math1_sets.md - scattered-lenity

Notationen Mengenlehre ::

Beispielsmengen:: A = {1,2,3} | B = {2,3,4} | C = {4}

$A \cap B$ ::

beschreibt Schnittpunkt, Schnittmenge bsp :: $A \cap B = 2, 3$

zwei Mengen heißen disjunkt wenn ihr Schnittpunkt der Leermenge entspricht: bsp $A \cap C = \emptyset$

echte Teilmenge $C \subseteq B$ ::

$\forall x \in C : x \in B$ beschreibt eine Teilmenge. Dabei ist jedes Element der einen Menge in der anderen enthalten bsp :: $C \subseteq B$ gesprochen :: C ist eine echte Teilmenge von B $B \supseteq C$ gesprochen :: B ist eine echte Obermenge von C

Es besteht ein Unterschied zwischen Kategorisierung in Teilmenge/Obermenge und $\supseteq\subseteq$ und $\in$ als ist element von. Letzteres beschreibt nur, dass etwas ein Element einer Menge ist, nicht, dass es eine Teilmenge ist

Gleichheit zweier Mengen ::

$A = B$ falls gilt : $A \subseteq B \land B \subseteq A ⟺ \forall X \in A : X \in B$ $\forall X \in A ⟶ X \in B \land \forall X \in B ⟶ X \in a$ Proofing equality, by proofing implication in both directions ::

Teilmengen $C ⊊ B$ ::

beschreibt eine Teilmenge, wobei beide Mengen jedoch nicht gleich sind. $\exists x \in B$ mit $x \neq \in A, ab er A \subseteq B$ >> Es folgt, dass A eine echte Teilmenge von B ist, sie jedoch nicht gleich sind

Potenzmengen ::

P{A} := {B | B ist Teilmenge von A} :: { $B ∣ B \subseteq A$ }

Potenzmengen splitten eine gegebene Menge in alle Teilmengen dieser. Bsp :: P{A} = {{1,2,3},{1,2},{1},{2,3},{2},{3}, $\emptyset$ } $\emptyset \subseteq A$ , $A \subseteq A$ sind Submengen, die in jeder Potenzmenge vorhanden sind. bsp :: $A = 1 - > P (A) = 1, \emptyset$ B ={{ $\emptyset$ ,{1}} = { $\emptyset$ ,{ $\emptyset$ },{1},{ $\emptyset$ ,1}}

Differenzen von Mengen $A ∖ B$ ::

$A ∖ B := x ∣ x \in A \land x \neq \in B ⟺$ “A ohne B” beschreibt die Differenz zweier Mengen

Ist $A \subseteq X$ , so heißt $A_{x}^{c} := X ∖ A$ das Komplement von A (in Abhängigkeit von X)

Symmetrische Differenz $A △ B$ ::

$A δ B := (A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ = Alle Element, die nicht in der Schnittmenge vorhanden sind, vereint. $\forall X \in A \lor x \in B ∣ x \neq \in A \land B$

multiple Vereinigungen / Schnittmengen ::

Vereinigung :: $A_{1} \cup A_{2} \cup \dots A_{n} = X ∣ x \in A_{1} \lor A_{2} \lor \dots A_{n} ⟺ ⋃_{i = 1}^{n} (A_{i})$

Schnittmengen :: $A_{1} \cap A_{2} \cap \dots \cap A_{n} = X ∣ x \in A_{1} \land A_{2} \land \dots \land A_{n} ⟷ ∣ bi g cc a p_{i = 1}^{n} A_{i}$

Kartesisches Produkt :: $A \times B$

$A \times B := (a, b) ∣ a \in A, b \in B$ Menge aller geordneter Paare, heißt Kartesisches Produkt von A mit B. Element könnte man mit Koordinaten vergleichen bzw. baut das kartesische Koordinatensystem darauf auf.

Wir legen fest, dass (a,b) = (a’,b’) : $⟺ a = a^{'} \land b = b^{'}$ mit $a, a^{'} \in A, b, b^{'} \in B$

Allgemein sei für Mengen $A_{1}, A_{2}, \dots A_{n} (n \in N)$ :: $A_{1} \times A_{2} \times A_{n} := (a_{1}, a_{2}, a_{n}) ∣ a_{i} \in \forall i \in (1, n)$ Die Menge aller geordneter N-Tupel // Mit N = 2 >> Benennung als Paare, n=3 Tripel

2.5 Rechenregeln für Mengen ::

Seien A,B,C,X Mengen, dann gilt ::

a $A \cup B = B \cup A$ $A \cap B = B \cap A$ Kommutativ
b $(A \cup B) \cup C ⟺ A \cup (B \cup C)$
Assoziativ
c $(A \cup B) \cap C = (A c a pC) \cup (B \cap C)$ $(A \cap B) \cup C = (C \cup A) \cap (B \cup C)$ Distributiv
d $A, B \subseteq X$ dann gilt $(A \cap B)_{x}^{c} = A_{x}^{c} \cup B_{x}^{c}$ $(A \cup B)_{x}^{c} = A_{x}^{c} \cap B_{x}^{c}$ Regeln von DeMorgan
e $A \subseteq X$ , dann $(A_{x}^{c})_{x}^{c} = A$
f $A △ B = (A \cup B) (A \cap B) = x ∣ x \in A ∣ x or x \in B$
g $A \cap B = A ⟷ A \subseteq B$
h $A \cup B = A ⟷ B \subseteq A$

Mengen Gleichmächtig::

Zwei Mengen $M_{1}, M_{2}$ heißen Gleichmächtig, falls es eine bijektive Abbildung $g : M_{1} ⟶ M_{2}$ gibt. Also man kann jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnen. Und da es für alle Elemente gelten muss - bijektiv - müssen beide Mengen gleich sein.

Bsp :: $N, N 2$ gleichmächtig: $g : N ⟶ N @$ $n \mapsto 2 n$ ist bijektiv

4.17 Satz |A| = |B|

Seien Mengen A,B $\neq = \emptyset$ endliche Mengen mit $∣ A ∣ = ∣ B ∣$ und $f : A \mapsto B$ eine Abbildung.

Dann gilt : f injektiv $\equiv$ f surjektiv $⟺$ f bijektiv

Beweis ::

Sete $n := ∣ A ∣ = ∣ B ∣$ Es genügt zu zeigen, dass f injekiv == f surjektiv.

==Beweis== $⟹$ : Se f injektiv, d.h falls $a_{1}, a_{2}, a_{1} \neq = a_{2}$ dann $f (a_{1}) \neq = f (a_{2})$ D.h : verschiedene Elemente aus A werden auf verschiedene Elemente aus B abgebildet, die n Elemente aus A werden also auf die n elemente von B abgebildet. Da B genau n Elemente besitzt - wie a = gilt $f (A) = B$ d.h, f ist surjektiv.

$∣ f (A) ∣ = ∣ A ∣ = ∣ B ∣$ Da $f (A) \subseteq B, B$ endlich, folgt f(A)=B

==Beweis== $⟸$ : Sofern die Abbildung f surjektiv ist, existiert für jedes Element aus B ein Element in A, auf welches abgebildet wird. Da der Betrag beider Mengen gleich ist, und surjektivität fordert, dass für jedes Element mindestens ein Element in der anderen Menge auftritt, kann man daraus schließen, dass jedem Element aus A genau ein Element aus B zugeordnet wird. Somit ist die Abbildung injektiv.