Satz | Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt

anchored to [[104.00_anchor_math]] proceeds from [[104.04_orthogonale_matrizen]]

Overview:

Mit diesem Algorithmus wird es uns ermöglicht eine Orthogonale-Basis für einen Vektorraum $V$, beschrieben mit einer Basis $W=\{w_1,w_2,\dots ,w_n\}$, zu setzen. Dabei möchten wir hierbei Schritt für Schritt die alten Vektoren so ersetzen, dass daraus neue orthogonale Vektoren den gleichen Raum beschreiben können.

Definition

Sei bei diesem Algorithmus folgend gegeben: $$v_1,\dots v_k\in V$$ Wir möchten eine Orthonormal-Basis $\in V$ bestimmen und sie folgend beschreiben: $$w_1,\dots w_k\in V$$ Ablauf: Wir folgen jetzt bestimmten Abläufen, um diese Vektoren / Basis bestimmen zu können:

1. Setze $w_1=v_1$
2. Berechne jetzt jeden weiteren Vektor $w_{r+1}$ durch folgende Schritte: $$w_{r+1}=v_{r+1}+\sum \_{i=1}^r{\lambda }_i^{r+1}\cdot w_i$$ wobei wir ${\lambda }_i^r+1$ folgend beschreiben möchten: ${\lambda }_i^{r+1}=-\frac{1}{\parallel w_i{\parallel }^2}$, falls $w_i\ne 0$
3. wir möchten jetzt die Vektoren noch normalisieren, also ihre Länge auf 1 setzen: $$y_1,y_2,\cdots \in V:=y_r:=w_r\cdot \frac{1}{\parallel w_r\parallel },w_r\ne 0$$ –> also wir berechnen die Norm wieder, in dem wir ihn durch $\frac{1}{\parallel v\parallel }$ seine Lange teilen.

Folgerungen:

1. Bricht die Iteration nach $k$ Schritten nicht ab, also $w_i\ne 0,i=1,\dots k$ ( wir haben also keinen Nullvektor, der irgendwo aufgetreten ist). Dann bilden die Vektoren $w_1\dots w_k$ ein ONS –> ein Orthonormalsystem. und weiter bilden die abgewandelten Vektoren $y_i\dots y_k$ auch ein ONS ( denn es handelt sich um linear unabhängige Vektoren), die wir anschließend normiert haben! Wir sehen, dass all diese ein Erzeugendensystem von $V$ erzeugen: $$⟨v_1,\dots ,v_k⟩=⟨w_1,\dots ,w_k⟩=⟨y_1,\dots ,y_k⟩$$ 2. Bricht die Iteration nach $r$ Schritten ab, also irgendwo vor dem Ende der Ausführen. dann gibt es ein $w_r=0$. Es folgt daher: $$v_1,\dots ,v_{r-1}⟹\text{sind linear unabha¨ngig!}$$ $$v_1,\dots ,v_r⟹\text{sind linear abha¨ngig, denn wir haben hier einen Nullvektor!}$$ -> Das folgt, weil wir mit diesem zusätzlichen Vektor $w_r$ einen Nullvektor bestimmt haben, welcher immer abhängig zu allen anderen ist.

Beweisen kann an diese Folgerung durch vollständiger Induktion …

Beispiel:

Sei folgend $v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3$

1. Wir wollen jetzt eine ONB für die aufgespannte Ebene der beiden Vektoren, also $⟨v)1,v_2⟩$, bestimmen!
2. Weiterhin möchten wir noch einen $v_3$ finden, der dann diese ONB zu einer ONB $\in {\mathbb{R}}^3$ berechnet. Wir berechnen gemäß des vorher definierten Algorithmus: $$w_1=v_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$ jetzt ist $r=1,w_{r+1}=w_2$ Wir berechnen diesen Vektor jetzt gemäß der vorher definierten Vorschrift: $$w_2=v_2+\sum _{i=1}^1{\lambda }_i^2\cdot w_i⟺v_2+{\lambda }_i^2\cdot w_1$$ und wir setzen jetzt noch ${\lambda }_1^2=-(w_1|v_2)\cdot \frac{1}{\parallel w_1{\parallel }^2}$i Betrachten wir $(w_1|v_2)=(1,1,0{)}^T\times (1,3,2{)}^T=4$ Skalarprodukt und weiter $\parallel w_1{\parallel }^2=1^2+1^2+0=2$
   und daraus ergibt sich folgend $$w_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right)=-\frac{4}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)$$ Daraus konnten wir die OGB bilden ( Orthogonal-Basis), wir wollen sie ferner zu einer ONB - Orthonormal-Basis - funktionieren. Also: $$⟨\frac{w_1}{\parallel w_1\parallel },\frac{w_2}{\parallel w_2\parallel }⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\sqrt{6}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$ folgend möchten wir jetzt noch einen Vektor $v_3$ finden, welcher die Basis von ${\mathbb{R}}^2$ in ${\mathbb{R}}^3$ übernehmen kann. Dafür müssen wir also die Basis aus $w_1,w_2$ entsprechend ergänzen.

[!Tip] Vektor probieren, nicht erst berechnen Wir könnten mit Methoden aus [[math2_Matrizen_LGS]] entsprechende Vektoren finden, aber das kann schnell aufwendig werden Daher einfach einen Vektor probieren, das kann man ja gewissermaßen sehen!

Sei etwa $$v_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$ Dann müssen wir zeigen, dass dieser Vektor den Eigenschaften entsprechen wird, denn: $$w_3=v_3-\frac{w_1|v_3}{\parallel w_1{\parallel }^2}\cdot w_1-\frac{w_2|v_3}{\parallel w_2{\parallel }^2}\cdot w_2$$ –> das können wir entsprechend berechnen und einen neuen Vektor bilden, der Orthogonal zu den anderen sein wird und weiterhin auch normiert wird ( da wir die Operationen anschließend durchführen können.)

[!Definition] Intuition auch hier werden wir halt wieder einen Ersatzvektor aus den vorhandenen Orthogonalen Vektoren ($w_1\dots$) bilden.

Setzen wir jetzt also folgend ein, um $w_3$ zu berechnen: $$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+\frac{1}{6}\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$$ Wir müssen den Vektor noch normieren um die ONB zu erweitern ! $$y_3=\sqrt{3}\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right)$$