Reihen

Definition von Reihen ::

#def Sei $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge. Summieren wir die ersten n Folgenglieder dieser, so $S_n:=\sum _{k=1}^n{a}_k\forall n\in \mathbb{N}$, dann beschreiben wir sie als ==n-te Partialsumme==

Veranschaulicht : $a_1+a_2+\dots +a_n=S_n$ und an einem Beispiel kann dieser Zustand mit einem Anstieg an Geld pro Tage um einen Faktor $(a_n)$ beschrieben werden. Um die Partialsumme zu erhalten, erfragen wir einfach den Zustand der Geldmenge an Tag n >> die Summe aller erhaltenen Werte bis dahin.

Weiterhin gilt :

Die Folge $(S_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=S_1,S_2,S_3,\dots ,S_n$ heißt ==unendliche Reihe==, und wir schreiben sie als : $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ Falls $(S_n{)}_n$ gegen $s\in \mathbb{R}$ konvergiert heist die Reihe konvergent gegen S und ihr Grenzwert wird dann ebenfalls mit $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k=s$ bezeichnet.

Warum ist der Grenzwert der Reihe interessant? >> Der Pool könnte überlaufen am Stelle X.

Konvergiert unsere Folge $(S_n{)}_n$ nicht, dann heißt die Reihe divergent.

Entsprechend dieser Betrachtung kann man für eine beliebige Folge $(a_n{)}_{n\ge n_0}$ die Reihe $\sum _{k=n_0}^{\infty }{a}_k$ definieren.

Beispiele für Reihen ::

$\sum _{k=1}^{\infty }k=1+2+3+4+\dots ⟹$ divergent, da die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}=k$ ebenfalls nicht konvergiert!

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k=$ divergent, da :: $S_n=\sum _{k=1}^n(-1{)}^k=$ -1, wenn n ungerade ist;

harmonische Reihe: $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\dots$ Als Folge beschrieben mit :: $S_n=1+\frac{1}{2}+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}{)}_{>2\ast \frac{1}{4}=\frac{1}{2}}+\frac{1}{5}+\dots +{\frac{1}{8}}_{>>4\ast \frac{1}{8}=\frac{1}{2}}+\dots$ $>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\dots ⟹$ divergent, da sie immer weiter wachsen wird. Weiterhin ist hier zu betrachten, dass einfach immer “zu viele Werte pro Schritt hinzukommen” wodurch die Reihe nicht konvergieren kann.

Allgemeiner betrachtet : die allgemeine harmonische Reihe :: $\sum _{k=1}^{\infty }=\frac{1}{k^{\alpha }}=$ divergiert immer dann, wenn $0\le \alpha \le 1$ –> die Terme werden noch größer als im obigen Beispiel mit $+\frac{1}{2}$ und konvergiert, imemr dann wenn $\alpha >1$

Ein Beispiel dafür :: $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\dots$ Diese Reihe ist konvergent, da jedes Folgenglieder immer halb so groß sein wird, wie das vorherige. Das heißt, dass zu Beginn einige große Werte $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$ auftauchen und zur Summe beitragen, jedoch immer kleiner werden. ![[Pasted image 20230120152932.png]] Grafische Darstellung der Folge ::

Ihr Grenzwert wird dann mit : $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}=2$ definiert.

die Geometrische Reihe:: Für ein beliebiges $q\in \mathbb{R}:|q|<1$ gilt : konvergiert $\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1}{1-q}$, denn die Entwicklung der Folge beschreibt sich mit : $S_n=\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Weiterhin können wir den Grenzwert der Folge betrachten : $\underset{n⟶\infty }{\lim }{q}^n=0$ falls $|q|<1$ also gilt dann $S_n⟶\frac{1-0}{1-q}=\frac{1}{1-q}$ für n$⟶\infty$

Analog können wir folgern, dass die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k$ immer dann divergiert, wenn $|q|\ge 1$ ::

$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{2^k}=\sum _{k=0}^{\infty }(\frac{1}{2}{)}^k$ also geometrische Reihe mit q=$\frac{1}{2},|q|<1$ konvergiert gegen $\frac{1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

$\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{2^k}=\frac{2}{3}(q=-\frac{1}{2})$ $\sum _{k=3}^{\infty }{q}^k=\sum _{k=0}^{\infty }{q}^{k+3}=q^3\ast \sum _{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{q^3}{1-q}$ für $|q|<1$

Rechenregeln für Reihen ::

Jegliche Rechenregeln folgen aus den Regeln für Folgen: $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ konvergiert gegen a, $\sum _{k=1}^{\infty }{b}_k$ konvergiert gegen b, ,$c\in \mathbb{R}$

dann gilt ::

1. $\sum _{k=1}^{\infty }(a_k+b_k)$ konvergiert gegen a+b
2. $\sum _{k=1}^{\infty }c\ast a_k$ konvergiert gegen $c\ast a$
3. $\sum _{k=1}^{\infty }(a_n\ast b_n)$ konvergiert ebenfalls

Konvergenz-/Divergenzkriterien für Reihen ::

Ist $(S_n{)}_n$ eine Reihe mit $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ beschränkt und $a_k\ge 0\forall k\in \mathbb{N}$, so ist die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ konvergent. Dies folgt aus den Begründungen zur Monotonen Konvergenz.

Cauchy-Kriterium ::

Wenn $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ konvergiert $⟺\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{N}\text{sodass}\forall m>n\ge N$ gilt: $|a_{n+1}+\dots +a_m|=|\sum _{k=n+1}^m{a}_k|<ϵ$ Diese Aussage folgt aus dem [[math1_CauchyKriterium|Cauchy-Kriterium]] für Folgen.

Daraus ergibt sich weiterhin:: Ist $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ konvergierend, so ist $(a_n{)}_n$ eine Nullfolge - wähle m=n+1, dann $|a_n+1|<ϵ$, das heißt $a_n⟶0$

Diese Konstrukt lässt sich mit folgendem Kriterium zeigen :

Divergenzkriterium ::

Ist $(a_n)$ keine Nullfolge, so ist $\sum _{k=1}^{\infty }(a_k)$ divergent. Als Beispiel gilt : $\sum _{k=1}^{\infty }(1+\frac{1}{k})⟹$ divergent >> da immer ein konstanter Faktor 1 angefügt wird und somit die Reihe nicht beschränkt.

Majorantenkriterium ::

Sei $(a_n{)}_n,(b_n{)}_n$ Folgen, wobei $|a_n|\le b_n\forall n$ > der Betrag von an ist immer kleiner als das Element von $b_n$ Dann gilt :: Ist $\sum _{k=1}^{\infty }(b_k)$ konvergent, dann konvergiert auch $\sum _{k=1}^{\infty }(a_k)$ und $\sum _{k=1}^{\infty }|(a_k)|$ Dabei gilt die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }(b_k)$ als ==Majorante==

Wir können also eine Folge nehmen, welche stets größer sein wird, als alle Elemente der anderen Folge und dann zeigen, dass die erste Folge a_n konvergiert, wenn auch die stets größere Folge - “Majorante” - konvergiert >> denn sie ist ja immer größer als alle elemente von a_n und wenn sie konergiert, dann deckelt sie ab einem bestimmten Wert und die Folge a_n kann ebenfalls nie größer werden, als dieser gedeckelte Bereich!

Beweis dafür ::

$|\sum _{k=n+1}^m(a_k)|\le \sum _{k=n+1}^m|a_k|\le \sum _{k=n+1}^m{b}_k\le |\sum _{k=n+1}^m{b}_k|<ϵ$, da $\sum b_k$ konvergiert und somit das Cauchy-Kriterium für die Reihe $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ erfüllt wird ==> sie somit auch konvergent ist.

Minorantenkriterium ::

Sei $(a_n{)}_n,(b_n{)}_n$ Folgen mit $a_n,b_n\ge 0\wedge a_n\le b_n\forall n$
Dann gilt :: Ist $\sum _{k=1}^{\infty }(a_k)$ divergent, dann ist auch $\sum _{k=1}^{\infty }(b_k)$ divergent.

Wir betrachten hier zwei Folgen, wobei die eine immer kleiner sein wird, als die andere. Wenn wir jetzt sagen können, dass die immer kleinere Folge divergent ist, dann muss die immer größere Folge ebenfalls divergent sein, da sie schließlich mit jedem Element größer ist, aber die kleinere Folge geht gegen $\infty$ und somit muss dann auch die andere Folge gegen $\infty$ tendieren/divergieren.

Mit dieser Erkenntnis lässt sich zeigen, dass die allgemeine harmonische Reihe : $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^{\alpha }}$ immer dann ==divergiert==, wenn $0<\alpha <1$. Dabei haben wir zuvor bereits gezeigt, dass die Aussage für $\alpha =1$ gilt. Weiterhin können wir nun aber auch zeigen, dass die Divergenz für alle anderen Werte zwischen 0 und 1 stimmen::

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}⟹$ divergiert, und ist gleichzeitig die Minorante der Folge $\frac{1}{k^{\alpha }}\ge \frac{1}{k}\forall \alpha :0<\alpha <1$

Leibnitzkriterium für alternierende Reihen ::

Sei $(a_n{)}_n$ eine reelle, monoton fallende Nullfolge mit $a_n\ge 0\forall n$

Konstruieren wir nun eine Reihe :: $\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\ast a_k$ Dann konvergiert diese Reihe.

Wir wissen, dass die alternierende Folge $(-1{)}^k$ beschränkt ist und zwischen -1 und 1 oszilliert. Weiterhin wissen wir, dass $a_k$ mit steigendem n immer weiter gegen 0 fällt, diesen Wert aber nie erreichen wird. Da die Multiplikation zwischen beiden Folgen als ein alternierendes Vorzeichen gesehen werden kann, verringert sich die Summe der Reihe konstant, wobei sie immer weniger wächst und immer weniger steigt.

Beweis dafür ::

Wir können uns des Intervallschachtelungsprinzipes bedienen : Setze $A_n=\sum _{k=0}^{2n-1}(-1{)}^k(a_k)$ und $B_k:=\sum _{k=0}^{2n}(-1{)}^k{a}_k$

Dann ist $A_n$ monoton steigend, denn :: $A_{n+1}-A_n=\sum _{k=0}^{2(n+1)-1}(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^{2n-1}(-1{)}^k{a}_k$ $=(-1{)}^{2n+1}(-1{)}^{2n+1}+(-1{)}^{2n}{a}_{2n}$ $=-a_{2n+1}+a_{2n}\ge 0$ da $a_n$ monoton fallend ist.

für $B_n$ können wir ähnlich agieren und resultieren damit, dass die Folge monoton fallend ist.

Wir können nun daraus folgen : $B_n-A_n=a_{2n}\le 0,⟶0$ für $n⟶\infty$ denn gemäß unserer Forderung ist $a_n$ eine Nullfolge. $⟹\exists \underset{n⟶\infty }{\lim }{A}_n=\underset{n⟶\infty }{\lim }$ also ist die Folge konvergent!

bekannte Beispiele :

==Die Leibnitz-Reihe==: $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\dots =\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{2k+1}$ Sie konvergiert gegen $\frac{\pi }{4}$ ==alternierende harmonische Reihe== : $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots =\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{k+1}$ Sie konvergiert gegen ln 2.

Absolute Konvergenz ::

#def Eine Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(a_k\in \mathbb{R})$ heißt absolut konvergent, falls die dazugehörige Betragsreihe $\sum _{k=0}^{\infty }|a_k|$ ebenfalls konvergiert.

Beispiele ::

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{k^2}$ konvergiert absolut, denn $\sum _{k=0}^{\infty }\frac{1}{k^2}$ konvergiert ebenfalls >> Betragsreihe!

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1{)}^k\frac{1}{k}$ konvergiert nicht absolut –> Denn $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k}$ konvergiert nicht und ist die ==harmonische Reihe== dennoch konvergiert sie, gemäß des Leibnitzkriterum!

Wir erhalten somit ein Schemata :: Eine Reihe konvergiert absolut ==> die Reihe konvergiert – dies können wir mit dem ==Majorantenkriterium== zeigen, da jedes Element der Betragsreihe $\le$ der originalen Reihe ist.

Wurzelkriterium ::

$\forall a_k\in \mathbb{R}$ gilt ::

Falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}<1⟹\sum _{k=0}^{\infty }|a_k|$ konvergiert und ( $\sum a_k$ konvergiert absolut!)

Falls $\underset{n}{\lim }⟹\infty \sqrt[n]{|a_n|}>1⟹\sum a_k$ divergiert!

und Falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}=1$ können wir leider keine Aussage über die Reihe machen.

Beweis ::

Sei $s:=\underset{n⟶\infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}$

• falls s<1 gewählt wird ::

$⟹\sqrt[n]{|a_n|}\le s<1$ für fast alle ne – man kann es quasi bei fast allen, außer endlich vielen Elementen betrachten!. $⟹|a_n|\le s^n<1$ Wenn wir diese Reihe betrachten : $\sum _{k=0}^{\infty }(s{)}_{<1}^n$ können wir feststellen, dass sie der ==geometrischen Reihe== entspricht, welche bei einem Grundwert $<1$ konvergiert. Da wir diese Reihe approximiert gewählt haben, folgt weiterhin :: die Reihe $\sum _{k=0}^{\infty }(s{)}^n$ ist die Majorante für $\sum _{k=0}^{\infty }|a_k|$

• falls s > 1 gewählt wurde :: dann ist $\sqrt[n]{a_n}>1$ unendlich oft. es folgt: $a_n/⟶0$ Sie divergiert demnach.

Quotientenkriterium ::

oft leicht zum prüfen, jedoch greift es nicht bei allen Fällen.

Sei $a_k\ne 0$ für fast alle K

1. Falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|<1⟹\sum |a_k|$ ist konvergent.
2. Falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|>1⟹\sum a_k$ divergiert.
3. Falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\ge 1$ und $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|\le 1$ dann können wir keine Aussage über die Konvergenz treffen.

Beweise ::

$\sum _{k=1}^{\infty }(\frac{1}{k})$ divergiert. Weswegen ? $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}=\frac{n}{n+1}=\underset{n⟶\infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=1$

$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}$ konvergiert ebenfalls. $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\frac{{\frac{1}{n+1}}^2}{(\frac{1}{n}{)}^2}=\frac{n^2}{n^{2+2n+1}}$

Umstellen von Elementen in einer Reihe ::

Können wir die Elemente einer Reihe beliebig umordnen, ohne dass sich das Konvergenzverhalten ändert. Anders bezeichnet wird es mit : Falls $\Theta :\mathbb{N}⟹\mathbb{N}$ eine bijektive Abbildung ist, und $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_k$ -> ist dann auch $\sum _{k=1}^{\infty }{a}_{\Theta (k)}$ “Wir beschreiben es als Umordnung der Reihe,” konvergent ? Und wenn, ist dann der Grenzwert der selbige ?

Es gilt hierbei ::

1. Jede absolut konvergente Reihe ist unbedingt konvergent ==> also jede Umordnung wird zum selben Wert führen
2. Für konvergente aber nicht absolut konvergente reelle Reihen gilt hier ::
   1. Zu jeder Zahl $c\in \mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$ gibts eine Umordnung der Reihe, die dann gegn c konvergiert. Kann mit dem Riemannschen Umordnungssatz beweisen!

[[math1_Potenzreihen|Potenzreihen]] bilden ein weiteres Thema für Reihen.

Cauchy-Hadamard ::

Sei $P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ eine Potenzreihe. Wir definieren den Konvergenzradius : $\mathcal{P}:=\frac{1}{\underset{n⟶\infty }{\lim }sup\sqrt[n]{|a_n|}}$ und setzen dabei $\frac{1}{0}:=+\infty \wedge \frac{1}{+\infty }:=0$ Demnach wird :$\mathcal{P}\in \mathbb{R}\cup \{\infty \}$ sein.