Matrizen und lineare Abbildungen:

anchored to [[104.00_anchor_math]] proceeds from [[104.02_lineare_abbildungen]]

Motivation:

Koordinatenvektoren bilden wir, indem wir eine geordnete Basis $B=(v_1,\dots ,v_n)$ aufbauen und dadurch dann jede Linearkombination mit dieser Basis immer gleich aufbauen. Intuitiv heißt das, dass wir zuerst immer ein Vielfaches von $v_1$ benennen etcetc. Wir können so mit einer Basis $B=(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))$ ferner sei ein Vektor $v=\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2$ Die Koordinaten durch die Basis können wir folgend mit: $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)=3\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

[!Idea] die Idee dahinter bzw die Anwendung dessen findet man etwa bei verschiedenen Translationen von verschiedenen Grundlagen eines Koordinatensystems. Haben wir etwa einen Raum, gibt es in Abhängigkeit dessen ein Koordinatensystem, weiterhin vielleicht aus dem Kontext einer Person ein weiteres und in Abhängigkeit eines Roboterarmes noch ein System.

All diese können bestimmte Punkte gemeinsam erreichen und somit besteht die Möglichkeit, dass man zwischen diesen System konvertieren kann.

Darstellungsmatrizen:

Seien $V,W$ endlich dimensionale Vektorräume mit einer geordneten [[math2_Vektorraum_Basis|Basis]]. Wir definieren sie mit: $B=(v_1,\dots ,v_n)$ für $V$ $\mathcal{L}=(w_1,\dots ,w_n)$ für $W$. Sei jetzt $\phi :V⟶W$ eine [[104.02_lineare_abbildungen|lineare Abbildung]]

Wir stellen jetzt die Bilder von $\phi (v_1),\dots ,\phi (v_n)⟹\in W$ bezüglich der Basis $\mathcal{L},(W)$ folgend dar: $\phi (v_1)=a_{11}\cdot w_1+\dots +a_{m1}\cdot w_m$ $\phi (v_2)=a_{12}\cdot w_1+\dots +a_{m2}\cdot w_m$ $⋮$ $\phi (v_n)=a_{1n}\cdot w_1+\dots +a_{mn}\cdot w_m$

• hierbei ist der Koeffizient $w_i$ immer gleich!

Jetzt heißt die Matrix $M_{m\times n}$ : $$A_{\phi }^{B\mathcal{L}}:=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& & \dots & & a_{1n}\\ a_{21}& & ⋮& & ⋮\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& & \dots & & a_{mn}\end{array}\right)$$ Hier enthält Spalte $i$ die Koordinaten von $\phi (v_1)$ in Abhängigkeit von $\mathcal{L}$

Wir beschreiben sie mit $A_{\phi }^{B,\mathcal{L}}$, Aber wenn $V=W,B=\mathcal{L}$ geht auch $A_{\phi }^B$. -> Also wenn sich die Basis nicht wechselt dann müssen wir das in der Darstellungsmatrix auch nicht angeben!

[!Notice] $\phi$ ist durch $A_{\phi }^{B,\mathcal{L}}$ eindeutig bestimmt.

[!Idea] Was wir damit erreichen wollen: Wir haben einen Ausgang in $V$, möchten dann mit der linearen Abbildung auf $W$ abbilden und jetzt heraufinden, wie wir aus den Basis-Vektoren von $W$ alle Vektoren durch die lineare Abbildung darstellen können!

Beispiele:

Sei $V=W={\mathbb{R}}^2$, und weiter $\mathcal{B},\mathcal{L}=(e_1,e_2)=(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))$ Wir wollen jetzt eine lineare Abbildung konstruieren:$$\phi :V⟶V,v⟼2\cdot v$$ (Es handelt sich um eine Streckungsmatrix!). Die Matriz sieht folgend aus: $\left(\begin{array}{ccc}2& & 0\\ 0& & 2\end{array}\right)$ Wir setzen jetzt folgend die Basis-Vektoren ein und schauen, was ihr Bild ist! erster Basis-Vektor:$\phi (\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+0\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ zweiter Basis-Vektor:$\phi (\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)=0\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ Somit ist die Matrix: $A_{\phi }^{\mathcal{B},\mathcal{L}}=A_{\phi }^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}2& & 0\\ 0& & 2\end{array}\right)$ -> wir sehen hier die Vektoren, die wir zuvor berechnet haben!

Das Ganze kann auch mit einer anderen Basis berechnet werden: Sei jetzt eine Basis: $\mathcal{D}=(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right))$ : $\phi (\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+-2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$ $\phi (\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)=0\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 2\end{array}\right)$ Daraus können wir wieder die Matrix bilden: $$A_{\phi }^{\mathcal{B},\mathcal{D}}=\left(\begin{array}{ccc}2& & 0\\ -2& & 1\end{array}\right)$$

[!Error] Wichtig Beide Matrizen $A_{\phi }^{\mathcal{B},\mathcal{D}}$ und $A_{\phi }^{\mathcal{B}},\mathcal{L}$ beschreiben das Gleiche, aber setzen andere Basen voraus, weswegen sie in ihrer Struktur verschieden sind.

Berechnen der Darstellungsmatrix:

In der ersten Hausübung mussten wir folgend eine Darstellungsmatrix bestimmen. Folgend befindet sich die Aufgabenstellung, sowie die Lösung dieser: ![[104.81_assignment00#Aufgabe 2]]

Identitäts-Abbildung:

Sei $V=W$ mit $\dim V=n$. Sei weiter $\mathcal{B}$ eine beliebige Basis Weiter ist: $\phi =i{d}_V;v⟼v$ dann ist $A_{\phi }^{\mathcal{B},\mathcal{B}}=A_{\phi }^{\mathcal{B}}=E_n$

[!Tip] Idee dahinter: Wenn wir die Identitäts-Abbildung, macht sie keine Änderungen. Daher ist es auch sinnig, wenn wir nach der Übersetzung durch die lineare Abbildung als Matrix, die Einheitsmatrix erhalten, weil diese keinen Vektor verändert. (Das was wir wollen!)

Drehung um Ursprung:

Sei wieder $V=W={\mathbb{R}}^2,\mathcal{B}=\mathcal{L}=(e_1,e_2)$ Wir beschreiben jetzt mit der linearen Abbildung, die Drehung um Winkel $\alpha$. Es folgt: $A_{\phi }^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}\cos (\alpha )& & -\sin (\alpha )\\ \sin (\alpha )& & \cos (\alpha )\end{array}\right)$

Spiegelung an $x_1$-Achse:

Sei auch hier: $V=W={\mathbb{R}}^2,B=(e_1,e_2)$ Wir beschreiben die Spiegelung an $⟨e_1⟩$ (x-Achse) mit der folgenden linearen Abbildung: $\phi :\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ -x_2\end{array}\right)$. Als Matrix wäre das: $A_{\phi }^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}1& & 0\\ 0& & -1\end{array}\right)$ Betrachten wir selbiges mit einer anderen Basis: ${\mathcal{B}}^{\prime }=(\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right))$ Als Matrix folgend:$A_{\phi }^{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc}0& & 1\\ 0& & 1\end{array}\right)$ und noch $A_{\phi }^{\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& & -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& & \frac{1}{2}\end{array}\right)$

[!Important] Folgerung der Abbildungsmatrizen: Die Selbe lineare Abbildung hat im Allgemeinen bzgl der Wahl der Basen andere Darstellungsmatrizen, die auftreten können.

lineare Abbildung mit gegebener Matrix berechnen:

Angenommen: $V=W={\mathbb{R}}^2$ und eine Basis $B=(e_1,e_2)$ Wir haben die Matrix gegeben: $A_{\phi }^B=\left(\begin{array}{ccc}1& & 2\\ 3& & 4\end{array}\right)$, was macht dann $\phi$? testen können wir das jetzt etwa mit einem Beispiel $\phi (\left(\begin{array}{c}7\\ -5\end{array}\right))=\left(\begin{array}{ccc}1& & 2\\ 3& & 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}7\\ -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)$
Wir können sie jetzt umgekehrt bestimmen: $\phi =V⟶V,v⟼A\cdot v$ also $\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)⟼\left(\begin{array}{ccc}1& & 2\\ 3& & 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{v}_1+2\cdot v_2\\ 3\cdot v_1+4\cdot v_2\end{array}\right)$

[!Result] Resulting idea: wir können also einfach ausrechnen, wie diese Abbildung funktioniert

Motivation | Weiterbetrachtung:

Was wir jetzt können: Koordinaten eines Punktes bezüglich der Basis $B$ von $V$. als Koordinaten-Vektor darstellen. Also etwa Roboterkoordinaten. Das heißt wir haben eine lineare Abbildung $\phi :V⟶W$ gefunden und können dann den Koordinatenvektor darstellen.

Was wir jetzt erreichen wollen: Wir haben Koordinaten des Punktes bzgl einer Basis $\mathcal{L}$ von $W$ etwa andere Betrachtung des gleichen Raumes und möchten jetzt die Koordinaten bezüglich der Basis $B$ von $V$ finden. Dafür möchten wir den mit $\phi$ abgebildeten Punkt bestimmen.

SATZ | Koordinatenvektorberechnung:

Sei $V,W$ Vektorräume und $B,L$ Basen von V und W, sowie $\phi$ eine lineare Abbildung.

[!Definition] Koordinatenvektorberechnung: Gegeben ist folgend: Sei jetzt $v\in V$ gegeben als Koordinatenvektor $K_B(v)$ der Koordinatenvektor von $v$ bezüglich $B$.

Dann lässt sich jetzt der Koordinatenvektor, also $K_L(v)$ von $\phi (v)$ bezüglich $L$ berechnen, als $K_L(\phi (v))=A_{\phi }^{B,L}\cdot K_B(v)$

-> Also am Ende nehmen wir den Koordinatenvektor von unserem Punkt in dem Ausgangszustand ( von der Basis B erzeugt) und multiplizieren die Darstellungsmatrix der lin. Abbildung mit diesem Punkt.

Wir resultieren dann mit $K_L(\phi (v))$

Beweis - Koordinatenvektorberechnung:

Betrachten wir die Darstellungsmatrix: $A_{\phi }^{B,L}=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& & \dots & & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& & \dots & & a_{mn}\end{array}\right)$ und $v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i,{\lambda }_i\in K$ (also die Linear-Kombination aus der Basis!)

Wir berechnen jetzt die Multiplikation folgend: $A_{\phi }^{B,L}\cdot K_B(v)=\left(\begin{array}{ccc}\sum _{i=1}^n{a}_{1i}\cdot {\lambda }_i& & \text{ also die Summe der ganzen Reihe!}\\ ⋮& & \\ \sum _{i=1}^n{a}_{mi}\cdot {\lambda }_i& & \end{array}\right)$ $\phi (v)=\phi \left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i\right)$ $⟺\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot \phi (v_i)$ wobei folgend umgeschrieben werden kann $\phi (v_I)=\sum _{k=1}^m{a}_{ki}\cdot w_k$ (denn es ist eine lineare Abbildung). mit $w_k$ beschreiben wir aus $\phi (v_1)=a_{11}\cdot w_{1k}$… –> also

Beispiel zur Berechnung der Koordinatenvektoren:

Sei folgend gegeben: $V:\dim V=3$ und $B=\{v_1,v_2,v_3\}$ Sowie: $W:\dim W=2,L=\{w_1,w_2\}$ Wir definieren jetzt die lineare Abbildung folgend: $\phi :V⟶W:A_{\phi }^{B,L}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 2& 0& 3\end{array}\right)$ Wir nehmen jetzt folgend irgendeinen Vektor $v=5\cdot v_1-2\cdot v_2+4\cdot v_3$ Wir können ihn jetzt als Koordinatenvektor darstellen: $K_B(v)=\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 4\end{array}\right)$ Ferner können wir jetzt unter Anwendung der obigen Regel umrechnen: $$K_L(\phi (v))=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 2& 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ 22\end{array}\right)$$

[!Tip] Intuition Also wir können hier einfach den Koordinatenvektor ( der die Basis $B$ anwendet) mit der Darstellungsmatrix unserer linearen Abbildung multiplizieren und erhalten so dann die entsprechenden Koordinatenvektoren, die wir bei unserem anderen Raum, auf den abgebildet wird, anwenden können.

Bemerkung | Koordinatenvektor als Koordinaten-Abbildung:

Aus der vorherigen Betrachtung, also [[104.03_lineare_abbildungen_matrizen#SATZ Koordinatenvektorberechnung|Koordinatenvektorberechnung]] können wir jetzt eine Folgerung stellen, die uns hilft einfacher zu übersetzen:

[!Definition] Definition Wir können einen gegebenen Koordinatenvektor als Bild der Koordinatenabbildung auffassen. Das heißt ferner: $K_b:V⟶K^n$ Denn wenn wir betrachten, dass wir einen Vektor $v$ als LK darstellen können, erhalten wir einen Koordinatenvektor. Also folgend $$v=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\cdot v_i⟼\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ \ddots \\ {\lambda }_n\end{array}\right)$$

Wir können daraus allgemeienr eine Darstellung erhalten, die uns mehrere Möglichkeiten gibt, wie wir verschieden abbilden können.

Daraus folgen jetzt diverse Dinge, die wir zusammentragen können. Am Besten werden sie durch die Anwendung einer Visualisierung dargestellt: Wir können aus dem Raum $V$ zwei wegen gehen:

1. $V⟶W$ unter Anwendung der linearen Abbildung $\phi :V⟶W$
2. $V⟶K^n$ also die Koordinatenvektor-Abbildung unter Anwendung der Abbildung $K_B$ ( also LK der Basis $B$ für $V$ ) Und weiter können wir noch folgern für den Bereich $W$:
3. $K^n⟶K^m$ also der Übersetzung von der Koordinatenvektor-Abbildung von $v\in V$ zu $K^m$ von $w\in W$
4. $W⟶K^m$ unter Anwendung der Koordinatenvektor-Abbildung mit der Basis $L$ ( also LK der Basis $L$ für $W$)

Dafür gibt es noch eine Grafik, die es visuell aufbereitet: ![[Pasted image 20231031130223.png]]

Und wir können daraus ferner folgen:

[!Definition] jede lin Abbildung kann mit einer Darstellungsmatrix abgebildet werden: Also jede lin. Abbildung $\phi :V⟶W$ ist von der Form: $\phi (x)=A\cdot x$ für ein $A\in M_{m,n}(K)$

Beweis der Aussage:

Um diese Übersetzung bzw dieses Verständnis zu beweisen, dann können wir das unter Anwendung der kanonischen Basis von $K^n$ bzw $K^m$ ( also die Koordinatenvektoren einmal in $V$ und $W$) Dann stimmen die Elemente von $K^n$ bzw $K^m$ mit ihren Koordinatenvektoren bezüglich der Basis überein!

[!Tip] Warum? Weil unter Anwendung des vorherigen Satzes gelten muss: $$K_L(\phi (v))=A_{\phi }^{B,L}\cdot K_B(v)$$ Wobei $K_B(v)$ dem Vektor $v$ in Koordinatenform gleicht

und mit $K_L(\phi (v))$ wird nichts weiter, als die lineare Abbildung $\phi (v)$ gemeint ( aber wir bilden den Koordinatenvektor bezüglich der Basis $L$ für $W$, nachdem wir sie durch diese Abbildung übersetzt haben)

Daraus folgt also Folgend: $$\phi (v)=A_{\phi }^{B,L}\cdot v$$, genau das, was wir erreichen wollten.

Satz | Eigenschaften von Darstellungsmatrizen:

Betrachten wir mit einer Grundvoraussetzung folgenden Sachverhalt: $U,V,W$ sind VR mit den Basen $B,L,D$ Seien jetzt folgende Linear Abbildungen: $\phi {\phi }^{\prime }:U⟶V$ $\psi :V⟶W$

[!Definition] Dann folgen jetzt 3 Aussagen:

1. $A_{\phi +{\phi }^{\prime }}^{B,L}=A_{\phi }^{B,L}+A_{{\phi }^{\prime }}^{B,L}(\cdot v)$ -> Addieren wir die Ergebnisse von zwei linearen Abbildungen, ist es äquivalent zur Addition der beiden Matrizen

2. $A_{\lambda \cdot \phi }^{B,L}=\lambda \cdot A_{\phi }^{B,L}(\cdot v)$ ->Wenn wir die Ausführung der lin. Abbildung mit einem Skalar multiplizieren, ist das äquivalent dazu, die Darstellungsmatrix mit dem Skalar zu multiplizieren

3. $A_{\psi \cdot \phi }^{B,D}=A_{\psi }^{L,D}\cdot A_{\phi }^{B,L}(\cdot v)$ -> das Hintereinanderausführen der Abbildungen ist genauso, wie das sequentielle Ausführen der Darstellungsmatrizen.

Es gibt hierbei noch eine visuelle Aufbereitung, die diesen Sachverhalt nochmal besser / ausführlicher darstellen kann.

[!Tip] Intuition der Aussage: WEnn wir zwei Abbildungen nacheinander ausführen, dann ist es mathematisch das gleich, wenn wir den Vektor zuerst mit der einen Matrix übersetzen und danach mit der anderen Matrix. Wir können also durch Multiplikation der sukzessiven Matrizen relativ einfach translatieren!

Korollar | Invertierbarkeit von lin. Abbildung und Matrix:

Sei für eine lineare Abbildung: $\phi :V⟶V$ und weiterhin die Darstellungsmatrix $A_{\phi }^B$.

[!Definition] Dann gilt jetzt: $$\phi \text{invertierbar}⟺A_{\phi }^B\text{ist invertierbar}$$ Weiterhin folgt auch noch $$A_{{\phi }^{-1}}^B=(A_{\phi }^B{)}^{-}1$$ Also wenn wir die lineare Abbildung invertieren können, besteht auch die Möglichkeit, dass wir die Darstellungsmatrix invertieren können.

Betrachten wir hierfür ein Beispiel:

Beispiel Invertierbarkeit:

Betrachten wir hierbei zwei Basen: $B=(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))$ Als das Weltkoordinatensystem $B^{\prime }=(\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right))$ Als das Roboterkoordinatensystem.

Betrachten wir jetzt etwa eine Position des Roboters, also eine Koordinate, die bezüglich der Basis $B^{\prime }$ gebildet werden kann. Es stellt sich jetzt die Frage, wie wir diese Koordinate entsprechend translatieren können, dass sie im Bezug der Weltkoordinaten genutzt werden kann bzw die selben Koordinaten aber im Bezug der Weltkoordinaten darstellen. Also wir wollen etwa herausfinden: $K_{B^{\prime }}(v)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right),K_B(v)=???$

Das Ganze können wir auch einmalig berechnen und dann wiederverwenden:

Definition | Basiswechsel matrix:

Sei hierfür $V$ ein Vektorraum und $B=(v_1,\dots ,v_n)$ eine Basis, und $B^{\prime }=(v_1^{\prime },\dots ,v_n^{\prime })$ eine weitere Basis von $V$.

[!Definition] Bestimmen der Basiswechselmatrix: Um die entsprechende Basiswechselmatrix zu bestimmen, also diese Matrix, die uns automatisch einen Vektor von einer Basis in die andere übersetzen kann, müssen wir folgenden Ablauf durchführen:

Wir müssen alle Vektoren aus der Basis $B^{\prime }$, also $v_i^{\prime }$ als Linearkombination der Vektoren aus Basis $B$ schreiben. Also alle Basisvektoren von $B^{\prime }$ durch eine Linearkombination von Basis $B$ beschreiben können. Daraus folgen dann entsprechende Berechnungen, die wir durchführen müssen:

$v_1^{\prime }=s_{11}\cdot v_1+\dots +s_{n1}\cdot v_n$ $\dots$ $v_i^{\prime }=s_{1i}\cdot v_1+\dots +s_{ni}\cdot v_n$ $v_n^{\prime }=s_{1n}\cdot v_1+\dots +s_{nn}\cdot v_n$

Was wichtig ist: Die Spalte $i$ enhält die Koordinaten von $v_i^{\prime }$ bezüglich der Basis $B$

Und daraus folgt dann die beschreibende Basiswechselmatrix $S_{B,B^{\prime }}$: mit $$S_{B,B^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}{s}_{11}& \dots & s_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ s_{n1}& \dots & s_{nn}\end{array}\right)$$ Welche jetzt dafür genutzt werden kann, um zwischen den beiden Basen Vektoren übersetzen zu können.

[!Tip] Umwandeln mit einer $\phi$ linearen Abbildung: Wenn wir eine Lineare Abbildung haben und dann eine Basis-Wechsel-Matrix betrachten. Dann müssen wir zuerst die Translation mit der Abbildung, also $\phi (v)$ und danach die Linearkombination mit der neuen Basis bestimmen.

Satz | Umrechnung von Koordinaten ( unter Anwendung der Basiswechsel-Matrix):

Sei hierfür: $V$ ein Vektorraum und $B,B^{\prime }$ unterschiedliche Basen des Vektorraumes: Es gilt dann jetzt: Für$$v\in V:K_B(v)=SB,B^{\prime }\cdot K_{B^{\prime }}(v)$$ Also wir können den Vektor $v$ durch einen Koordinatenvektor $K_B$ ( Koordinatenvektor von Basis $B$) durch die Multiplikation der Basis-Wechsel-Matrix $S_{B,B^{\prime }}$ und der Koordinatenvektorabbildung von der anderen Basis $B^{\prime }$!

Beweis | Umrechnung:

Sei $K_{B^{\prime }}(v)=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ ⋮\\ {\lambda }_n\end{array}\right)$ und ferner $K_B(v)=\left(\begin{array}{c}{\mu }_1\\ ⋮\\ {\mu }_n\end{array}\right)$ (also wir haben zwei Koordinatenvektor-Abbildungen, mit denen wir einen Vektor $v$ mit diesen darstellen können). Wir können jetzt $v$ als Lk darstellen: $\sum \_{i=0}^n{\lambda }_i\cdot v_i^{\prime }$ \left( also eine Linearkombination von v unter Anwendung der Vektoren aus der anderen Basis. Damit haben wir dann:$$v=\sum _{k=0}^n\left(\sum _{i=0}^n{\lambda }_i\cdot s_{ki}\right)\cdot v_k$$Also wir können die äußere Summe ( Bildung durch die Basis $K_{B^{\prime }}$) so beschreiben, dass wir in dieser Summe folgend die Basis von $B^{\prime }$ berechnen.

Beispiel:

Sei etwa $S_{B,B^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ und damit dann unter Anwendung der soeben gezeigten Umformung: $K_B(v)=S_{B,B^{\prime }}\cdot K_{B^{\prime }}(v)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$

[!Important] Wichtig bei der Darstellungsmatrix: Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung hängt von der Wahl der Basen der entpsrechenden Vektorräume ab. Möchten wir also etwa andere Basen verwenden, dann können wir sie auch umrechnen.

Satz | Umrechnen von Darstellungsmatrizen:

[!Definition] Umrechnung Darstellungsmatrix: Seien hierfür: $\phi :V⟶W$ eine lineare Abbildung und die Basen $B,B^{\prime }$ Basen von $V$. Weiterhin sind $C,C^{\prime }$ Basen von $W$.: $$A_{\phi }^{B^{\prime },C^{\prime }}=S_{C^{\prime }.C}\cdot A_{\phi }^{B,C}\cdot S_{B,B^{\prime }}$$

Beweis des Satzes:

Wir können diesen jetzt unter Anwendung der vorher bestimmten Informationen beweisen: $$A_{\phi }^{B^{\prime },C^{\prime }}\cdot K_{B^{\prime }}\cdot (v)=K_{C^{\prime }}(\phi (v))$$ Das können wir jetzt unter Anwendung der definierten Basiswechselmatrix konvertieren: $$=S_{C^{\prime },C}\cdot K_C(\phi (v))$$ und wiederum aufschlüsseln und jetzt die Koordinatenvektor-Abbildung anwenden: $$S_{C^{\prime },C}\cdot A_{\phi }^{B,C}\cdot K_B(v)$$ und so schlussendlich nochmals einfügen: $$S_{C^{\prime },C}\cdot A_{\phi }^{B,C}\cdot S_{B,B^{\prime }}\cdot K_{B^{\prime }}(v)$$