aus der Menge N zugewiesen..

Surjektiv :: Jedem Bild aus der einen Menge wird mindestens 1 Element zugewiesen. Also jedem Elemnt aus der Zielmenge muss genauer

Wenn eine Funktion bijektiv ist, existiert eine Umkehrfunktion.

für die Klausur :: wir zeigen, dass eine Funktion injektiv und surjektiv ist, damit sie bijektiv ist.

Immer die Definition aufschreiben

f: R –> R $f (x) = x + 1 f \overset{u}{¨} r x < 0 u n d$ f(x) = x^{2} $f \overset{u}{¨} r x$ \geq $0 Z z : B ij e k t i v :: I nj e k t i v i t \overset{a}{¨} t ::$ \forall x_{1},x_{2}\in \mathbb{R}: $, mi t f (x 1) = f (x 2)$ \Longrightarrow x_{1}=x_{2} $M i t d i ese m A n f an g k \overset{o}{¨} nn e n w i r f or t f ah re n u n dd ann v ia F a ll u n t ersc h e i d u n g a ll es l \overset{o}{¨} se n : F a ll x <= 0 :$ x_{1}+1 = x_{2}+1 \longrightarrow_{-1}x_{1}=x_{2} $>> f u nk t i o ni er t ni c h t >> inj e k t i v F a ll$ x>0 : x_{2}^{2} = x_{2}^{2} \Longleftrightarrow x_{1}=x_{2}\forall x>0 $f (0) = 0 = f (- 1) S u r j e k t i v i t \overset{a}{¨} t ze i g e n :: f \overset{u}{¨} r j e d es El e m e n t imW er t e b ere i c h - B i l d b ere i c h - e x i s t i er t min d es t e n se in E L e m e n t a u s d e m U r b ere i c h - d e f b ere i c h .$ \forall y \in \mathbb{R}:\exists x \in \mathbb{R}~:f(x)=y $∣∣ B e w e i se n w i r mi t e in er F a ll u n t ersc h e i d u n g :: F a ll 1 :> y = x + 1 u m g e k e h r t :: x = y - 1 F a ll 2 :>$ x^{2}=y $> u m g e k e h r t ::$ x=\sqrt(y) $Wi eze i g e n w i r j e t z t d i es u r j e k t i v i t \overset{a}{¨} t ? E in se t ze n d erer w a r t e t e n F u nk t i o n e n u n dd anna u f l \overset{o}{¨} se nna c h y, so d a sseso hn e > V er \overset{a}{¨} n d er u n g d a s t e h t .$ \forall y \in \mathbb{R}\exists x: x=y_{1}: f(x)=y $o d er an d ers a u f g esc h r i e b e n L$ x=\sqrt(y)f(y_{1})=y_{1}+1 = yf(\sqrt(y))=(\sqrt(2)^{y} = \sqrt(y)^{2}=y$

Beispiel 2 ::

Sei g:$\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}:g(x)=x^{2}-2x+\frac{1}{4}f\circ g(-1)=f(g(-1)) = f\left(1+2+\frac{1}{4}\right)= f\left(\frac{13}{4}\right)= \frac{169}{16} $A l so w i r f \overset{u}{¨} h re n u n sere n T er mhin t ere inan d er a u s, u ma u f u n ser E r g e bni sz u k o mm e n ..$ f \circ g = f(\frac{1}{4}) = \frac{1}{16}$

Beispiel 3 ::

$f:\mathbb{R}X\mathbb{R} \longrightarrow RxR |f(x,y) = (x,y+3x) $J e t z t mi tT u pl e na u s d e n ree ll e n Z ah l e nb es t e h e n d . ZZ :: inj e k t i v, s u r j e k t i v, bij e k t i v ? I nj e k t i v$ \forall (x,y),(s,t)\in\mathbb{R}X\mathbb{R}\text{mit}f(x,y)=f(s,t)\Longleftrightarrow (x,y+3x)=(s,t+3s) = $E in T u p e l i s t g l e i c h, w e nna ll e g l e i c h pl a t z i er t e nW er t e g l e i c h s in d .$ x=s $f o l g t a u sDe f ini t i o n >>$ y+3x = t + 3x $>> E in se t ze n v o n x = s :$ y = t $>> f inj e k t i v S u r j e k t i v ::$ \forall(s,t)\in\mathbb{R}X\mathbb{R} \exists (x,y)=(s,t-3s)\in \mathbb{R}X\mathbb{R} $F a ll u n t ersc h e i d u n g w i e d er . Wi r l \overset{o}{¨} se nna c h X u n d Ya u f .$ s= xy = y+3x == y = t-3x = t-3s $X = S >> k e in eDe f ini t i o n s l \overset{u}{¨} c k e . t = y + 3 x >> k e in eDe f ini t i o n s l \overset{u}{¨} c k e > Wa r n u re in e N e b e n rec hn u n g, d er B e w e i s b e n \overset{o}{¨} t i g t n oc hm e h r .. w i rse t ze n f (x, y) = f (s, t - 3 s) e in, w e i lw i resz uv or b ere i t sze i g t e n . d erz w e i t e d er T u pl e i s t d e f ini er t mi t y + 3 x, se t ze n w i rese in, k \overset{o}{¨} nn e n w i r - 3 sr a u s k \overset{u}{¨} rze n$ f(x,y)=(s,t) = f(x,y)=f(s,t-3S) = (s,t-3s+3s)=(s,t)$
Somit folgt, dass f surjektiv ist.

Weiterhin folgt f ist bijektiv..

Übungsaufgabe ::

$g:\mathbb{R}X\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}|~g(x,y)=x*y^{2} $- - > W e i t er hin :$ (g\circ f)(1,1),$ resultiert mit

Beispiel 4 ::

$f:\mathbb{R}{\frac{1}{2}}\longrightarrow \mathbb{R} : f(x)=\frac{3x+4}{2x-1} $I nj e k t i v :$ \forall x_{1},x_{2}\in\mathbb{R} = f(x_{1})=f(x_{2}) \longrightarrow x_{1}= x_{2} $S e i$ x_{1}= \frac{3x+4}{2x-1}$ Herangehensweise :: Wann haben wir ein Problem bei Injektivität ? >> Sofern wir einen Betrag, Wurzeln, Quadrat haben >> weil da die Vorzeichen teils ausgelöscht werden. In diesem Beispiel muss man nicht probieren, weil keiner dieser Felder auftritt und es deswegen unwahrscheinlich ist, dass da etwas doppelt auftritt. Lieber einfach zeigen

$\frac{3x_{2}+4}{2x_{2}-1} = \frac{3x_{1}+4}{2x_{1}-1} $Wi r k \overset{o}{¨} nn e nj e w e i l ser w e i t er n .$ \frac{6x_{1}x_{2}+8x_{2}-3x_{1}-4}{ 6x_{1}x_{2}+8_{1}-3x_{2}-4} = 8x_{2}-3x_{1}=8x_{1}-3x_{2}= 11x_{2}= 11x_{1} ==> x_{1}=x_{2} $I nj e k t i v$ \forall y \in\mathbb{R}\exists x\in \mathbb{R} \ {\frac{1}{2}}: f(x)=y $N e b e n rec hn u n g, na c h x a u f l \overset{o}{¨} se n, u m s p \overset{a}{¨} t er w e i t errec hn e n z u k \overset{o}{¨} nn e n .$ y= \frac{3x+4}{2x-1}|2x-1 = 2xy-y = 3x+4 |-3x = 2xy-3x=y+4 == x(2y - 3) = y +4 | : 2y-3 == x = \frac{y+4}{2y-3} $Wi r k \overset{o}{¨} nn e n u n s d a s E r g e bni s an sc ha u e n u n d sc ha u e n, o b esDe f ini t i o n s l \overset{u}{¨} \overset{c}{\c} k e n g ib t . I n d i ese m F a ll i s t$ \frac{3}{2} $e in eDe f ini t i o n s l \overset{u}{¨} \overset{c}{\c} k e u n d w i r k \overset{o}{¨} nn e nan sc h l i e ß e n d b e im B e w e i sze i g e n, d a sses ni c h t m \overset{o}{¨} g l i c h se in w i r d . Wah rsc h e in l i c h >> es i s t n oc hk e in B e w e i s! S e t ze n w i ry =$ \frac{3}{2} = f(x)=\frac{3}{2} \frac{3x+4}{2x-1} \not = \frac{3}{2} == 6x+8 = 6x-3 == 8=-3 $>> g e h t jani c h t, w es w e g e n es ni c h t s u r j e k t i v i s t! S o mi t f i s t ni c h t bij e k t i v . f \overset{u}{¨} r w e l c h e n B i l d b ere i c hi s t fd annbij e k t i v ?? >>$ \forall \mathbb{R} { \frac{3}{2} } $A n g e n o mm e n w i rse t ze n d e nn e u e n De f b ere i c h :: w i rze i g e n w i r$ f^{-1} $a l so d i e U mk e h r f u nk t i o n ?_{W} i r k \overset{o}{¨} nn e n_{d} a f \overset{u}{¨} r d i ez uv or g e n u t z t e N e b e n rec hn u n g an w e n d e n, d a s i e b ere i t s d i e U mk e h r f u nk t i o ni s t . S c h l i e ß l i c hhab e n w i r d i e F u nk t i o n g e n o mm e n u n d na c h xu m g e f or m t . A u s$ f(x)=y~f^{-1})(y)=x$

Übungsaufgabe ::

$f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} : f(x) = \frac{1}{x+1}~~x\not = -1 $u n d$ f(x)=0~~x=-1 $1. Z u ze i g e n : f i s t bij e k t i v 2.$ f^{-1} $3.$ g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}: g(x)=x^{2}-2x $b es t imm e n S i$ (f\circ g)(o),(g\circ f)^{-1}({0})$

Übungsaufgabe ::

$f:\mathcal{Z}X\mathcal{Z}\longrightarrow \mathcal{Z}Lf(x,y)=2x-y$

Äquivalenzrelationen ::

Klausur wird nur Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen beinhalten. Äquivalenzrelationen :: reflexiv, symmetrisch, transitiv. Ordnungsrelationen anschauen, ist nicht zwingend gefordert.

$M = \mathbb{N}{0}: x~y \Longleftrightarrow \frac{x}{y} \leq 1 == x \leq y $== re f l e x i v ==:$ \forall x\in M:x\sim x $f \overset{u}{¨} r j e d es El e m e n t a u s d er M e n g e m u ss g e lt e n, d a ss x e in g ese t z t in d i e R e l a t i o n x er g ib t :$ x \leq x \longrightarrow x\sim y $== sy mm e t r i e :==$ \forall x,y \in M $mi t$ x\sim y \longrightarrow y\sim x $E s g i lt n u r, w e nn d i e R e l a t i o n v o n x y b es t e h t u n d w i r d ann ze i g e nm \overset{u}{¨} sse n, d a ss a u c h y xg e lt e nm u ss . A l so w i r m \overset{u}{¨} sse nn u r f \overset{u}{¨} r x yze i g e n, d a ss a u c h y xg i lt . I m B e i s p i e l g i lt k e in e S y mm e t r i e ::$ 1~2 $, d e nn$ 1\leq2 $ab eres g i lt ni c h t$ 1 \leq 2\longrightarrow 2\not ~ 1 $== t r an s i t i v ==:$ \forall x,y,z\in M: x < y; y<z \longrightarrow x<z $x y ==> x$ \leq y $y z ==> y$ \leq z $::$ x \leq y \leq z \longrightarrow$ xz >> transitiv

Somit ist es keine Äquivalenzrelation.

Übungsaufgabe ::

M = $\mathbb{Q}:\sim b \Longleftrightarrow a-b \in \mathbb{Z} \Longleftrightarrow a-b =k\in \mathbb{Z} $1. Z u Z e i g e na bi s t e in e \ddot{A} q u i v a l e n zre l a t i o n . I nj e k t i v ::$ \forall a \in \mathbb{Q}: a\sim a == a-a = 0 \in\mathbb{Z} $S y mm e t r i e ::$ \forall a,b\in\mathbb{Q} $mi t a b z u ze i g e n : b a =$ b -a = k \in\mathbb{Z}\Longrightarrow^{*-1} (-1)(b-a) = a-1 = -k \in\mathbb{Z} $t r an s i t i v ::$ \forall a,b,c\in\mathbb{Q} $: a b, b c ==> a c$ a-b = k_{2} \in\mathbb{Z}, b-c = k_{1}\in\mathbb{Z} \Longrightarrow a-c = m \in \mathbb{Z} $u ma u f a - cz u k o mm e n, k \overset{o}{¨} nn e n w i r$ a-b + b -c == k_{1}+ k_{2} == m \in\mathbb{Z}$ rechnen

Äquivalenzklassen ::

Bestimmen sie die Äquivalenzklassen von $\frac{1}{3} $w i r k \overset{o}{¨} nn e na u c hhi er mi tN e b e n rec hn u n g e n e tw a s l e i c h t er a pp ro x imi ere n .$ \frac{1}{3}-a =k || a - \frac{1}{3} = k $U mj e t z t e in e \ddot{A} q u i v a l e n z k l a ssez u f in d e n, m \overset{u}{¨} sse n w i r f \overset{u}{¨} r a = W er t a ll es f in d e n, so d a ss d i e \ddot{A} q u i v a l e n zre l a t i o n w a r i s t .$ \left[\frac{1}{3} \right]= {\frac{1}{3}+k|k\in\mathbb{Z} } $so d a ss g i lt$ a - \frac{1}{3}= k $A l so a sose t ze n, d a ss b =$ \frac{1}{3} $d i e \ddot{A} q u i v a l e n zre l a t i o n l \overset{o}{¨} s t . D ab e i w o ll e n w i r, d a ss$ \frac{1}{3}$

Übungsaufgaben ::

$f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}: f(x)=|x|-2f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}: f(x,y)=2xf:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}:f(x)\frac{x}{3}, $f a ll s x d u rc h 3 t e i l ba r ∣∣$ 3x+1 $w e nn x$ f:\mathbb{N_{o}}\longrightarrow\mathbb{Z}:f(x)=$$\frac{x}{2}$ wenn x gerade || $\frac{x+1}{2}$wenn x ungerade

Relationen ::

$a\sim b \Longleftrightarrow \exists r,s \in \mathbb{Z_{o}}: a^{r}=b^{s}$ Zeige dass es eie Äquivalenzrelation ist. Bestimme die Äquivalenzklassen von 36

$M=/mathbb{Z}$ $x\sim y \Longleftrightarrow x=2^{k}y$ für ein $k\in\mathbb{Z}$

Zeigen :: Äquivalenzrelation
alle Äquivalenzklassen bestimmen

$R\subseteq \mathbb{N^{2}}: x\sim y \Longleftrightarrow \exists a,b \in \mathbb{N}L y=ax^{b}$ reflexiv : $\forall a\in \mathbb{N}:a\sim a$ bzw $x\sim x$. Zu zeigen:: $x=ax^{b}$ wähle $a,b =1$ dann $x= 1*x^{1} \Longleftrightarrow x=x$ somit reflexiv

symmetrie :: $\forall x,y\in\mathbb{N}: x\sim y \Longrightarrow y\sim x$ Gilt : $x\sim y == y = ax^{b}$ ? Beweis mit Gegenbeispiel : $6\sim 2$ Wähle a = 3, b =1$6 =32^{1} == 6=6$ Jedoch ist $2= a*6^{1}$ nur lösbar, wenn $a\in\mathbb{Q}~~\lor~~ b<0;$

es steht jetzt schon fest, dass dies keine Äquivalenzrelation ist. Aus übungsgründen würden wir dennoch transitivität zeigen!

Transitivität::

$x,y,z\in\mathbb{N}:~x\sim y, y\sim z \Longrightarrow x\sim z$

nur als Nebenrechnung, kein Beweis

$2\sim 6, 6\sim 12 \Longrightarrow 2\sim 12$ $2\sim 12 = 62^{1}$ $2 \sim 12= k2\in\mathbb{N} =$

eventuell bekommen wir eine “ZEIGEN, dass Äquivalenzrelation”

$x\sim z \Longleftrightarrow \exists n,m\in\mathbb{N}:Z=n*x^m$ $\Longleftrightarrow Z = a*y^{b}=_{y einsetzen} = a(ax^{b})^{b}= aa^{b}x^{bb~~\exists}a,a\in\mathbb{N}, b,b\in\mathbb{N} = aa\in\mathbb{N}\land bb`\in\mathbb{N} = Z = nx^{m}$

somit transitiv, weil wir passend umformen konnten und durch einsetzen des Termes einfach wieder einen neuen erhalten konnten und dieser mit unserem Ausgang resultiert.

Folgen ::

In Klausur müssen wir entweder Grenzwert bestimmen monoton fallend / monoton steigend zeigen Rekursive FUnktion zeigen

$a_{0}= 1, a_{n+1}= \frac{3+5a_{n}}{20}~~\forall n\in\ \mathbb{N}$ Zu zeigen :: mit vollständiger Induktion. $a_{n}>\frac{1}{5}~~\forall n\in\mathbb{N}$

Induktionsanfang : $n=1~~:a_{0}=1 > 1/5$

Induktionsvoraussetzung :: Gelte die Aussage IA für jedes beliebige, aber festes n $\in\mathbb{N}$ $a_{n} > \frac{1}{5} \longrightarrow a_{n+1} > \frac{1}{5}$

Induktionsschritt : $a_{n}\longrightarrow a_{n+1}$

zuerst einsetzen, damit wir die Grundlage setzen können. #Tip Bei Folgen ist die Aufgabe einfach, wenn im Nenner die Folge steht und noch + Addition dazukommt, können wir die Voraussetzung anwenden und damit abschätzen, ::

$a_{n+1} = \frac{3+5a_{n}}{20} > \frac{3+5*\frac{1}{5}}{20} = \frac{1}{5}$

alternativ kann man es auch anders zeigen :: $a_{n+1} >\frac{1}{5} \Longleftrightarrow \frac{3+5a_{n}}{20} > \frac{1}{5} \Longleftrightarrow^{*20} 3+5a_{n} >4 \Longleftrightarrow 5a_{n}> 1 \Longleftrightarrow a_{n}>\frac{1}{5}$

schließlich ist $5*a_{n}$ größer als 1 und somit muss es auch größer als $\frac{1}{5}$ sein!

Weiter möchten wir zeigen, dass die FOlge monoton fallend ist ::

$a_{n}$ monoton fallend. Zu zeigen : $a_{n+1} \leq a_{n}$ $\frac{3+5a_{n}}{20}|*20 \Longleftrightarrow 3+5a_{n} <20a_{n} | -5a_{n} \Longleftrightarrow 3 \leq 15a_{n} | :15\Longleftrightarrow \frac{1}{5}\leq a_{n}$, siehe obige Lösung.

nochmal betrachten pls wow, es scheint zu funktionierne.

$a_{n}$ konvergiert. Bestimme den Grenzwert.

Wir wissen bereits :

$a_{n}>\frac{1}{5}~\forall n\in\mathbb{N}$
$a_{n}$ monoton fallend gemäß Konvergenzkriterium für beschränkte und monoton fallende Folgen :: [[math1_Folgen#Monotone Konvergenz :: 7.19!]]

Grenzwert von rekursiver Folge einsetzen ::

$\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} a_{n+1} = \frac{3+5a_{n}}{20}$ $\lim\limits_{n\longrightarrow \infty} a= \frac{3+5a}{20} \Longrightarrow a =$ nach a umrechnen $\frac{1}{5}$

Übungsaufgaben ::

$a_{0}=1, a_{n+1}= \frac{a_{n}}{a_{n+2}}$

vollständige Induktion $a\leq a_{n}\leq 1~\forall n\in\mathbb{N}$
$a_{n}$ monoton fallend
$a_{n}$ konvergiert und bestimme den Grenzwert

$a_{0 =1,}a_{n+1}= \frac{a_{n}+3}{4}$

$a_{n}\leq 1$
monoton wachsend
konvergiert und Grenzwert bestimmen

#Tip Trick zum Abschätzen :: Definition des Grenzwertes : $\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{n}{n+1}=1 =$ hier dann $\frac{1}{1}$

Wenn wir zwei Polynome im Bruch haben ungefähres Abschätzen ::

Wenn im Zähler der Grad größer ist, als des Nenners, dann kein Grenzwert
Wenn im Nenner Grad größer, als Zähler, dann Grenzwert 0

Wenn Nenner-Grad = Zähler-Grad, dann sind die Vorfaktoren der Grenzwert hier 5 und 3 >> $\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{5n^{2}+3n+1}{3n^{2}+1} = \frac{5}{3}$

$\forall \epsilon > 0 : \exists N \in \mathbb{N}: |a_{n}-a|<\epsilon$ Wählen wir N mit $N > \frac{1}{\epsilon}$ $\frac{|n}{n+1}-1| = \frac{n-n-1}{n+1} = | \frac{-1}{n+1}| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} <\frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon \Longleftrightarrow = \frac{1}{\epsilon} < N$
Abschätzen möglichen, sodass wir nun Epsilon setzen können

$\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{1-2n}{5+3n}= \frac{2}{3}$ $\forall \epsilon 0~\exists N > :n\geq N : |a_{n}-a| < \epsilon$ $\frac{|1-2n}{5+3n} - (-\frac{2}{3})|= |\frac{3-6n+2(5+3n}{15+9n}| = |\frac{3+10}{15+9n}| = \frac{13}{15+9n} < \frac{13}{9n}$

wir können hier wieder abschätzen, indem wir 15 entfernen, weil dieser Term dann echt größer ist.

$\frac{13}{N9} \leq \frac{13}{\frac{13}{9\epsilon}} = \epsilon$

Bei folgender Folge können wir schlecht kürzen und sollten lieber den Term kleiner nehmen

etwas vom Zähler nehmen oder etwas zum Nenner addieren

$\frac{3n-1}{5n^{2}} < \frac{3n}{5n^{2}}\ldots < \frac{3}{5n} \longrightarrow 0$ $\frac{3n+1}{5n^{2}}$ können wir auch nciht kürzen, jedoch wieder abschätzen $\frac{3n+n}{5n^{2}} = \frac{4n}{5n^{2}}= \frac{4}{5n} \Longrightarrow$

Übungen ::

$\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{5n-1}{7n+9}$

Grenzwerte, Reihen, Potenzreihen ::

Motivation : Klausuren sind doof, sie möchte sie nicht zu schwierig gestalten, Es ist ihr wichtig, dass wir den Stoff verstehen und teils anwenden können. Demnach wird die Klausur nicht zu schwer! I hope

Wir sollten bei der Bearbeitung der Aufgaben begründe, wodurch wir Punkte sammeln können.

#Tip Logik wird in der Klausur drankommen.
Von jedem Thema wird eine Aufgabe in der Klausur drankommen

Grenzwerte ::

$\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{n+2}{n} = 1$

Intuition == $\frac{1n}{1n}= \frac{1}{1}= 1$

höchste Potenz ausklammern :: $\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} n\frac{1+ \frac{2}{n}}{n}=1$ da $\frac{2}{n}$ gegen 0 konvergiert $\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{3n^{2}+2}{2n^{3}} = n\frac{\frac{3n+2}{n}}{n(2n^{2})}$

$\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \sqrt{n^{2}-3n }-\sqrt{n^{2}+5n}$ ==> wir können hier nicht richtig definieren, wie groß sie sind. Wir erweitern den vorherigen Term $\lim\limits_{n\longrightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}-3n }-\sqrt{n^{2}+5n}) ( \sqrt{n^{2}-3n }+\sqrt{n^{2}+5n})}{\sqrt{n^{2}-3n} + \sqrt{n^{2}+5n} }$ $= \frac{n^{2}-3n-(n^{2}+5n)}{\sqrt{n^{2}-3}+ \sqrt{n^{2}+5n} }$ $= \frac{-8n}{n(\sqrt{\frac{1-3}{n}} + \sqrt{\frac{1+5}{n}})}$ $= \sqrt{ n^{2} (1- \frac{3}{n}} = \sqrt{n^{2}}\sqrt{1- \frac{3} {n}}$ –> Teilbar, da Multiplikation / $= \frac{-8}{2}= -4$ Konvergent!, keine Nullfolge /

L’hopital ::

Betrachten wir besagte FUnktione und wissen, dass Zähler und Nenner stetig in $\mathbb{R}$ ist. $\lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \frac{\cos-1}{sin(x)} = \frac{0}{0}{lhopital}$ Wir müssen nur den Zähler und Nenner ableiten, um dann den tatsächlichen Grenzwert zu bestimmen. sofern : $f\frac{x}{g(x)}= \frac{0}{0}\lor \frac{\infty}{\infty} \lor \frac{-\infty}{-\infty}$ , dann können wir die Ableitung bilden, um den Grenzwert zu bestimmen. $\lim\limits{x\longrightarrow 0} -sin\frac{x}{cos(x)}=\frac{0}{1}= 0$

In der Klausur maximal zweimal L’hopital anwenden!

$\lim\limits_{n\longrightarrow -} cos(x)-cos\frac{2x}{x^{2}}$ $\lim\limits_{n\longrightarrow 0}\frac{ -sin(x) - 2 * sin(2x)}{2x}$ $\lim\limits_{x\longrightarrow 0} \frac{-cos(x)+4cos(2x)}{2}$ $\frac{-1+4x}{2}=\frac{3}{2}$

==Beispiel== $\lim\limits_{x\longrightarrow 0} \frac{e^{2x}-2x-1}{sin(3)} = = \frac{0}{0}{lhopital}$ Ableitung : $\lim\limits{x\longrightarrow 0} \frac{2 e^{2x}-2} {3*-cos(3x)} = 2e^\frac{0-2}{3*1}=\frac{0}{3}=0$ >> somit Grenzwert 0

==Beispiel== $e^{\infty}= \infty, e^{-\infty}=0$ Logarithmus kann nur positiv sein. Log(0) =$-\infty$ $\log \infty = \infty, \log(-\infty)=n.d, \log(0)=-\infty$ $\lim\limits_{x\longrightarrow \infty} \frac{x^{2}+2x+1}{e^{x}+1}= \frac{2x+2}{e^{x}} =\frac{\infty}{\infty}_{lhoptial} = \frac{2}{e^{x}} =~0$ Da exponentialfunktion schneller als Konstante –> gegen 0 konvergierend.

$e^{x}$ bleib wie du bist. –> Geburtstagsnachricht

Übungsaufgaben ::

Jameel sollte bei der Probeklausur ein paar schwierige Aufgaben einbringen. 8 Aufgaben und eine wird schwierig sein.

$\lim\limits_{x\longrightarrow\infty} sin\frac{x}{x^{2}} = $ $\lim\limits_{x\longrightarrow 0} \frac{1}{x*e^{\frac{1}{x}}}$

Reihen ::

Majorantenkriterium, Minorantenkriterium nutzt man nur, wenn man Polynom durch Polynom nutzt

Das Majorantenkriterium wird dann genutzt, wenn Differenz von Zählergrad und Nennergrad >= 2 $\frac{n^{4}}{n^{2}} = 4-2 = 2$ konvergiert, da wir abschätzen können. Das Minorantenkriterium nutzt man dann, wenn die Differenz von Zählergrad und Nennergrad = 1 ist.

Leibnitzkriterium : Anzuwenden, wenn wir eine alternierende Reihe haben, welche weiterhin eine monoton fallende Folge und Nullfolge ist, dann konvergiert die $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}$.

Ist nur eine einseitige Implikation, demnach können wir keine Divergenz betrachten –> wenn das der Fall ist, dann kann man mit - keine Nullfolge, divergiert - argumentieren.

Potenzreihen ::

Erst den Konvergenzradius berechnen

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-x_{0})^{n} = \begin{Bmatrix} Konvergiert, wenn |x-x_{0}| < p \ divergiert, wenn |x-x_{0}| >p \end{Bmatrix}$

Konvergenzintervalle :: Jede Potenzreieh hat einen Konvergenzradius p - $p\geq 0 \lor p=\infty$

Du siehst $\frac{tanc}{sinc}$ aus! ??

$\frac{tan~~c}{sin~~c}= \frac{\frac{sin~~c}{cos~~c}}{sin~~c} = \frac{sin~~c}{cos~~c}* \frac{1}{sin~~c}* = \frac{1}{cos~c}$

Du siehst ==sec c== aus.

Wenn man mit der geometrischen Reihe argumentieren möchte, muss n=0 ,also die Summe von 0 beginnen, sonst ist eine Indexverschiebung notwendig. $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n+1}}{2\pi^{n}}= \frac{3}{2} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}}{\pi^{n}} \sum\limits_{n=0}^{\infty}(\frac{3}{\pi})^{n} = |q| = \frac{|3}{\pi}| < 1$ Die Reihe konvergiert absolut, da wir mit dem Argument der geometrischen Reihe argumentieren konnte.

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n!} =$ Quotientenkriterium : $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{|a_{n+1}}{a_{n}}| = \frac{|(n+1)^{2}}{(n+1)!}* \frac{n!}{n^{2}}| = \frac{n+1}{n^{2}} =n\frac{1+ \frac{1}{n}}{n^{2}} = \frac{1+\frac{1}{n}}{n}\longrightarrow 0 <1$ Gemäß des Quotientenkriteriums konvergiert die Reihe absolut!

Anwendung des Wurzelkriteriums : $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(n^{n})^{2}}{n^{n^{2}}} = \lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \sqrt[n]{ \frac{ n^{2n}} {n^ {n^{2}} }} = \lim\limits_{n\longrightarrow\infty} \sqrt[n]{ \frac{(n^{2})^{n}}{n^{nn}}} = \frac{n^{2}}{n^{n}} = \frac{1}{n^{n-2}}= 0 <1$

Anwendung des Minorantenkriteriums

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+\sqrt{n}} = \frac{|1}{n+\sqrt{n}} =$ wie setzen wir $\frac{1}{n+\sqrt{n}}\geq \frac{1}{n}$ –> da die harmonische Reihe divergiert!. Wir können weiter abschätzen, sodass : $\frac{1}{n\sqrt{n}} \geq \frac{1}{2n}$

WIr können konstanten aus der Reihe ziehen:: $\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2}$ –> wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert, dann können wir mit dem Minoranten Kriterium. belegen. es divergiert die Reihe demnach auch.

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{4}+1}$ Wir wissen, dass 4-2 = 2 –> majorantenkriterium! $\frac{|n^{2}}{n^{4}+1}| = \frac{1} {n^{2}+\frac{1}{n^{2}} } \leq 1/n^{2}$ Die Reihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ konvergiert. Gemäß der allgemeinen Harmonischen Reihe konvergiert sie mit k=2 ==> Nach Majorantenkriterium konvergiert die Reihe auch gegen.

Anwendung des Majorantenkriteriums $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{7}+2n+1} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{nn}{n(n^{6}+2 \frac{1}{n})}= \frac{n}{n^{6}+n+0} \leq \frac{1}{n^{5}} \leq \frac{1}{n^{2}}$
Die Reihe konvergiert absolut, weil die allgemeine harmonische Reihe mit k=5 konvergiert.

#Tip Wenn in der Klausur gefragt wird, ob etwas konvergiert, dann nur normale Konvergenz zeigen. WEnn nach Konvergenz spezifisch gefragt wird, dann kann man es mit dem Betrag berechnen!

vorletzter Vorbereitungskurs::

N5 18:00 Lösungsvorschlag für Probeklausur auf Moodle

Potenzreihen ::

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}(x-2)^{n}$

$a_{n}= \frac{1}{2^{n}}$ Bestimmen wir den Konvergenzradius [[math1_Potenzreihen#Konvergenz von Potenzreihen ::]] $\lim\limits_{n\longrightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{2^{n}}} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}=2$ Das heißt die Potenzreihe konvergiert $\forall |x-2| <2=P$ In diesem Falle also der Konvergenzintervall von $0<x<4$

Jetzt die Ränder betrachten = Stelle $x_{0}=0$ und $x_{0}=4$ sei x=0: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}(0-2)^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}(-1^{n}) 2^{n}$ Umschreiben! Wir folgern, dass gemäß des Divergenzkriterium die Folge keine Nullfolge ist und somit die Reihe divergiert! Wenn R - der Radius - 0 ist, dann konvergiert er nur für $x_{0}=2$

Betrachten wir x=4 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}(4-2)^{n} = \frac{1}{2^{n}}2^{n}= 1$ divergiert, da keine Nullfolge –> Divergenzkriterium.

Radius kann nicht negativ sein

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ allgemein harmonische Reihe, wobei $\frac{1}{n^{2}}$ eine divergierende Nullfolge ist.

$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$ ==> $(-1)^{n}* \frac{1}{n^{2}}$ konvergiert, da

Zwischenwertsatz ::

Betrachten wir eine beschränkte, stetige Funktion von [a,b] Weiterhin wissen wir, dass $f(a)= <0$ und $f(b)=>0$, dann wird garantiert eine Nullstelle existieren!

In der Klausur anmerken, dass die Funktion stetig ist, ohne die Information bekommen wir womöglich einen Punkt weniger. Bei Zeigen sie dass die Gleichung eine Lößung besitzt Zeigen sie das die Funktion eine Nullstelle bestitzt >>

Zwischenwertsatz anwenden!

Sei S ein Wert zwischen den beiden Funktionswerten $f(a), f(b)$ Weiterhin gilt nun: $f(a)\leq s \leq f(b)$ oder $f(b)\leq s \leq f(a)$

Zu Zeigen $ sin(x)=1- sin\frac{x}{cos(x)}$ eine Lösung in $[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$

Um dies zu lösen, definieren wir eine Funktion: Denn wenn wir die Gleichung umschreiben, dann erhalten wir eine Gleichung die mit 0 resultiert!

Anwendung::

Wir betrachten $f\left(\frac{-\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)\longrightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x) = sin(x)-1+ sin\frac{x}{cos(x)}$

Wir müssen angeben, dass die Funktion stetig ist Da wir einen sinus, konstante und Polynom haben, ist sie stetig! Da ihre Teilfunktionen stetig sind!

Verknüpfung von stetigen Funktionen ist auch stetig! –> Rechenregeln

Da wir den Zwischenwertsatz anwenden, müssen wir beide Seiten betrachten, um dann argumentieren zu können : $f(\frac{-\pi}{4})= sin\left(\frac{-\pi}{4}\right)-1 + \frac{\frac{sin)-p}{4}}{cos\left(\frac{-\pi}{4}\right)} = \frac{-\sqrt{2}}{2}-101 = \frac{-\sqrt{2}}{2}-2 <0$ und der andere Randwert:: –> wir wissen, dass es fast das gleiche Ergebnis ist! $f\left(\frac{\pi}{4}\right)= \frac{\sqrt{2}}{2}-1 +1 = \frac{\sqrt{2}}{2}>0$ Nach dem Zwischenwertsatz können wir folgern, dass gemäß des Zwischenwertsatzes ein $x_{0}$ existiert, sodass $f(x_{0})=0$ Sodass dann folgt:

Sinus werte, die ich wissen müsste :: $0, \pi \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, 2\pi$

Übungsaufgaben ::

$e^{x^{2}-1}=x+2$ eine Lösung in [1,3] Definieren wir eine Funktion: $f(x) := e^{x^{2}-1}-x-2 = 0$

Die Teilfunktionen sind stetig, da sie Konstanten sind, die exponentialfunktion ebenfalls konstant ist

Es folgt, dass die Funktion stetig ist, da die Konkatenation von Funktionen immernoch stetig ist.

Betrachten wir nun die Ränder : $f(1) = e^{1^{2}-1} - 3= -2$ $f(3) = e^{3^{2}-1}= e^{9-1} = e^{8}-5> 0$ Gemäß des Zwischenwertsatzes existiert ein $x_{0} \in [1,3]$, sodass $f(x_{0})=0$

Übungsaufgaben ::

Seien $a,b\in\mathbb{R}; a<b,$ und $f():[a,b]\longrightarrow [a,b]$ eine stetige Funktion. ZZ. $\exists x_{0}\in[a,b]:f(x_{0})=x_{0}$
ob die folgenden Gleichungen eine Lösung besitzen –> Anwendung Zwischenwertsatz!
1. x=1-sin(2x) im $[0,\frac{\pi}{4}]$
2. $e^x=3x$ um [-1,0]

Stetigkeit und Differenzierbarkeit: :

Überprüfen, ob Funktion in ganzem Def-Bereich stetig ist.

Zeigen sie, es ist Diffbar mittels-H-Formel. –> Ableitung, nach Definition

l’hopital

Aufgabe : $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ $f(x)= \begin{Bmatrix} \sqrt{|x|}, x<-3 \ 2, -3\leq x <-1 \x \geq -1\end{Bmatrix}$ Prüfen sie, ob die Funktion stetig ist

Im Intervall $[-\infty,3)$ ist die Funktion stetig, da WUrzelfunktion stetig 2 ist stetig im Intervall von $[-3,1)$ polynom ist stetig im Intervall $[-1,\infty]$

oder kürzer:: Die Teilfunktionen sind stetig auf ihren Intervallen, somit ist ganz f stetig auf $\mathbb{R}\setminus {-1,-3}$ Wir überprüfen stetigkeit an den beiden Stellen:

Sei $x_{0}=-1$ $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}-} = 2$ $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}+} = (x+1)^{2}+2 = (-1+1)^{2}+2 = 2$ Somit stetig an der Stelle -1.

Sei $x_{0}=-3$ $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}+} 2$ $\lim\limits_{x\longrightarrow x_{0}-} \sqrt{|3|}$ Sind unterschiedlich, somit ist $f$ ist nicht stetig an $x_{0}=-3$

Sofern gefragt ist, ob sie diffbar ist und sie nicht stetig ist, dann können wir es damit direkt zeigen.

H-Formeln – Diffbarkeit ::

$\lim\limits_{h\longrightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x) }{h} = \lim\limits_{h\longrightarrow -} \frac{f(-1+h) -f(-1)} {h}$

Betrachten wir nun beide Fälle –> positiv und negativ!.

Fall, dass x<-1 $\frac{2-2}{h}=0$

Limes von $\frac{0}{h}$ können wir auch mit 0 beschreiben!

Fall, dass x> -1

$\frac{ -1+h+1^{2}+2}{h} = \frac{h^{2}}{h} = 0$–> wieder weil, wir $\frac{0}{h}=0$ setzen können wir müssen für jedes x ein h einsetzen, damit wir anschließend rechnen können!.

Übungen ::

$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}: f(x)=\begin{Bmatrix} \frac{2x}{x+3}, x<-3 \ 3, x=-1\ (x+2)^{2}-2, -3< x\leq 0 \ x+2< x>0 \end{Bmatrix}$

Wieder anmerken, dass sie überall stetig ist, da die Teilfunktionen stetig sind!

wir berechnen an der Stelle $x=-3$

$\lim\limits_{x\longrightarrow -3} \frac{2x}{x+3}= \frac{-6} {0_{-}}$ = existiert nicht ==> 0 wird nicht null sein, sondern eine sehr kleine Zahl, die gegen 0 tendiert und dadurch könnten wir theoretisch mit $\infty$ resultieren, aber wir setzen es auf existiert nicht Wir folgern f ist nicht stetig an x=-3

die andere Stelle: $x=0$ $x<0 = (x+2)^{2-2}= 0+2^{2}-2 = 2$ $x>0 = (x+2 = 0+2)$ Somit gleiche Value an $f(0) =2$ Somit ist f stetig an x=0

Betrachten wir, ob es differenzierbar ist :

Betrachtung für x<0 $\lim\limits_{ h\longrightarrow 0_{-} } \frac{f(0+h) -f(0)}{h} = \frac{(h+2)^{2}-2} {h}= \frac {k^{2} +4k+4 -4}{h} = \frac{h(h+4)}{1} = 4$ Betrachtung für x>0

$\lim\limits_{h\longrightarrow 0+} \frac{}{frac{h+2-2}{h}}= 1$ Da 1 $\not = 4$ nicht diffbar an Stelle x=0

Somit :: $f$ ist diffbar auf $\mathbb{R}\setminus{0,-3}$

letzter Kurs :: Wiederholung ::

In Klausur, dann können wir lhoptial angeben, indem wir kurz angeben, dass der Bruch gegen \frac{0}{0} tendiert. Wir können demnach einfach $ $\frac{ e^{x}-1^{0}} {x^{0}} =^{\frac{0}{0}} \lim\limits_{x\longrightarrow 0} e^{\frac{x}{1}=1}$

Aussagenlogik ::

Beweisen sie, dass diese Aussage immer war ist. Entweder umformen oder sie via Wahrheitstabelle belegen. Womöglich anwendung von DeMorgan aus TI etc

Mengen ::

Am besten bei jedem Schritt anmerken, was wir gemascht haben –> damit es ersichtlich wird, dass wir einen Satz angewandt habe - DeMorgan oder ähnliches

Injektiv, Surjektiv, Bijektiv etc Zuerst die Definition aufschreiben, anschließend den Beweis durchführen. Bei Surjektivität ist die Nebenrechnung ebenfalls relevant und wichtig.

Vollständige Induktion ::

Drei Schritte anbringen und anmerken, dass wir IV angewandt haben!

Beachten nicht zu machen :: $\sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \frac{n+1)(n+2)}{2}$

von links nach rechts verschieben.

Relationen ::

Symmetrie, Transitivität und Reflexivität.

reflexiv zeigen : $\forall A\in M: A\sim A$ denn $A\subseteq A \Longrightarrow A\sim A$ Wir folgern erst am Ende!

Symmetrie: $\forall A,B \in M$ mit $A \sim B \longrightarrow B\sim A$ Beweise durch Gegenbeispiel : Sei $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}$ dann muss gelten : $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{N}$ Da Q keine Teilmenge von N, gilt die Relation nicht. Antisymmetrie geht von $B\sim A$ und $A\sim B$ aus, daran müssen wir zeigen, dass es nicht gilt. Äquivalenzklassen.

Folgen - Grenzwerte ::

Grenzwert gesucht –> Einfach zeigen, dass wir einen Grenzwert haben. Es existiert kein Grenzwert, wenn wir +- $\infty$ als Result haben.

Wenn etwas $1/0$ bildet, dann haben wir keinen Grenwert !

Reihen ::

Diffbarkeit ::

Wenn wir Differenzierbarkeit haben, dann wird genannt, dass wir es aktiv mit den h-Formel{}zeigen

! Verbindung von stetigen FUnktionen ist immernoch stetig!

scattered-lenity

Mathe Vorbereitung ::

Predictions for exams ::

Abbildungen ::

Beispiele ::

Beispiel 2 ::

Beispiel 3 ::

Übungsaufgabe ::

Beispiel 4 ::

Übungsaufgabe ::

Übungsaufgabe ::

Äquivalenzrelationen ::

Übungsaufgabe ::

Äquivalenzklassen ::

Übungsaufgaben ::

Folgen ::

Übungsaufgaben ::

Übungen ::

Grenzwerte, Reihen, Potenzreihen ::

Grenzwerte ::

L’hopital ::

Übungsaufgaben ::

Reihen ::

Potenzreihen ::

vorletzter Vorbereitungskurs::

Potenzreihen ::

Zwischenwertsatz ::

Übungsaufgaben ::

Übungsaufgaben ::

Stetigkeit und Differenzierbarkeit: :

H-Formeln – Diffbarkeit ::

Übungen ::

letzter Kurs :: Wiederholung ::

Aussagenlogik ::

Mengen ::

Vollständige Induktion ::

Relationen ::

Folgen - Grenzwerte ::

Reihen ::

Diffbarkeit ::