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Definition Matrizen:

Seien $m,n\in \mathbb{N}$ zwei Zahlen, die weiter die Tiefe einer Matrize darstellen wird. Wir definieren jetzt eine $(m\times n)-$Matrix $A$ über einen Körper $K$ folgend: $A=\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& \dots & a_{2,n}\\ \dots & \dots & & \\ a_{m,1}& a_{m,2}& \dots & a_{m,n}\end{array}$ also ein rechteckiges Schema, welches m-Zeilen und n-Spalten aufweist und dabei aus Kombinationen dieser Werte Einträge eindeutig definiert werden Jeder Eintrag ist folgend aufgebaut: $a_{ij}$ wobei i -> Zeile, j -> Spalte. Weiterhin muss gelten: $1\le i\le m,1\le j\le n\in K$

Neben der Schreibweise als Matrize definieren wir noch folgend: $A=(a_{ij}{)}_{i=1\dots ,m,j=1\dots ,n}⟺A=(a_{ij})$

Typen von Matrizen:

mit $M_{m,n}(K)$ beschreiben wir den Typ der Matrix. Sie gibt dabei die Menge aller $(m\times x)$-Matrizen über einen gegebenen Körper $K$. Wir schreiben dieser weiter als: $M_n(K)=(M_{n,n}(K))$ –> diese Notation dient dazu, anzugeben, dass die Matrix die gleiche Menge Spalten und Zeilen hat und somit quadratisch ist.

transponierte Matrix $A^T$:

Ist $A\in M_{m,n}(K)$, so erhält man die zu $A$ transponierte Matrix $A^T\in M_{n,m}(K)$ -> Also wir vertauschen hier die Zeilen und Spalten (wir drehen die Matrize quasi). Wir schreiben diese transponierte Matrize folgend: $A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{m,1}\\ a_{1,2}& \dots & a_{m,2}\\ \dots & \dots & \dots \\ a_{1,n}& \dots & a_{m,n}\end{array}\right)$ indem wir also die Zeilen und Spalten von unserer ursprünglichen Matrize $A$ vertauschen. Betrachten wir als Beispiel: $\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)=A⟶A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right)$ Es gilt weiterhin : $(A^T{)}^T=A$

Zeilenvektoren:

Beschreiben wir eine $1\times n$-Matrix: Sie beschreibt dann einen Zeilenvektor der Länge $n$. also es ist eine lange Zeile mit n Einträgen.

Spaltenvektoren:

Beschreiben wir eine $n\times 1$-Matrix: Sie beschreibt in einer Darstellung dann einen Spaltenvektor also ein vertikaler Eintrag einer Matrize.

Nullmatrix:

Wir beschreiben ferner noch die Nullmatrix: $O=O_{m,n}=\left(\begin{array}{ccc}0& \dots & 0\\ \dots & \dots & \dots \\ 0& \dots & 0\end{array}\right)$ also alle Einträge $a_{ij}=0$.

Einheitsmatrix:

Wir beschreiben ebenfalls die Einheitsmatrix : $E=E_n=E_{n,n}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \dots & \\ 0& 1& \dots & \\ 0& 0& 1& \end{array}\right)$ > oder halt beliebige skaliert. Wir haben also eine Diagonale die von $a_{1,1}$ nach $a_{m,n}$ reicht. also weiter $E_n=({\delta }_{ij})$ wobei ${\delta }_{ij}=\begin{array}{cc}1& i=j\\ 0& \text{ sonst, also }i\ne j\end{array}$

Matrizen als Vektorraum

consider looking at [[math2_Vektorräume]] to revisit all the traits of a vektorraum.

Wir können folgend $M_{m,n}(K)$ als einen K-Vektorraum betrachten. Demnach müssen die Bedingungen für einen Vektorraum stimmen, welche wir folgend zeigen: Seien $A,B\in M_{m,n}(K)$ (gleichen Types!) Matrizen und $\lambda \in K$. Wir wollen jetzt einführen: Addition von Matrizen : $A+B=(a_{ij}+b_{ij})\forall i,j\in m,n$ Multpilkation mit Skalar : $\lambda \cdot AL=(\lambda \cdot a_{ij})\forall i,j\in m,n$ wir haben schon die Nullmatrix gezeigt und ferner bilden wir jetzt beispielsweise eine Basis eines Vektorraumes: Indem wir einfach jede Matrize aufstellen, die überall, außer an einer Stelle $a_{ij}$ 1, 0 ist. Also wir ermöglichen dann, dass man mit allen Matrizen jede andere darstellen kann. in etwa $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\dots \left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Matrixprodukte $A\cdot B$ :

Seien wieder $A,B$ Matrizen. Weiterhin sei $A=(a_{ij})\in M_{m,n}(K)$ und $B=(b_{jk})\in M_{n,e}(K)$

[!warning] Die Menge der Spalten der ersten Matrix muss also mit der Menge der Reihen übereinstimmen, damit sie passend multipliziert werden können. Hier siehe $M_{m,n},M_{n,e}$

Wir definieren jetzt das Matrixprodukt $A\cdot B$: $A\cdot B=(c_{ik}{)}_{i=1\dots ,m;k=1\dots e}\in M_{m,e}(K)$ wobei wir jeden neuen Eintrag: $c_{ik}=a_{i1}\cdot b_{1k}+a_{i2}\cdot b_{2k}\dots a_{in}\cdot b_{nk}$

[!Warning] Wobei jetzt die i-te Zeile von A multipliziert mit der k-ten Spalte von $B$ ist

Anders geschrieben ist $c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot b_{jk}$

Die Idee, warum diese Multiplikation so funktionieren kann, ist die Betrachtung dieser als einen Ring:

$M_n(K)$ bildet mit der Addition und Multiplikation wie oben einen Ring [[math2_RingeKörper]] mit Eins. –> dafür nutzen wir hier $E_n$ als die EInheitsmatrix. Sei jetzt $A\in M_n(K)$, dann heißt sie invertierbar falls : $\exists A^{-1}\in M_N(K)$ mit $A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_n$

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 2\end{array}\right)\in M_{2,3}(\mathbb{R})$ $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -3\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\in M_{2,3}\in \mathbb{R}$

$A+B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)\in M_{2,3}\mathbb{R}$ $A\cdot B$ ist nicht möglich, denn die Spalten passen nicht! $3\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -9\\ 3& 0& 3\end{array}\right)$

$B^T=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ -3& 1\end{array}\right)\in M_{3,2}(\mathbb{R})$ $A\cdot B^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 3& 1\end{array}\right)⟺\left(\begin{array}{cc}-9& 4\\ -6& 1\end{array}\right)\in M_{2,2}(\mathbb{R})$ $B^T\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ -3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ -1& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 0& 0& 0\\ -4& -6& -7\end{array}\right)\in M_{3,3}(\mathbb{R})$

$A=(120)\in M_{1,3}(\mathbb{R})$ $B=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)\in M_{3,1}({\mathbb{Z}}_3)$ Folgend betrachten wir: $A\cdot B=\left(\begin{array}{c}0\end{array}\right)\in M_{1,1}({\mathbb{Z}}_3)$ $B\cdot A=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 2& 1& 0\\ 1& 2& 0\end{array}\right)\in M_{3,3}({\mathbb{Z}}_3)$

Rechenregeln (wie in Ringen / $VR$):

Seien $A,A_1,A_2\in M_{m,n}(K)$ und $B,B_1,B_2,\in M_{n,p}(K)$ und weiter $c\in M_{p,q}(K)$ $\lambda \in K$.

1. $(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$ Assoziativgesetz
2. $(A_1+A_2)\cdot B=A_1\cdot B+A_2\cdot B$ Distributivgesetz
3. $A\cdot (B_1+B_2)=A\cdot B_1+A\cdot B_2$
4. $(\lambda \cdot A)\cdot B=\lambda (A\cdot B)=A(\lambda \cdot B)$
5. $(A\cdot B{)}^T=B^T\cdot A^T$

Anwendung von Matrizen für LGS

Wir können mit Matrizen Lineare Gleichungssystem relativ einfach bzw einfacher berechnen und lösen. Dies kommt daher, dass wir die Eigenschaften einer Matrix auf diese anwenden können Folgend alle Informationen dazu: [[math2_Matrizen_LGS]]

Gauß’scher Eliminiationssatz:

Möchten wir die Betrachtung eines LGS in Form einer Matrix vereinfachen, dann können wir den [[math2_Matrizen_GaußEliminiation|Gauß’schen Eliminiationssatz]] anwenden, welcher durch die Definition von 3 Operationen hilft, Matrizen vereinfachen zu können.

Gauß-Jordan-Verfahren:

Ferner möchten wir eine Erweiterung des [[#Gauß’scher Eliminiationssatz]] betrachten, welcher eine Matrix komplett in eine Diagonalmatrix umwandelt. Wir können diese Eigenschaft anwenden, indem wir die elementaren Operationen vom Eliminationssatz anwenden und weiter anwenden, bis wir alle Einträg eliminiert und nur noch die Diagonale auf 1 übrig haben. [[math2_Matrizen_GaußJordan]]

Invertieren von Matrizen:

Unter Anwendung des Gauß-Jordan-Algorithmus können wir Matrizen invertieren. Dafür müssen einige Attribute, etwa bezüglich der Determinante, stimmen, um dies durchführen zu können. Weitere Informationen finden sich folgend: [[math2_Matrizen_Invertieren]]

Rang einer Matrix:

[!Satz] Der Wert ZeilenRang$(A)=$ Spaltenrang$(A)$ heißt Rang von der Matrix $A$ und wir beschreiben sie folgend mit $rg(A)$

Zeilenrang und Spaltenrang:

Wir möchten folgend einen Zeilenrang einführen und definieren ihn folgend:

[!Satz] Der Zeilenrang einer Matrix $A$ ist die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen von A.

Das heißt dann, wenn wir Zeilen von $A$ betrachten: $z_1,\dots z_m$, dann ist der Zeilenrang gleich der Dimension des von den Zeilen aufgespannten Unterraumes also der Dimension dieses Erzeugersystems : $dim⟨z_1,\dots ,z_m⟩$ . Wir definieren weiterhin noch den Spaltenrang analog. Also gleiches Prinzip, aber diesmal aus Betrachtung der Spalten.

[!Satz] Elementare Zeilenumformungen ändern den Zeilenrang und den Spaltenrang einer Matrix nicht.

Beweis:

Betrachten wir zuerst den Zeilenrang: Seien $z_1,\dots ,z_m$ Zeilenvektoren der betrachteten Matrix $A$. Für den von diesen Vektoren erzeugten Unterraum gelten folgende Rechenoperationen -> Wir haben ja einen erzeugten Unterraum, welcher diverse Eigenschaften haben muss:

1. $⟨z_1,\dots ,z_m⟩=⟨z_1,z_2+\lambda z_1,z_3\dots z_m,⟩\forall \lambda \in K$
2. $⟨z_1,\dots ,z_m⟩={\lambda }_1{z}_1,z_2\dots ,z_m⟩$, falls $\lambda \ne 0$
3. $⟨z_1,\dots ,z_m⟩=⟨z_2,z_1\dots ,z_m⟩$ Unter dieser Betrachtung muss dann also die Dimension der Unterräume erhalten bleiben, denn sonst würden die Rechenoperationen nicht funktionieren.

Folgend noch die Betrachtung des Spaltenrang: Angenommen $n=2,$ dann hat unsere Matrix die Form $A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ \dots & \dots \\ a_{m1}& a_{m2}\end{array}\right)$ Wenn wir jetzt die erste Zeile mit $\lambda \ne 0$ multiplizieren, dann sind beide Spalten $\left(\begin{array}{c}\lambda a_{11}\\ \dots \\ a_{m1}\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}\lambda a_{12}\\ \dots \\ a_{m2}\end{array}\right)$ linear abhängig, wenn sie ohne $\lambda$ linear unabhängig sind. Mit selbigen Charakteristika können wir für die anderen beiden Eigenschaften argumentieren.

Ablesen von Ränge n:

Bei einer Matrix in Zeilenstufenform sind Zeilen- und Spaltenrang direkt ablesbar, als die Anzahl der Zeilen $\ne {\mathcal{O}}^T$ oder die Anzahl der Spalten $\ne \mathcal{O}$. Betrachten wir zum Beispiel folgende Matrix: $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& -2& 3\\ 0& 0& 1& \frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ Wir haben bei dieser Matrix zwei leere Bereiche bzw. eine Spalte, die einem Nullvektor entspricht und eine Nullreihe, die transponiert ebenfalls dem Nullvektor entspricht. Somit hat diese Matrix Spaltenrang = Zeilenrang = 3. Wir können den Algorithmus [[#Algorithmus zur Transformation auf Zeilenstufenform]] demnach zur einfachen Berechnung von Rängen anwenden.

Satz Zeilenrang == Spaltenrang :

[!Satz] Für jede Matrix $A\in M_{m,n}(K)$ gilt **Zeilenrang($A)$ = Spaltenrang$(A^T)$.

Beweis:

Bringen wir eine Matrix $A$ auf Zeilenstufenform mit gegebenen Algorithmu. Sei weiter $r$ dann die Anzahl der Stufen. Wir betrachten jetzt die linear unabhängigen Stufenspalten $s_{j1},\dots ,s_{jr}$ –> Das sind alle Stufenspalten, die eine führende Eins haben. Sei jetzt weiterhin ${\lambda }_1{s}_{j1}+\dots +{\lambda }_r{s}_{jr}=\mathcal{O}$ also eine LK, die den Nullvektor bildet. Da der Eintrag $a_{jr}$ - die führende Eins in einer Spalte, die zur r-ten Stufe gehört - ungleich null ist, muss auch ${\lambda }_r=0$ gelten, denn sonst können wir nicht den Nullvektor bilden! Analog gilt dann ${\lambda }_{r-1}=0$ etc. bis wir schließlich erhalten, dass auch ${\lambda }_1$ und damit alle Koeffizienten der Linearkombination gleich null sein müssen. Wir folgern daraus jetzt: Spaltenrang$(A)\ge r=$ Zeilenrang$(A)=$ Spaltenrang$(A^T)\ge$ Zeilenrang$(A^T)=$ Spaltenrang$(A)$ . Es gilt also eine Gleichheit, woraus die Behauptung folgt.

Betrachten wir dafür beispielsweise eine Matrix, welche eine ganze Null-Spalte hat und dadurch schon im Rang -1 gesetzt ist –> Also wir wissen schon, dass sie um eins verringert ist.

Ränge von Produkten:

Für zwei beliebige Matrizen $A\in M_{m,n}(K),B\in M_{n,p}(K)$ gilt jetzt folgend: $rg(A\cdot B)\le rg(A)$ und auch $rg(A\cdot B)\le rg(B)$

[!Hinweis] Wir können bei der Multiplikation definitiv Informationen von beiden Matrizen verlieren –> also einen Rang einbußen, aber es ist nicht möglich später einen höheren Rang zu erhalten. Angenommen wir multiplizieren eine Matrix $A\in M_{4,4}r(A)=3$ dann können wir jetzt schon sehen, dass da wahrscheinlich eine Nullzeile auftaucht und weiter dann die Multiplikation mit einer anderen Matrix dann nicht plötzlich den Rang auf 4 anheben kann! [[math2_Matrizen_GaußEliminiation]]

Betrachtung eines Kernes:

Wir können bei LGS die unterbestimmt sind einen Lösungsraum definieren, der dann eine Menge beschreibt, die dieses LGS lösen kann. Dafür müssen wir uns die Definition des Kernes anschauen und weiter einen Ansatz definieren, wie man diesen Lösungsraum bestimmen kann. Folgend: [[math2_Matrizen_LGS#Definition des Kerns]] und [[math2_Matrizen_LGS#Allgemein Bestimmen eines Lösungsraumes]]