Komplexe Zahlen $\mathbb{C}$:

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Der Körper der komplexen Zahlen $\mathbb{C}$:

Eine Komplexe Zahl $z$ ist in der Form von $z=a+i\cdot b$ wobei $a,b\in \mathbb{R}$ und der Zahl $i:=i^2=-1$ (imaginäre Einheit) Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen: $\mathbb{C}$ und ferner $\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$ Denn wir können alle reellen Zahlen mit $b=0⟹a+i\cdot 0=a,\forall a\in \mathbb{R}$ Komplexe Zahlen bauen sich mit einem Realteil und imaginären Bereich auf. Realteil: $a,a=RE(z)$ Imaginärteil: $b=IM(z)$

Diverse Rechenoperationen in $\mathbb{C}$:

Für $z=a+i\cdot b\in \mathbb{C}$ definieren wir den Betrag von $z$ :$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ die Konjugierte: $\bar{z}:=a-i\cdot b$ –

Die Verknüpfung von $+,\cdot$: für $z=a+i\cdot b,w=a^{\prime }+i\cdot b^{\prime }$ definieren wir die Addition : $z+w:=(a+a^{\prime })+i\cdot (b+b^{\prime })=q\in \mathbb{C}$ die Multiplikation: $z\cdot w=(a\cdot a^{\prime }-b\cdot b^{\prime })+i\cdot (a\cdot b^{\prime }+b\cdot a^{\prime })$

Die Multiplikative Inverse von $z=a+i\cdot b$: $z^{-1}=\frac{1}{z}=\frac{1}{a+i\cdot b}$ da erkennen wir jedoch noch nicht den Realteil und Imaginärteil –> wir können unsere Schreibweise einfach mit der Konjugation von $z$ erweitern: $\frac{1}{a+i\cdot b}\cdot \frac{a-ib}{a-ib}=\frac{a-ib}{a^2-i^2{b}^2}=\frac{a-ib}{a^2=b^2}$ $⟺\frac{a}{a^2{b}^2}-i\cdot \frac{b}{a^2+b^2}$

Wir erweitern also einfach mit $1=\frac{-z}{-z}$, um dann passend auflösen zu können und den Real und Imaginärteil passend zu extrahieren

Die Motivation von der Multiplikation folgt aus: $(a+i\cdot b)\cdot (a^{\prime }+i\cdot b^{\prime })=(a\cdot a^{\prime }+a\cdot i\cdot b+i\cdot b\cdot a^{\prime }+i\cdot b\cdot i\cdot b^{\prime })$ wobei wir es passend zusammenfassen können: $(a{a}^{\prime }+abi+a^{\prime }bi+-b{b}^{\prime })⟺(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })+i(a{b}^{\prime }+b{a}^{\prime })$

Wir lassen also immer $i$ unberührt und addieren und multiplizieren nur die reellen Zahlen in dieser Konkatenation der komplexen Zahlen

Unter dieser Betrachtung definieren wir folglich $\mathbb{C}$ als einen Körper gemäß der Definition von: [[math2_RingeKörper#Definition Körper / Fields $mathbbF$ ::|Körper Definition]]

• AG,KG,DG is nachzurechen, stimmt jedoch
• Es existiert ein Nullelement $0=0+0\cdot i$
• Es exitiert das additive Inverse $-z=a-i\cdot b$ wie obig betrachtet
• es existiert das multiplikative Inverse zu $z=a+i\cdot b$.

Beispiel $z=3+4i=3+i4$ :

$RE(z)$= $3$ $IM(z)=4$ $\bar{Z}=3-4i$ $|z|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ $z\cdot \bar{z}=(3+4i)\cdot (3-4i)=|z{|}^2=25$

$1+i$ $Re(w)=1$ $Im(w)=1$ $\bar{w}=1-i$ $|w|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}=i$

$u=7⟺7+i\cdot 0$ $Re(u)=7$ $Im(u)=0$ –> kann also geschrieben werden, als eine komplexe Zahl –> $\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$

Darstellung von $\mathbb{C}$ mit Gaußscher Zahlenebene

Man kann mit Hilfe der Gauß’schen Zahlenebene $\mathbb{C}$ veranschaulichen. Dabei betrachten wir: $z=a+i\cdot b\in \mathbb{C}$ als einen Punkt $(a|b)\in {\mathbb{R}}^2$

prinzipiell also Darstellung im kartesischen, zweidimensionalen Koordinatensystem

dabei beschreibt $y=i\mathbb{R}$ den imaginär Teil und $x=\mathbb{R}$ den reellen Teil Unter dieser Betrachtung können wir ferner den Ursprung des Betrages einer komplexen Zahl erkennen. Spannt man die Hypotenuse vom Koordinatenursprung zu einer komplexen Zahl $z$, dann ist ihr Betrag / ihre Länge der Betrag der komplexen Zahl.

–> Satz des Phytagoras

$\sqrt{-1}\in \mathbb{C}$:

In $\mathbb{C}$ existiert der Ausdruk $\sqrt{-1}$ mit $+-1$ also es existiert eine lösung für: $x^2+1=0,\in \mathbb{C}$ Betrachten wir $x^2+1$ als Polynom in $\mathbb{C}[x]$ und wir können es in Linearfaktoren zerteilen: $x^2+1=(x-1)(x+1)$ (bin. 3)

Weiterhin kann man jede quadratische Gleichung $a{x}^2+bx+c,a,b,c\in \mathbb{R}$ in $\mathbb{C}$ lösen: Dafür wenden wir die mitternachtsformel an: $x_{1.2}=\frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Falls dabei $b^2-4ac<0$ schreiben wir weiterhin : $\frac{-b+-i\sqrt{4ac-b^2}}{2a}$ Als Beispiel: $x^2+x+2=0$: $x_{1,2}=\frac{1+-\sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 2}}{2}=\frac{-1+-\sqrt{-7}}{2}=\frac{-1+-i\cdot \sqrt{7}}{2}$ –> kann anschließend gelöst werden.

![[103.01_math_tutorial#Komplexe Zahlen : Polarkoordinaten :]] Weiterhin kann man $\cos \phi$

Fundamentalsatz der Algebra:

Jedes Polynom $f\in \mathbb{C}[x]$ vom Grad $n\ge 1$ hat genau $n$ Nullstellen in $\mathbb{C}$

Verglichen mit den reellen Zahlen, wo man maximal n Nullstellen haben kann, sind in den komplexen Zahlen genau n Nullstellen aufzufinden.

Das folgt daher, dass wir die Gleichung in Linearfaktoren zerteilen können und daraus dann N Nullstellen generieren können. Sei $x^2+2x+1=(x+1)(x-1)$ –> dann haben wir zwei mögliche Nullstellen.

$z=r\cdot e^{i\phi }$ $z^{\prime }=r^{\prime }\cdot e^{i{\phi }^{\prime }}\in \mathbb{C}$ In $\mathbb{C}$ gilt: $z^n=1$ kann in den komplexen Zahlen mit $n$ Lösungen gebildet werden –> in den reellen Zahlen sind es nur 2. $z_k=e^{\frac{2\pi i}{n}\cdot k}$ wobei $k\in \{0,1,\dots ,n-1\}$

Dies kann man betrachten, wenn man sich den Einheitskreis anschaut, dann findet man immer n Punkte auf diesem Kreis, die diese Gleichung lößen können.

$\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}⟹$ $\mathbb{C}$ hat alle Eigenschaften, wie $\mathbb{R}$

$\mathbb{C}$ hat alle algebraischen, analyitschen Eigenschaften, wie $\mathbb{R}$ und (weitere…)

Dennoch gilft: Es gibt keine vollständige Ordnung $\le$ in Zahlenraum $\mathbb{C}$, die mit + und $\cdot$ verträglich ist. Das heißt: $a\le b,c\le d⟹a+c\le b+d$ und $a\le b,r\ge 0,⟹r\cdot a\le r\cdot b$
werden nicht erfüllt.

das kommt daher, dass wir in $\mathbb{C}$ zu viele Elemente haben, die man nicht klar in pos oder negative Konnotationen einordnen kann.

Man könnte es mit dem Betrag der Komplexen Zahl probieren, aber dann sind wir auch wieder in den reellen Zahlen aktiv.

als die schönste Formel deklariert: $e^{i\pi }+1=0$