Mehrdimensionale Analysis:

anchored to [[104.00_anchor_math]] also includes content from [[math1_FunktionAnalyse]] [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]] and further topics from [[102.00_anchor_math]]

–<| Overview |>–

• Stetigkeit von mehrdimensionalen Funktionen
• Integration
• Fourier

-<| (7) Funktionen mehrer Veränderlicher |>-

Wir mögen uns jetzt Funktionen anschauen, welche in ihrer Grundstruktur mehrere Variablen aufweisen können und so in ihrer Charakteristik verschieden moduliert werden könnenn.

Um damit entsprechend arbeiten zu können, möchten wir folgend einige Grundlagen definieren / einführen.

| (Definition 7.1) | Norm und Abstand |

Sei hierfür jetzt ein Vektorraum. Ferner möchten wir einen Vektor betrachten: Sei dafür $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$

[!Definition] Betrag / Norm des Vektors $x$ Wir definieren jetzt den Betrag/Norm des Vektors $v$ folgend mit: $$\parallel x\parallel =\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}$$

Möchten wir jetzt ferner den Abstand dieser beschreiben, dann benötigen wir die zuvor definierte Norm nochmals:

[!Definition] Abstand zweier Punkte $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ Betrachten wir die beiden Punkte $x,y\in {\mathbb{R}}^n$ dann definieren wir hier den Abstand zwischen beiden durch: $$d(x,y)=\parallel x-y\parallel$$

| offene Menge

[!Definition] Offene Mengen Die Verallgemeinerung Offener Intervalle in $\mathbb{R}$ nennen wir auch die offene Menge im Raum ${\mathbb{R}}^n$ Das heißt aus einer Betrachtung heraus, dass wir um einen Punkt $x$ einen Abstand definieren und dann alle Punkte einbeziehen die innerhalb dessen sind.

Als erstes Beispiel dafür möchten wir eine offene Kugel betrachten, die also entsprechend des Radius um einen Punkt ( einem bestimmten Abstand zu diesem) einen Menge abbildet, von Punkten, die in dieser enthalten sind.

[!Important] Definition offene Kugel Betrachten wir einen Punkt $x_0\in {\mathbb{R}}^n$, wobei hier $ϵ>0$ sein muss. Dann beschreibt folgende Definition jetzt eine Kugel im entsprechenden Raum: $$K(x_0,ϵ)=\{x\in {\mathbb{R}}^n\mid \parallel x-x_0\parallel <ϵ\}$$ Es beschreibt also hier eine Menge von Punkten, die in ihrer Differenz ( dem Abstand zu Punkt $x_0$) kleiner sind, als das gewählte Epsilon –> es ist ein wenig, wie das Stetigkeits-Kriterium

Offen betrachten wir jetzt eine Menge, wenn wir für jeden Punkt in dieser eine Kugel bauen können, sodass dann alle Elemente dieser Menge enthalten sein können!

[!Definition] Kriterium für offene Menge Wir nennen eine Menge $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ offen, wenn $\forall x\in D$ ein $\exists ϵ>0$, sodass dann $K(x,ϵ)\subseteq D$. Wir können hier also eine neue Kugel aufbauen, die eine Submenge dieser Menge sein wird

Durch diese Definition kann beispielsweise [[#Beispiel für offene Menge]] nicht wirklich funktionieren, denn:

• wenn wir am Rand eine Kugel aufspannen, dann muss sie zwingend Elemente enthalten, die nicht innerhalb des Bereiches sind und dadurch wird diese Forderung gebrochen / verletzt

Beispiel für offene Menge |

Betrachten wir folgende Menge: $A:=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid \parallel x\parallel \le 1\}$ Diese Menge beschreibt also einen Kreis um den Koordinatenursprung und dabei wird auch der Rand $=1$ mit inbegriffen!

Aus dieser Eigenschaft folgt dann, entsprechend der vorherigen Definition, dass es keine offene Menge ist.

Wir können die Menge anpassen, sodass sie einer offenen Menge entspricht!. Dafür entfernen wir den Rand mit $=1$, sodass dann die geforderte Eigenschaft erfüllt wird: $B:=\{x\in {\mathbb{R}}^2\mid \parallel x\parallel <1\}$ !

( Definition 7.3) | Folgen und Konvergenz

Auch hier handelt es sich um eine Wiederholung der Themen aus: [[102.00_anchor_math]], ferner also [[math1_konvergenzZeigen]] Aber jetzt mehrdimensional betrachtet!

In der mehrdimensionalen Betrachtung möchten wir folgend definieren:

[!Definition] Folge in mehrdimensionalen Raum Seien jetzt $x_k=\left(\begin{array}{c}{x}_1^k\\ ⋮\\ x_n^k\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^n$ und weiter der Parameter $k=1,2,\dots$. Es werden dadurch k Punkte in ${\mathbb{R}}^n$ abgebildet! Ferner möchten wir diese Menge von Punkten jetzt als Folge definieren / beschreiben: Folge: $(x_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$

[!Definition] Konvergenz der mehrdimensionalen Folge: Wir möchten jetzt beschreiben, wenn diese Folge konvergiert. Wir fordern dafür, wenn $\exists a$, geschrieben als

• $x_k\to a$ oder auch
• $\underset{k⟶\infty }{\lim }{x}_k=a$ Dafür muss gelten: $$\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}:\parallel x_k-a\parallel <ϵ,\forall k>N$$ Das heißt also auch hier wieder, dass ab einem bestimmten Punkt diese Folgen einen Wert immer weiter annähern wird / kann. Siehe dafür auch nochmal [[math1_Folgen]] Sie entspricht mehr oder weniger der Definition in $\mathbb{R}$, ist hier aber erweitert auf einen mehrdimensionalen Raum!

Ferner gilt jetzt also: $$(x_k)=\left(\begin{array}{c}>x_1^k\\ ⋮\\ x_n^k>\end{array}\right)\to a-\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n>\end{array}\right)⟺x_i^k\to a_i,\forall 1\le i\le n$$ Also für jede Folge in diesem Eintrag muss jeweils eine Konvergenz vorliegen, sonst ist die gesamte Betrachtung dieser mehrdimensionalen Folge nicht mehr konvergent!

Beispiele mehrdim. Folgen:

Betrachten wir eine Folge $\in {\mathbb{R}}^2$ und erörtern dessen Konvergenz: $$x_k=\left(\begin{array}{c}2+\frac{1}{k}\\ {\left(1+\frac{\overline{1}}{k}\right)}^k\end{array}\right){⟹}_{k⟶\infty }\left(\begin{array}{c}2\\ e^{\overline{1}}\end{array}\right)$$ Diese Folge ist somit konvergent, weil für beide Einträge eine entsprechende Konvergenz gezeigt werden kann. Dass der untere Term gleich $e$ ist, haben wir zuvor bereits in [[math1_konvergenzZeigen]] gezeigt!

Weiteres Beispiel:

Betrachte jetzt noch: $$\left(\begin{array}{c}k\\ \frac{1}{k}\\ 3\end{array}\right)$$ Wir sehen zu Beginn schon, dass $k$ nicht konvergieren wird, und damit konvergiert die ganze Reihe nicht!

Stetigkeit

See also [[math1_Funktionsgrenzwerte#Stetigkeit]] for further revision / information

(Definition 7.4) | Stetigkeit mehrdim Funktionen

Sei in dieser Betrachtung eine reelle Funktion: ${\mathbb{R}}^n⟹{\mathbb{R}}^n$ gegeben.

[!Definition] Abbildung eines Vektors durch mehrdim Funktionen Betrachten wir eine reelle Funktion (mehrdimensional) von mehrere Variablen: $$\begin{array}{r}>f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n⟹{\mathbb{R}}^m\\ >x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)⟼f(x)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ ⋮\\ f_m(x)\end{array}\right)>\end{array}$$ Diese Funktion ordnet also einem Vektor $x\in D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ einen weiteren Vektor ( im Zielraum) $\in {\mathbb{R}}^m$ zu! Beschrieben wird es mit: $f(x)=f(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x)\\ ⋮\\ f_n(x)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^m$

Des Weiteren möchten wir jetzt die skalare Funktion definieren und einführen:

Skalare Funktionen | wobei $m=1$

[!Definition] skalare Funktion: Sofern unser Zielraum der Dimension $=1$ entspricht, also wir eine Funktion $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ haben, dann nennen wir diese Funktion skalare Funktion.

mögliche Beispiele könnten sein:

• $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2,D={\mathbb{R}}^3$
• $f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2},D={\mathbb{R}}^2\setminus \{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\}$

Skalare Funktionen grafisch darstellen |

Wir können skalare Funktionen ( $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$) grafisch darstellen.
Wir würden dafür folgend vorgehen:

[!Important] grafische Darstellung skalare Funktionen: Zeichne entweder:

1. Den Graphen $\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3\mid x,y\in \mathbb{R},z=f(x,y)\}$ als eine Fläche im Raum ${\mathbb{R}}^3$
2. oder die Höhenlinien / Niveauflächen, welche folgend beschrieben werden: $$\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}\subseteq {\mathbb{R}}^2$$ Dabei beziehen wir uns auf mehrere festgewählte $c\in \mathbb{R}$

Und dann können wir damit eine entsprechende Visualisierung stattfinden lassen! Betrachte etwa: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}:f(x,y)=x^2+y^2$ Welche dann etwa einer steigenden Parabel entspricht! Aber dabei kann es mehrere möglichkeiten geben..

Vektorwertige Funktionen | wobei $m>1$

Wenn also folgend jetzt der Zielraum mit $m>1$ beschrieben wird, können wir folgend vektorwertige Funktionen definieren.

[!Definition] Vektorwertige Funkionen Dafür sei jetzt: $$f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$$ und wir beschreiben sie als eine vektorwertige Funktion. Betrachten wir dafür ein Beispiel: $$f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3,f(x_1,x_2)=\left(\begin{array}{c}{x}_1^2\\ 2\\ \sin ((x_1,x_2))\end{array}\right)$$ Also sie expanded von einem kleinen Raum auf einen größeren. (Wir können dabei sagen, dass sie nicht bijektiv sein kann!)

Parametrisierte Kurven | wobei $n=1$

Wir betrachten jetzt also Funktionen, die von einem eindimensionalen Raum auf einen mehrdimensionalen Raum abbilden werden! Wir beschreiben sie folgend:

[!Definition] parametrisierte Kurven Wir definieren sie mit folgender Signatur: $f:D\subseteq \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^m$ Wir können hier je nach gesetztem $m$ auf verschiedene Eigenschaften hinweisen ( zumindest in den uns bekannten Dimensionen 2,3): $m=2$ wird eine ebene Kurve $m=3$ wird eine Kurve im Raum sein

Als Beispiel: eine Kreislinie! $f:[0,2\pi )\to {\mathbb{R}}^2,t\mapsto \left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)$

Stetigkeit in mehrdimensionalen Folgen

Unter der Vorbetrachtung der zuvor definierten Funktionen und deren Eigenschaften können wir jetzt auch unter Anwendung der vorherigen Kriterien [[math1_konvergenzZeigen]] jetzt folgend die Stetigkeit neu definieren und für mehr-dimensionale Funkionen betrachten!

[!Definition] Stetigkeit einer Funtion $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ Betrachten wir folgend eine Funktion $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},f(x_1,\dots ,x_n)=x_i$ und ferner $a_0\in {\mathbb{R}}^n$ Wir nennen diese Funktion jetzt stetig in $a_0$, wenn gilt: Sei eine Folge $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ im Raum ${\mathbb{R}}^n$, sodass jetzt: $$a_k=\left(\begin{array}{c}{a}_1^{(k)}\\ ⋮\\ a_n^{(k)}\end{array}\right){⟹}_{k\to \infty }{a}_0=\left(\begin{array}{c}{a}_1^{(0)}\\ ⋮\\ a_n^{(0)}\end{array}\right)$$ Das heißt also, dass wir eine entsprechend dimensionale Folge konstruieren, die auf allen spalten konvergiert und dann werden wir diese als einen Grenzwert definieren!

Dann ist jetzt damit: $\underset{k\to \infty }{\lim }f(a_k)=\underset{k\to \infty }{\lim }f(a_1^{(k)},\dots ,f_n^{(k)})=\underset{k\to \infty }{\lim }{a}_i^{(k)}=a_i^{(0)}$

und das können wir ferner auf die Funktion anwenden und darin ebenfalls auf den Häufungspunkt $a_0$ verweisen / reduzieren. Also wir zeigen hier, dass wir entsprechend auf $a_0$ resultieren, wenn wir eine Funktion einbringen, die genau nach diesem Kriterium konvergiert Folgend beschrieben mit: $$f(a_0)=f(a_1^{(0)},\dots ,a_n^{(0)})=a_i^{(0)}$$ Dadurch resultieren wir also mit: $\underset{k\to \infty }{\lim }f(a_k)=f(a_0)$ und somit ist die Funktion $f$ also stetig in der Stelle $a_0$ ( weil wir eine Folge konstruieren konnten, die uns gezeigt hat, dass wir von links und rechts jeweils in dem Punkt $a_0$ konvergieren können!)

[!Important] alle Polynomfunktionen sind stetig Wir können auch hier wieder eine Verallgemeinerung vornehmen und erkennen, dass alle Polynomfunktionen stetig sind. Summen, Produkte, Quotienten, Kompositionen stetiger Funktionen sind stetig.

Beispiel für mehrdim Funktionen | Stetigkeit prüfen

Betrachten wir eine Funktion mit folgender Signatur: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$: $$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ falls }x=y=0\\ \frac{3x^2}{x^2+y^2}& \text{ sonst}\end{array}$$ Ist ebenfalls eine stetige Funktion im Bereich von ${\mathbb{R}}^2\setminus \{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\}$, denn wir können wir eine Folge konstruieren, die für beide Bereiche ( links / rechts) einen Punkt der Konvergenz erreicht ( hier entsprechend mit 0 notiert)!

Wir stellen uns hier die Frage, wie das Verhalten der Funktion im Übergang ist, also ferner hier bei $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$. –> Ist sie weiterhin stetig?

Wir setzen dafür eine Folge: $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ mit folgender Eigenschaft: $a_k=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{k}\\ \frac{1}{k}\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ Folgend möchten wir sie dann einsetzen und jeweils betrachten, wie es sich in dem Fällen verhalten wird / kann: $$\begin{array}{rl}f(a_k)=& f\left(\frac{1}{k},\frac{1}{k}\right)=\frac{3\cdot {\left(\frac{1}{k}\right)}^2}{{\left(\frac{1}{k}\right)}^2+{\left(\frac{1}{k}\right)}^2}\\ =& \frac{3}{k^2}\cdot \frac{k^2}{2}=\frac{3}{2}\\ ⟹& \underset{k\to \infty }{\lim }f(a_k)=\frac{3}{2}\ne f(a_0)=f(0,0)=0\end{array}$$ Wir sehen hier also, dass der rechte Grenzwert ( von $\infty \to 0$) ungleich dem linken Grenzwert ist! Genau das ist aber unsere Bedingung für die Stetigkeit, dass sie gleich sein müssen! Somit ist die Funktion in $(0,0)$ nicht stetig!

[!Important] Belegen / Bestimmen von Stetigkeit Allgemein: Stetigkeit widerlegen wir immer, indem wir ein Beispiel nennen, wo sie nicht Stetig ist. Das heißt, wir können etwa zwei Folgen ( von links und rechts kommend), wobei sie jeweils verschieden konvergieren werden / oder auch nicht!

Stetigkeit zeigen wir hier weiterhin, wenn wir den ersten Punkt der Definition von Stetigkeit zeigen / beweisen: Also, dass wir die Funktion bis zu einer bestimmten Stelle mit Stetigkeit prüfen und dabei die Lemma nutzen ( Polynome sind stetig etwa, etc …) und dann damit argumentieren, um es zu lösen /

Stetigkeit entsprechend beweisen:

[!Definition] Vorgang beim bestimmen der Stetigkeit an einem interessanten Punkt $a_0$: Sei eine Funktion im mehrdimensionalen Raum gegeben: $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, wobei $f(x_1,\dots ,x_n)=x_i$. Wir möchten prüfen, ob sie stetig ist

1. Wir müssen für den beliebigen Häufungspunkt $x_0$, den wir auf Stetigkeit prüfen wollen, eine entsprechende Folge konstruieren ( meist nutzen wir das, wenn wir einen Übergang von zwei Zuständen hätten!)
2. Sei also $(a_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge in ${\mathbb{R}}^n$ mit folgender Charakteristik: $$a_k=\left(\begin{array}{c}>a_1^{(k)}\\ ⋮\\ a_n^{(k)}>\end{array}\right){⟶}_{k\to \infty }{a}_0=\left(\begin{array}{c}>a_1^{(0)}\\ ⋮\\ a_n^{(0)}>\end{array}\right)$$
3. Wir müssen prüfen, ob der Wert im links/ und rechtsbündigen Limes übereinstimmt ( oder nicht).
4. Dafür berechnen wir jetzt also: $\underset{k⟶\infty }{\lim }f(a_k)=\underset{k⟶\infty }{\lim }f(a_{1,}^{(k)},\dots ,a_n^k)$ was gleich $=\underset{k⟶\infty }{\lim }{a}_i^k=a_i^0$ erhalten. Damit haben wir entsprechend herausgefunden, dass $f(a_0)=f(a_1^0,\dots ,a_n^0)=a_i^{(0)}$ -> was exakt der berechnet Grenzwert ist!

weitere Beispiele:

Betrachten wir folgende Funktion nochmals: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}:f(x,y)=\{\begin{array}{ll}0& x=y=0\\ \frac{3\cdot x}{x^2+y^2}& \text{sonst}\end{array}$ Wir sehen hier, dass es womöglich Probleme im Bereich von $0$ geben könnte und daher möchten wir an dieser Stelle die Stetigkeit prüfen!

Dafür benötigen wir jetzt entsprechend zwei Folgen ( es können die gleichen sein), damit wir folgend diese Folgen als Argumente für unsere Funktion betrachten können.

| Differentialrechnung |

Unter Prämisse von Mehrdimensionaler Integration

Wir haben bereits diverse Themen aus vorherigen kapiteln nochmal aus Sicht der mehrdimensionalen Betrachtung angeschaut und bearbeitet. Folgend möchten wir jetzt auch noch die Integration unter Anwendung mehrdimensionaler Räume betrachten.

| ( Definition 7.6 ) | Partielle Ableitungen in mehrdim

Sei jetzt hier folgend: $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ [[#offene Menge|offen]] und weiter möchten wir eine Funktion definieren: $f:D\to {\mathbb{R}}^m$. Betrachte weiter, dass wir in der Menge $D$ Vektoren der Form: $a=(a_1,\dots ,a_n^T\in D)$ haben.

partielle Differenzierbarkeit

[!Definition] partielle Differenzierbarkeit Wir möchten eine Funktion $$f(x_1,\dots ,x_n)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(x_1,\dots ,x_n)\\ \dots \\ f_m(x_1,\dots ,x_n)\end{array}\right)$$ jetz partiell nach $x_j(j\in \{1,\dots ,n\})$ differenzierbar nenne, falls wir für jede Funktion innerhalb dieses Vektors folgendes gilt: Für jede Funktion $f_i:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ gilt Die Skalare Funktion $f_i(a_1,\dots ,a_{j-1},x_j,a_{j+1},\dots ,a_n)$ einer veränderlichen ist an der Stelle $a_j$ entsprechend diffbar. ( wenn sie differenzierbar ist, heißt das folgend noch: $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f_i(a_1,\dots ,a_{j-1},a_{j+h},a_{j+1},\dots ,a_n)-f(a_1,\dots ,a_n)}{h}$ Dabei erinnert diese Struktur an [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]] –> $\underset{n⟶x_0}{\lim }\frac{f(x_0+n)-f(x_0)}{n}$ aber halt mehrdimensional betrachtet) Weiterhin meinen wir mit der partiellen Funktion, dass alle $x_k$ bis auf ein bestimmt gewähltes $x_j$ durch die entsprechenden Werte $a_k$ ersetzt werden. Wenn das passt, dann wird diese partielle funktion an der Stelle $a_j$ diffbar sein.

partielle Ableitungen einer Funktion

[!Definition] partielle Ableitungen einer Funktion $f_i$ Wir nennen die obige Umformung dann eine partielle Ableitung von $f_i$ nach $x_j$ an einer Stelle $a$ –> also dem gewählten Punkt, den wir da betrachten wollen / können. Beschrieben wird es dann mit: $\frac{\gamma f_i}{\gamma x_j}(a)$

Jacobimatrix |

[!Definition] Jacobimatrizen, wenn alle $f_i$ ( also Teilfunktionen) diffbar sind Sofern jetzt alle $f_i$ nach allen $x_j$ partielle differenzierbar sind, dann heißt $f$ partiell diffbar und man kann die Jacobimatrix folgend definieren. Dabie wird sie an einer bestimmten Stelle $a$ von $f$ bestimmt mit: $$f{f}^{\prime }(a):=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\delta f_1}{\delta x_1}(a)& \dots & \frac{\delta f_1}{\delta x_n}(a)\\ >⋮& \dots & ⋮\\ >\frac{\delta f_m}{\delta x_1}(a)& \dots & \frac{\delta f_m}{\delta x_n}(a)>\end{array}\right)$$

Reduktion auf Dimension $m=1$

Wir können das ganze auch wieder reduzieren, also wenn die Ziel-Dimension $m=1$ ist, dann besteht die Jacobi-Matrix aus nur einem einzigen Eintrag!

[!Important] Jacobimatrix mit $m=1$ ($dim=1$) Für eine skalare Funktion $m=1$ besteht dann $f^{\prime }(a)$ nur aus einer Zeile. Wir bezeichnen diesen Vektor dann folgend: $$f^{\prime }(a{)}^T=\left(\begin{array}{c}>\frac{\delta f}{\delta x_1}(a)\\ ⋮\\ \frac{\delta f}{\delta x_n}(a)>\end{array}\right):=\Delta f(a)=grad(a),\in {\mathbb{R}}^n$$ Wir nennen diesen Vektor dann also Gradient von $f$ im gegebenen Punkt $a$.

Beispiel

Sei hier jetzt folgendes Beispiel gegeben: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=3xy+4y$ Sofern wir jetzt die partielle Funktion beschreiben müssen: ( Da wir nur eindimensional sind), können wir entsprechend die Ableitung nur für die eine Funktion bilden und dann damit die gesuchte partielle Ableitung beschreiben.

Wir müssen jetzt einmal nach y ableiten, und auch nach x.

1. $\frac{\delta f}{\delta x}=3y$ –> denn wir wissen, dass unter Betrachtung von $x$, y eine Konstante sein wird!
2. $\frac{\delta f}{\delta y}=3x+4$ –> auch hier, ist dann $x$ konstant und bleibt erhalten //

Wir können dies auch mit der Definition [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]] berechnen / zeigen.

Wenden wir also $$\begin{array}{rl}\frac{\delta f(x,y)}{\delta x}& =\underset{h{\to }_0}{\lim }\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\ & =\frac{3(x+h)\cdot y+4y-(3xu+4y)}{h}\\ & \\ & =\frac{3xy+3hy+4y-3xy-4y}{h}\\ & =\frac{3\overline{xy}+3hy+\overline{4y-3xy-4y}}{h}\\ & =\frac{3hy}{h}\\ & =3y\end{array}$$ Damit haben wir den vorherigen Wert auch nochmal erhalten, das aber ausführlicher bestimmt!

Funktion mit Skalaren-Gradient

$f:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}:f^{\prime }(0,0,0)$ $f(x,y,z)=e^x+y^2+xy$ Ferner möchten wir jetzt nach jedem Parameter $x,y,z$ ableiten!

1. $\frac{\delta f}{\delta x}=e^x+z$
2. $\frac{\delta f}{\delta y}=e\cdot y$
3. $\frac{\delta f}{\delta z}=x$ Mit diesen Ableitungen können wir jetzt den Gradienten bestimmen: $\Delta f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}{e}^x+z\\ 2y\\ x\end{array}\right)$ und dann können wir an der entsprechenden Koordinate berechnen: $f^{\prime }(0,0,0)=(1,0,0)$

Funktion mit Jacobi-Matrix

Betrachten wir folgende Funktion: $f:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2,f(x,y,z)=\left(\begin{array}{c}x+y\\ x\cdot y\cdot z\end{array}\right)$ Da wir keine skalare Funktion haben, müssen wir jetzt entsprechend die Jacobi-Matrix bestimmen.

Wir gehen nach gleichem Prinzip, wie im vorherigen Beispiel [[#Funktion mit Skalaren-Gradient|mit skalarem Gradienten]] vor, jedoch müssen wir diese Operation für jede Funktion ( im Zielbereich) machen! Dabei wird also in einer ersten Zeile:

• die erste Funktion, nach $x,y,z$ abgeleitet
• die zweite Funktion, nach $x,y,z$ abgeleitet –> das Schema ist also ähnlich, zum vorherigen Beispiel, aber diesmal ausgeweitet auf alle möglichen Funktionen.

Wir wollen ferner ableiten jetzt: für die erste Funktion: $\frac{\delta f}{\delta x}=1$ –> Ableitung nach $x$ -> 1 $\frac{\delta f}{\delta y}=1$ –> Ableitung nach $y$ -> 1 $\frac{\delta f}{\delta z}=0$ –> ableitung nach z, also 0 für die zweite Funktion: $\frac{\delta f}{\delta x}=1\cdot y\cdot z=yz$ $\frac{\delta f}{\delta y}=1\cdot x\cdot z=xz$ $\frac{\delta f}{\delta z}=1\cdot x\cdot y=xy$

Damit können wir jetzt die Matrizen folgend bestimmen: $$f^{\prime }(x,y,z)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ yz& zx& xy\end{array}\right)$$ und unter Anwendung an einer bestimmten Stelle dann: $$f(0,0,0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

[!Tip] Visualisierung Betrachten wir eine 3-Dimensionale Kugel: Sie wird durch eine Funktion mit $3$ parametern beschrieben! Wenn wir jetzt auf 2 DImensionen reduzieren und eine Ableitung bestimmen ( jeweils nach $x,z,y$ ableiten), dann bauen wir dadurch Geraden auf, die diese Kugel in bestimmten Stellen tangierenn!

| ( Bemerkung 7.11) | Indikator des steilsten Anstiegs

Unter Berechnung des Gradienten einer Funktion ( im mehrdimensionalen Raumes) können wir folgende Beobachtung erhalten ( welche ähnlich zu den Erkentnissen im 1-Dimensionalen Raum sind ) [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit#Folgerungen]]

[!Definition] Der Gradient zeigt in die Rihtung des steilsten Anstiegs einer Funktion in einem gegebenen Punkt. Er steht dabei senkrecht auf den Höhenlinien.

[!Definition] Existieren für $f$ alle partielle Ableitungen ( also die Tangenten in eine Richtung $x_j$, dann existiert nicht notwendig $\forall j/⟹\exists$ Tangentialebene). Also f muss somit nicht stetig sein!

[!Warning] Implikation von Diffbarkeit! Das ist konträr zu den Aussagen, die wir in [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]] betrachtet haben. $f$ ist partiell diffbar $/⟹$ f ist stetig !! Das können wir hier nicht garantieren! Beispiele dafür finden wir etwa hier: https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/biomath/stichw/zweivar.htm wo wir einige Funktionen partiellen Differenzieren können, sie dennoch nicht komplett stetig sind!

(Definition 8.4) | totale Diff-barkeit

Nach der partiellen Diffbarkeit möchten wir jetzt ferner noch die totale Diffbarkeit betrachten.

Sei dafür wieder ein Raum: $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ ein offener Raum und weiterhin ein element $a\in D$ Wir definieren jetzt eine Funktion: $f:D\to {\mathbb{R}}^m$

-> Wir möchten sie jetzt total differenzierbar nennen, wenn gilt:

• wenn $f$ in $a$ partiell diffbar ist und weiterhin geschrieben werden kann als:

[x] $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)+R(x)$ Aufgeschlüsselt bedeuten die einzelnen Komponenten:

• $f(x)=f(x_1,\dots ,x_n)$
• $f(a)\in {\mathbb{R}}^m$
• $f^{\prime }(a)$ bezeichnet die Jacobi-Matrix also $\in M_{m,n}(\mathbb{R})$
• $(x-a)\in {\mathbb{R}}^n$
  • beide kombiniert erinnern an die normale Ableitung aus Mathe1 [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]]
• $(R(x)\in {\mathbb{R}}^m)$

[!Important] Bedeutung des Termes Wenn wir jetzt wissen, dass unsere Funktion partiell diffbar und weiterhin in dieser beschriebener Schreibweise aufgeschrieben werden kann, dann nennen wir sie total diffbar. Dabei ist bei dieser Schreibweise ersichtlich, dass wir hier eine mehr oder wenig lineare Funktion konstruiert haben. Spezifisch wird diese Jacobi-Matrx $\in M_{m,n}$ mit $(x-a)$ multipliziert, woraus folgt: $M_{m,n}\cdot {\mathbb{R}}^n=\in n$!

Spezifisch für das $R(x)$ muss dann gelten: $\underset{x\to a}{\lim }\frac{\parallel R(x)\parallel }{\parallel x-a\parallel }=0$

[!Tip] Folgend für $R(x)$ Wenn wir diesen Grenzwert betrachten, sehen wir, dass der Term $R(x)$ relativ irrelevant werden soll, wenn wir uns unserem Punkt $a$ annähern. Denn wir betrachten ja den Limes von $a\to x$ und sofern dieser Term anschließend $=0$ ist, heißt das für uns, dass der obere Term kleiner sein wird, als der untere (Nenner) !

[!Definition] Totale Diffbarkeit Gegeben ist jetzt folgender Term: $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)+R(x)$

Sofern wir unsere Funktion als solche beschreiben können, werden wir die totale Ableitung folgend beschreiben können: Die Jacobi-Matrix $f^{\prime }(a)$ wird als die totale Ableitung von $f$ in $a$ bezeichnet.

Ferner heißt $f$ (total) diffbar, wenn $f$ in jedem Punkt von $D$ diffbar ist! –> also in alle verschiedenen “Richtungen” können wir diese Funktion Differenzieren!

[!Definition] $f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)\cdot (x-a)+R(x)$ als Lineare Approximation Betrachten wir diesen Term ,dann gibt er uns die Information, dass: $f$ in der Nähe von $a$, denn ($R(x)$ wird nahe $a$ relativ klein!), durch folgenden Term $g(x)$ ersetzt werden kann: $g(x):=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

$g(x)$ ist die lineare Approximation / Tangentialebene von $f$ in $a$! Also irgendeine Ebene, die wir an diesem Punkt, under Anwendung der Tangenten der Einzelnen (“kleineren, weniger-dimensionalen” Funktionen ).

(Beispiel 8.5) | Gleichung Tangentialebene

Betrachte wir für die obige Definition eine Funktion: $$\begin{array}{rl}f:& ={\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},\\ f(x,y):& =x^2+y^2\\ a& =\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\end{array}$$ Ferner möchten wir für den Punkt $a=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ jetzt die Ableitung bestimmen ( nach unserer obigen Beobachtung). Heißt also, wir konstruieren $g(x)$: $$\begin{array}{rl}g(x):& =f(a{)}_{\in {\mathbb{R}}^2}+f^{\prime }(a)\cdot (x_{a)}\\ & \mid f^{\prime }(x,y)=(2x,2y)\\ & \\ & \mid f^{\prime }(a)=(2,4)\\ ⟹& \\ & =g(x,y)=1^2+2^2+(2,4)\cdot \left(\begin{array}{c}x-1\\ y-2\end{array}\right)\\ & =5+2(x-1)+4(y-2)\\ & =5+2x-2+4y-8\\ & =2x+4y-5\end{array}$$ Wir haben hier also die Ableitung gehabt, und weil wir den “ zwei-dimensionalen Punkt $(x-a)$“ mit der $M_{1,2}$ Jacobi-Matrix multipliziert haben –> $f^{\prime }(a)\cdot (x-a)$, konnten wir das ganze auf eine Dimension reduzieren!

( Satz 8.6) | Diffbarkeit / Stetigkeit

Wir haben bereits gesehen, dass bei $f$ als partiell diffbare Funktion nicht impliziert werden kann, dass sie auch stetig ist.!

[!Definition] totale Diffbarkeit $⟹$ Stetigkeit Die stärkere Form der Diffbarkeit –> die totale Stetigkeit, impliziert, dass eine Funktion beim Erfüllen dieser Eigenschaft ebenfalls Stetig ist!

Sei $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ jetzt eine diffbare Funktion $a\in D$: So ist $f$ dann folgend auch stetig in $a$! Also $$f\text{ ist total diffbar}⟹f\text{ ist stetig}$$

Beweis: Betrachten wir den Grenzwert von $x\to a$ $$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f(x)= \\ underline\text{f diff}\underset{x\to a}{\lim }f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+R(x) \end{gathered}$$ Wobei hier jetzt:

• $f^{\prime }(a)\cdot (x-a)$, wobei $(x-a)\to 0$ resultieren wird
• weiterhin $R(x){\to }_0$, dann haben wir folgend nur noch: $$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }f(x)= \\ underline\text{f diff}\underset{x\to a}{\lim }f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+R(x)=f(a) \end{gathered}$$ also ist f stetig.

( Bemerkung 8.7 ) | Stetigkeit aller partieller Ableitung $⟹$ f ist diffbar

[!Definition] alle partielle Ableitung stetig $⟹$ f ist diffbar Wenn alle partielle Ableitungen von $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ existieren und weiterhin stetig sind, dann ist $f$ diffbar!

Ferner heißt das also: partielle Ableitung $⟹$ f diffbar $⟹$ f stetig!

( Bemerkung 8.8 ) | Ableitungsregeln

[!Tip] Die Ableitungsregeln aus [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit#Ableitungsregeln|Mathe 1 Ableitungsregeln]] gelten auch für mehrdimensionale Funktionen

![[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit#Ableitungsregeln]]

Beispiel | Kettenregel

Betrachten wir eine Funktion: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=x^2+3y$ und weiterhin $h:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2,h(t)=\left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ t\end{array}\right)$

Betrachten wir jetzt die Verknüpfung, dann entspricht sie: $f\circ h:\mathbb{R}\to \mathbb{R},(f\circ h)(t)=f(h(t))$ –> f nach h, f kommt nach h dran. -> Da h näher am Parameter ist, wird das zuerst berechnet $=f(\left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ t\end{array}\right))=\cos (t{)}^2+3t$

Jetzt möchten wir das noch Ableiten ( nach der vorherigen Ableitung etc). -> Was ist $(f\circ h{)}^{\prime }(t)=$? $$\begin{array}{rl}(f\circ h{)}^{\prime }(t)& =\text{ ohne Kettenregel}\\ & =2\cos (t)\cdot (-\sin (t))+3\end{array}$$ Oder unter Anwendung der Kettenregel: $$\begin{array}{rlr}(f\circ h{)}^{\prime }(t)& =f^{\prime }(h(t))\cdot h^{\prime }(t)& \\ ⟹& & \\ & \mid h^{\prime }(t)=\left(\begin{array}{c}-\sin (t)\\ 1\end{array}\right)& \\ & \mid f^{\prime }(x,y)=(2x3)& \\ ⟹& \text{ Einsetzen !}& \\ & =f^{\prime }(h(t))=(2\cos (t)\cdot 3)\cdot \left(\begin{array}{c}-\sin (t)\\ 1\end{array}\right)& \mid \in M_{1,2}\cdot M_{2,1}⟹M_{1,1}!\\ & =2\cos (t)\cdot \sin (t)+3& \end{array}$$

Wir können noch eine dritte Art der Ableitung definieren:

( Definition 8.10) | Richtungsableitung

Betrachten wir jetzt noch eine spezifischere Art eine Ableitung zu stellen. -> “Wie steil ist die Funktion in diese eine bestimmte Richtung”, weil wir damit eventuell ganz gut evaluieren können, wie die Gegebenheiten im Raum sein könnten ( Gelände etwa ).

[!Definition] Richtungsabildung Sei $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},a\in D,v\in {\mathbb{R}}^n:\parallel v\parallel =1$ Wir haben jetzt also einen Vektor, der genormt ist, welcher die Richtung der Ableitung angibt!

$f$ heißt jetzt: –> in $a$ diffbar in Richtung von $v$, wenn der Grenzwert: $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h\cdot v)-f(a)}{h}$ existiert –> wir ihn bilden können!

Dieser Grenzwert heißt dann folgend: Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ in $a$! Wir beschreiben sie mit $\frac{\delta f}{\delta v}$

( $\frac{\delta f}{\delta x_j}(a)$ ist jetzt die Richtungsableitung von $f$ in Richtung $e_j=\left(\begin{array}{c}{0}_1\\ 0_2\\ ⋮\\ 1_j\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$)

[!Tip] diffbare Funktionen $⟹$ alle Richtungsableitungen existieren Für diffbare Funktionen gilt, dass alle Richtungsableitungen existieren und weiterhin: $\frac{\delta f}{\delta v}(a)=f^{\prime }(a)\cdot v$ –> also das Skalarprodukt $=\parallel f^{\prime }(a)\parallel \cdot \parallel v\parallel \cos (\alpha )$ –> wobei wir mit $\alpha$ den Winkel zwischen den Vektoren $f^{\prime }(a)$ und $v$ meinen!

Wir können hieraus dann noch eine Folgerung ziehen / betrachten:

[!Important] Wann $\frac{\delta f}{\delta v}(a)$ am größten ist Wir können sagen, dass $\frac{\delta f}{\delta v}(a)$ am größten ist, wenn folgend $\cos (\alpha )=1$ und somit also $\alpha =0$ ist. Das heißt dann, wenn $v$ also in die Richtung des gebildeten Gradienten zeigt. Dann beschreiben wir es mit:

[!Definition] Es folgt mit der Betrachtung der Richtung von $v$ und $f^{\prime }(a)$ $(f^{\prime }(a{)}^T=\Delta f(a))$ $⟹$ Der Gradient zeigt also immer in die Rihtung des stelsten Anstiegs der Funktion –> was wir mehr oder weniger [[#8.3]] entspricht.

( Definition 8.11 ) | stetig diffbare Funktionen

Wir möchten jetzt entsprechend von stetig diffbaren Funktionen sprechen: Sei dafür $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ offen und weiterhin eine Funktion $f:D\to \mathbb{R}$

[!Definition] stetig diffbar Wir nennen $f$ stetig diffbar, wenn $f$ auf $D$ [[#partielle Differenzierbarkeit|partiell diffbar]] ist und weiterhin alle partielle Ableitungen $\frac{\delta f}{\delta x_j}(j=1,\dots ,n)$ auf $D$ stetig sind.

[!Definition] 2-mal stetig diffbar Wir nennen jetzt $f$ 2-mal stetig diffbar, wenn $f$ zum einen stetig diffbar, siehe oben, ist und alle partielle Ableitungen stetig diffbar sind.

Die partielle Ableitung von $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ nach $x_k$ wird mit $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_k\partial x_j}$ beschrieben. Was wir hierbei betrachten können: -> Es gibt also neben der einen Ableitung noch eine weitere mit einem “anderen” $x_k$, sodass wir dann zwei davon in der Ableitung haben –> wir können das auch nacheinander aufschreiben, aber wir können es dann zu obiger Darstellung kürzen

Statt $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_j}$ können wir dann auch $\frac{{\partial }^{2}f}{(\partial x_j{)}^2}$ beschreiben.

Wir können diese $n$-Fache stetige diffbarkeit noch erweitern auf $n>2$

[!Definition] $s$-mal stetig diffbar Wir können noch eine Funktion $f$ $s-$mal stetig diffbar nennen, wenn selbiges Paradigma, wie zuvor stimmt und wir daher dann: $\frac{\partial f}{\partial x_{js}\dots \partial x_{jz}\partial x_{j_1}}$ –> also wir haben mehrere von $x_{jX}$, für jede Ableitung die wir tätigen können!

(Beispiel 8.12 ) | $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=3y+x{y}^2$

Wir betrachten folgende Funktion: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=3y+x{y}^2$ Wir möchten sie jetzt entsprechend ableiten: $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2$ –> Ableitung nach x! ( y ist konstante und fällt damit entsprechend weg) und weiterhin: $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3+2xy$ –> Ableitung nach y! ( x ist Konstante und fällt damit weg!)

Wir können jetzt von beiden Ableitungen nochmal die zweite Ableitung betrachten / vornehmen.

Wichtig hierbei: Wir müssen wieder für beide Variablen ableiten. Ferner also:

Für die erste Ableitung nach $x$: $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2$ Wird jetzt nach x abgeleitet: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial x}(x,y)=0$ und nach y abgeleitet: $\frac{\partial f^2}{\partial y\partial x}(x,y)=2y$

und jetzt noch für die zweite Ableitung, welche wir nach $y$ vorgenommen hatten: $\frac{\partial f}{\partial y}=(x,y)=3+2xy$ nach x abgeleitet: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,y)=2y$ und ferner nach y abgeleitet: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial y}(x,y)=2x$

( Bemerkung 8.13 ) | Satz von Schwarz

Sei jetzt $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ offen, und ferner eine Funktion $f:D\to \mathbb{R}$ 2 mal stetig diffbar.

[!Definition] Satz von Schwarz Haben wir eine 2-mal stetig diffbare Funktion $f$: Dann folgt: $$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_k\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_k},\forall j,k\in \{1,\dots ,n\}$$ das heißt also, dass die Reihenfolge beim merhfachen Ableiten gar keine Rolle spielt –> weil wir es “vertauschen können!”

( Definition 8.14) | Hesse matrix ( 2-mal stetige Matrix $H_f(a)$)

Betrachten wir wieder: $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ als offen und weiterhin eine Funktion $f:D\to \mathbb{R}$ welche 2-mal stetig diffbar ist. Weiterhin ist $a\in D$.

Wir nennen jetzt: $H_f(a)$ $H_f(a)=(\frac{{\partial }_{2}f}{\partial x_j\partial x_k}(a))$ $$\begin{array}{rl}& =\left(\begin{array}{cccc}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_1}(a)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_2}(a)& \dots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1\partial x_n}(a)\\ \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_1}(a)& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_2}(a)& \dots & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_2\partial x_n}(a)\\ ⋮& \ddots & ⋮& \end{array}\right)\in M_n(\mathbb{R})\end{array}$$ Also wir erhalten eine Matrix, welche symmetrisch sein muss –> weil wir ja zuvor festgestellt hatten, dass wir die Terme tauschen können, bzw. Ableiten keiner Chronologie folgt.

–> Primär leiten wir also wieder nach jedem Zustand ab und schreiben das Zeilenweise ( mit allen Konstanten / bzw Werten nach denen wir ableiten) auf.

[!Definition] Hessematrix ist symmetrisch Die Hessematrix von $f$ an der Stelle $a$ ist nach dem vorherigen Satz von Schwarz entsprechend symmetrisch. Also wir meinen $H_f(a)$

( Beispiel 8.15 ) | $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$

[!Example] Betrachten wir ein Beispiel mit folgender Menge und Funktion: $f(x,y)=e^x+xy$ und ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ wir betrachten weiter Punkt $a=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ $\frac{\partial f}{\partial x}=e^x+y$ –> nach x abgeleitet

Das können wir weiter ableiten ( 2-te Ableitung) -> erste Ableitung nach x:$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial x}=e^x$ -> zweite Ableitung nach y: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=1$ und noch nach y abgeleitet: $\frac{\partial f}{\partial y}=x$ und weiter:

-> erste Ableitung nach x: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=1$ –> symmetrisch! -> zweite Ableitung nach y: $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial y}=0$

und ferner können wir jetzt die Hessematrix konstruieren: $H_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ und jetzt noch die Matrix an unserem Punkt $a=(0,0{)}^T$ $H_f(a)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

(Definition 8.16) | lokale Extrema (mehrdim)

ähnlich zu Extrema in 1-Dimension [[math1_FunktionAnalyse]]

[!Definition] lokale Maxima/Minima Sei jetzt $D\subseteq {\mathbb{R}}^n,f:D\to \mathbb{R},a\in D$ Wir nennen jetzt $a$ ein lokales Maxima oder ein lokales Minima wenn ein $\exists ϵ>0$ mit: $f(a)\le f(x)$ -> Minima $f(a)\ge f(x)$ –> Maxima $\forall x\in K(a,ϵ)\cap D$

Also wir können in irgendeinem Bereich ( etwa in 3-dim Bereich) eine Stelle finden, die in einem “Radius/ Bereich drumherum” größer / kleiner sein wird, als die Funktionwerte innerhalb dessen.

( Sat 8.17) | Notwendige Bedingungen für lokale Extremstellen

[!Definition] Notwendige Bedingungen für lokale Extremstellen Sei $f$ wie zuvor definiert in [[#(Definition 8.16) lokale Extrema (mehrdim)]] und weiterhin $D$ offen!

Wenn jetzt folgend $a$ Stelle eines lokalen Extremas ist und weiterhin in $a$ die partielle Ableitung existiert.

Dann beschreiben wir mit $\Delta f(a)=\mathcal{O}$ Also wir haben eine Nullstelle für alle Ableitungen in diesem Punkt! ( Ist ähnlich, wie bei 1-dim Betrachtung –> erste Ableitung gibt an, dass ein Extrema auftritt, wenn $f^{\prime }(a)=0$ -> $f(a)=$ extrema!)

Bedinungen zum bestimmen von Extremstellen:

Unter Betrachtung von zuvor betrachteten Lokalen Extremstellen können wir jetzt folgend noch eine Methode zum Bestimmen dieser festlegen:

( Satz 8.18 ) | Hinreichende Bedingungen für lokale Extremstellen

Sei $f$ wie zuvor beschrieben eine Funktion, die $2$-mal diffbar ist. Weiterhin gilt: $a\in D$ und $f:D\subseteq {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ $f^{\prime }(a)=\mathcal{O}$ -> also wir haben in der Ableitung also eine Nullstelle an einem Punkt, den wir (eventuell) finden müssen. Wir benötigen folgend die hessische Matrix $H_f$ ! Wie in [[math1_FunktionenDifferenzierbarkeit]] können wir also mit der ersten Ableitung einer Funktion die Extremstellen der Stammfunktion dieser finden! / bestimmen Es gilt dabei auch wieder:

N E W 
  N E W 

[!Definition] Kritischer Punkt einer Funktion $f$ Wir nennen unter Betrachtung dieser Ableitung und dem enstehenden Nullpunkt jetzt für die Stammfunktion $f$ $a$ als einen kritischen Punkt

Es folgen daraus jetzt drei Aspekte / Eigenschaften:

[!Important] Eigenschaften des kritischen Punktes $a$ Wir benötigen folgend die hessische Matrix $H_f$ ! Wir können jetzt drei Eigenschaften unter Betrachtung dieses Punktes betrachten:

1. $H_f(a)=$ positiv definit, dann folgt: $a$ ist ein lokales Minimum –> also in der Stammfunktion $f$!
2. Es gilt für die hessische Matrix, dass all Eigenwerte $H_{f(}(a)\ge 0$ sind!
3. $H_f(a)$ ist negativ definit, das heißt dann $a$ ist Stelle eines lokalen Maximus
4. Hier sind jetzt alle Eigenwerte $<0$ !
5. $H_f(a)$ ist indefinit, dann heißt ess, dass $a$ einen Sattelpunkt zeigt ( es also keine Extremstelle gibt ( also wir haben so einen typischen Sattelpunkt, vielleicht halt in mehrere Dimensionen))

( Beispiele 8.19 ) | Bestimmen eines kritischen Punktes

Beispiel 1

Betrachten wir folgendend Punkt: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=x^2+y^2$

Wir möchten jetzt also entsprechend ableiten und das machen wir, indem wir wieder nach $x$ und $y$ ableiten und daraus eine Matrix –> die Hesse-Matrix bilden! Wir möchten also folgend lösen: $f^{\prime }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2x& 2y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)$ , das heißt ferner, dass $x=y=0$ sein muss!

Berechnen wir jetzt die Hesse-Matrix unter Anwendung der Ableitungen ( also partielle Ableitungen und daraus besagte Matrix bilden zu können), dann folgt: $H_f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ Betrachten wir diese Matrix, dann ist hier der einzig auftretende Eigenwert $2$ und somit ist es ein lokales Minimum bei $(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right))$ !

Beispiel 2

Betrachten wir noch eine Funktion, welche der vorherigen ähnlich sieht Sei $f(x,y)=x^2-y^2$ Dann ist jetzt ferner die Ableitung gegebn mit: $f^{\prime }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2x& -2y\end{array}\right)$ ( also entsprechend für $x$ und $y$ abgeleitet) Es tritt $f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right)$ ein, wenn hier $x=0,y=0$ ist. Also sehen wir, dass in der Stammfunktion auch hier $f(0,0)$ einem kritischen Punkt entsprechen wird!

Berechnen wir jetzt noch die Hesse-Matrix $H_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$ und wenden anschließend noch den kritischen Punkt an: $H_f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$ Wir berechnen jetzt die Eigenwerte: und erhalten $2,-2$ als mögliche Eigenwerte. Es folgt aus dieser Betrachtung jetzt: $f$ hat an der Stelle $H_f(0,0)$ einen Sattelpunkt –> die Eigenwerte sind nicht nur pos oder negativ!

Beispiel 3

Sei jetzt noch eine weitere Funktion mit $f(x,y)=x^2+y^4+2x$ gegeben: Aus der notwendigen Bedingung ergibt sich ferner wieder ein kritischer Punkt $\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\end{array}\right)$ und unter einsetzen in die Hesse-Matrix folgt: $H_f(-1,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ Da die Eigenwerte 2 und 0 sind, ist daher auch wieder keine Aussage möglich –> Wenn Eigenwerte $=0$ sind, haben wir noch kein behavior definiert!

Beispiel 4

Sei jetzt ferner: $f(x,y)=3xy-x^3-y^3$ Auch hier möchten wir die Bedingung ziehen, dass wir eine Nullstelle finden können: Also gelten muss: $f^{\prime }(x,y)=(0,0)$ diesen erhalten wir under Betrachtung des kritischen Punktes $a=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ Weiter betrachtet wird hier dann ein Sattelpunkt beobachtet! ( Denn die Eigenwerte der Hesse-Matrix $H_f(0,0)$ sind 3 und -3 –> also Gegenpolig wieder!) Wir können ferner noch den kritischen Punkt $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ betrachten. Dieser beschreibt ein lokales Maxima ( denn die Eigenwerte der Hesse-Matrix unter Anwendung dieser Werte sind $-9$ und $-3$ ! Der Wert des Maximums ist dann also: $f(1,1)=1$ )

( Bemerkung 8.20 ) | Kriterium von Sylvester

Es lässt sich zur einfacheren Arbeit / Betrachtung jetzt folgend definieren:

[!Definition] Kriterium von Sylvester Die Definitheit der Hessematrix in einem Punkt $a$ lässt sich auch mit dem Kriterium von Sylvester nachweisen. Dieses verwendet hierbei Hauptminoren ( Unterdeterminanten ) der Hesse-Matrix. Konkret füý $2\times 2$ Matrixen ( also allen Funkionen $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$) lautet es folgend:

Wir berechnen folgend:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{(\partial x{)}^2}(a)\cdot \frac{{\partial }^{2}f}{(\partial y{)}^2}(a)-\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(a),\text{ also wir berechnen folgend }\det (H_f(a))$$ Das heißt also, dass wir prinzipiell folgendes berechnen: $f_{xx}^{\prime \prime }(a)\cdot f_{yy}^{\prime \prime }(a)-f_{xy}^{\prime \prime }(a)\cdot f_{yx}^{\prime \prime }(a)$ Was somit vielleicht etwas besser / einfacher lesbar ist!

Wir können das Ergebnis dieser Berechnung jetzt folgend auswerten:

1. Ist dieser Wert $>0$, handelt es sich um eine lokale Extremstelle
2. ist dieser Wert $<0$ handelt es sich um einen Sattelpunkt
3. Ist dieser Wert $=0$ so können wir dafür erstmal keine Aussage treffen!

Jetzt muss man vielleicht noch über die lokale Extremstelle urteilen können. Wir betrachten dafür

1. Falls $\frac{{\partial }^{2}f}{(\partial x{)}^2}(a)M_0$ dann liegt ein lokales Maximum vor
2. Falls $\frac{{\partial }^{2}f}{(\partial x{)}^2}(a)>0$, liegt dann ein lokales Minimum vor!

Etrema unter Nebenbedingungen | ( lösen von Extremwertaufgaben )

Wir möchten folgend Probleme bestimmen und lösen, die unter Anwendung dieser Extremwertstellen berechnet werden können.

( Motivation 8.21 ) | Extrema unter Nebenbedinungen berechnen/finden

Wir wollen folgend Extremwertaufgaben lößen, wenn es zusätzliche Bedingungen constraints gibt.

[!Definition] mögliche Formulierung eines Extremwert-Problemes Sei $U\in \mathbb{R}$, welches Rechteck ( mit den Seiten $x,y$) hat mit seinem umfang $U$ den maximalen Flächeninhalt!? Diese Frage können wir folgend auflösen bzw allgemeiner Beschreiben, sodass wir sie einfacher berechnen können.

Auflösen : -> wir suchen die Maximale Stelel der Funktion $f(x,y)=x\cdot y$ ( also die FLäche) unter der weiteren Nebenbedingung, dass $2x+2y=U$ –> Diese Aussage bedeutet wiederum: Dass wir die maximale Stelle von $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ auf einer Menge $A=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2\mid g(x,y)=(2x+2y)=U,x,y\ge 0\}$

[!Example] Paket / Post-Problem | Extremwertaufgabe Betrachten wir noch ein weiteres Problem: Wir wollen ein Paket verschicken, wobei die constraints der Größe des Pakets folgend definiert sind: $L+H+B\le 200cm$ Wir möchten das Volumen maximieren

Formaler aufgeschrieben heißt das jetzt:

( Definition 8.22 ) | lokale Extrema bezüglich $A,\subseteq {\mathbb{R}}^n$

[!Definition] lokale Extrema bezüglich A Seien $D,A\subseteq {\mathbb{R}}^n,f:D\to \mathbb{R},a\in D\cap A$ Wir sehen wieder, dass wir hier durch das Finden einer Extremstelle das Problem lösen können ( scheinbar ). -> Wir bezeichnen jetzt folgend: $a$ die Stelle eines lokalen Maximums (Minimum) von $f$ bezüglich $A$ , wenn esi n$ϵ>0$ gibt, sodass dann: $f(a)\ge (\ge )f^{\prime }(x)$ und es muss ferner gelten: $\forall x\in K(a,ϵ)\cap A$ Wir betrachten hier also wieder die offene Kugel $K(a,ϵ)$ –> das heißt, wir betrachten Umkreis einer genommenen Kugel, wo es möglich ist, dass wir entscheiden können, dass in diesem Raum ein Maxima gefunden wurde. Das Maxima muss dabei für die Funktion bezügli $x$ , $y$ und $z$ übereinstimmen!

Wir möchten jetzt ein spezifisches Problem betrachten, um es auch mal getestet/ ausprobiert zu haben:

( Beispiel 8.23 ) | Extremwertaufgabe

Betrachten wir folgendes Problem: Welcher Punkt auf der Hyperbel $xy=3$, $=\frac{3}{x}$ ist dem Nullpunkt $(0,0)$ am nächsten?

Das heißt jetzt, wir wollen die folgende Funktion minimieren: $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ –> was wir mit dem **Abstand zu ** $(0,0)$ beschreibt!

Unter Betrachtung dieser Nebenbedingung müssen wir jetzt bestimmen: $g(x,y)=(xy)=3$

(Visuell spannen wir also einen 3dimensionalen Kegel auf), und “expandieren” unsere 2dimensionale Funktion in den 3d Raum. Dadurch soll dann ermöglicht werden, dass wir einen Schnittpunkt dieses Kegels finden und ausführen können!

Beobachtung: An der minimalen Stelle $a$ ist die Höhenlinie von $f$ tangential zur gegebenen Hyperbel $xy=3$.

Anders gesagt: Die Gradienten von $f,g$ sind parallel, also $▽f(a=\lambda \cdot ▽g(a))$ für ein $\lambda \in \mathbb{R}$

Das führt dann zu einem bestimmten Satz, den wir definieren / ausformulieren möchten:

( Satz 8.24 ) | Langrangesche Multiplikatoren-Regel

[!Definition] Langrangesche Multipllikatoren-Regel Sei jetzt $D\subseteq {\mathbb{R}}^n$ offen, und weiterhin: $f:D\to \mathbb{R}$, $g:D\to {\mathbb{R}}^d$ Hierbei ist $g$ unsere Nebenbedingung und $f$ unsere Hauptbedingung dabei ist $d<n$ und weiterhin $g$ stetig diffbar! Dabei gilt, dass es g viele Nebenbedingungen geben könnte. ( Also man kann beispielsweise den höchsten gemeinsamen Punkt von vielen Wanderwegen auf einem Berg berechnen / betrachten)! Das heißt also, dass wir mit der Funktion $g:D\to {\mathbb{R}}^d$ die Nebenbedingung beschreiben!

Sei jetzt $A:=\{x\in D\mid g(x)=\mathcal{O}\}$ –> beschreibt die Nebenbedinungen Sei weiter $a\in D$ folgen beschrieben: $Rang(g^{\prime }(a))=d$ –> $g^{\prime }(a)$ ist die Jacobi-Matrix an Punkt $a$ Es soll jetzt also der Rang der Jakobi-Matrix $d$ entsprechen. also alle Zeilen sind linear unabhängig–> das gibt an, dass diese Aussagen nicht im Widerspruch zueinander liegen / stehen!

Weiterhin können wir jetzt noch Bezug auf die lokalen Extrema nehmen:

Unsere Motivation: Wir müssen am Ende auch wieder $F$ ableiten und da die Extrema finden. WEnn wir das einfach so machen, finden wir nur von der funktion selbst Maxima, wir suchen aber unter Betrachtung der Nebenbedingungen die Extrema!

Daher konstruieren wir jetzt eine neue Funktion Groß-F $F:D\to \mathbb{R}$ die dann folgend konstruiert werden kann, uns aber die Ergebnisse unter Betrachtung der Nebenbedingungen liefert!

[!Important] Existens von $\lambda$ Ist $a$ jetzt eine solche Stelle eines lokalen Extremums von $f$ unter der Nebenbedingung $A$ ( die wir zuvor definiert haben). Dann existieren ${\lambda }_1,\dots {\lambda }_d,\in \mathbb{R}$ sodass jetzt: $F:D\to \mathbb{R}$ Wir bauen jetzt folgend auf: $F(x)=f(x)+({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d)\cdot g(x)$ Diese Funktion können wir jetzt ableiten! und es gilt: $F^{\prime }(a)={\mathcal{O}}^{T}F$

Dabei heißen jetzt diese berechneten Werte $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d)$ die Lagrange-Multiplikatoren

Wir können den Satz folgend noch anpassen:

[!Definition] Sofern die Nebenbedingung skalar ist: Ist die Nebenbedingung skalar, also folgend $g:D\to \mathbb{R}(d=1)$!, so lautet dann der Satz: Ist $a$ eine lokale Extremstelle von $f$ unter derNebenbedingung $g(x)=0$, dann gilt folgend: $F(x)=f(x)+\lambda g(x),F^{\prime }(a)={\mathcal{O}}^T$ Also wir haben den Gradienten von $f$ und $g$ unter Anwendung der lagrange-Multiplikation! $$▽f(a)+\lambda ▽g(a)=\mathcal{O}$$ Wobei jetzt $\lambda \in \mathbb{R}$ eine Zahl ist. Das heißt also ferner, dass diese beiden Gradienten $▽f,▽g$ parallel sein müssen!

Betrachten wir dafür noch ein Beispiel!

( Beispiel 8.25 ) | $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=3x+2y$

Betrachten wir folgende Funktion: $f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R},f(x,y)=3x+2y$ Weiterhin betrachten wir noch die Menge $A=\{\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2=1\}$ –> als unsere Nebenbedingung! Folgend haben wir also die NB-Funktion $g:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}(d=1)$ und wir können sie beschreiben, indem wir sie zu unserem Wert umstellen: $g(x,y):=1-x^2-y^2$

Wir konstruieren jetzt groß-F $F$: Folgend also $F(x)=f(x)+({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_d)\cdot g(x)$ $F(x,y)=3(x+2y{)}_{f(x)}+\lambda (1-x^2-y^2{)}_{g(x)}$ und ferner wollen wir jetzt Ableiten! und fordern dafür dann $F^{\prime }(x,y){\mathcal{O}}^T$ Wir wollen also die Extrema der Ableitung finden!

Berechne jetzt folgend: $$\begin{array}{rlrl}I:& \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)& =3-\lambda x\ne 0& ⟹x=\frac{3}{2\lambda }\\ II:& \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)& =2-2\lambda y=0& ⟹y=\frac{1}{\lambda }\\ III:& (NB):(g(x,y)=0)& =1-x^2-y^2=0& \end{array}$$ Wir setzen jetzt in $III$ ein: $$\begin{array}{rl}& =1-\frac{3^2}{(2\lambda {)}^2}-\frac{1^2}{{\lambda }^2}=0\\ & ={\lambda }^2=\frac{13}{4},{\lambda }_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{13}}{2}\\ & ⟹y=\frac{1}{\lambda }=\pm \frac{2}{\sqrt{13}}\\ & ⟹x=\frac{3}{2\lambda }=\pm \frac{3}{\sqrt{13}}\end{array}$$ und daraus können wir jetzt mögliche lokale Extremstellen beziehen / finden: