Potenzreihen ::

Eine spezifischere Form von [[math1_Reihen|Reihen]]

Definition ::

#def

Sei $(a_n{)}_k$ eine reelle Folge, $x\in \mathbb{R}$. Dann heißt die Reihe $P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ Potenzreihe, wobei $(a_k)$ den Koeffizienten bildet. Koeffizientenfolge

Falls $a_k\ne 0$ für nur endlich viele k

das heißt $a_k=0$ für fast alle k

Dann heißt es ein Polynom

Was ist dann der Unterschied zu den vorher betrachteten Reihen ?

Die Reihen und ihre Eigenschaften sind von $x$ abhängig.

Es stellt sich die Frage :

==Für welche Werte von x konvergiert $P(x)$ ?==

Hängt von der Folge $(a_n)$ ab

Beispiele ::

$\sum _{k=0}^{\infty }{x}^k=\sum _{k=0}^{\infty }1\ast x^k$ das heißt $a_k=1\forall k$ Konvergiert für alle x mit $|x|<1$ - beachte die geometrische Reihe! als für den Interval $x\in (-1,1)$ Konvergenzintervall. Ist x außerhalb des Konvergenzintervalls (-1,1), dann divergiert sie.

$\sum _{k=0}^{\infty }{2}^k\ast x^k$ das heißt $a_k=2^k\forall k$ $=\sum _{k=0}^{\infty }(2x{)}^k$ Wie zuvor betrachtet konvergiert diese Reihe immer dann, wenn x : $|2x|<1$ also $|x|<\frac{1}{2}$. Der Intervall wird demnach mit :$x\in (\frac{-1}{2},\frac{1}{2})$ gesetzt.

Cauchy-Hadamard ::

Anwendung für Analyse von [[math1_Reihen#Absolute Konvergenz ::]] für Potenzreihen!

Sei $P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$ eine Potenzreihe. Wir definieren den Konvergenzradius : $\mathcal{P}:=\frac{1}{\underset{n⟶\infty }{\lim }sup\sqrt[n]{|a_n|}}$ und setzen dabei $\frac{1}{0}:=+\infty \wedge \frac{1}{+\infty }:=0$ Demnach wird :$\mathcal{P}\in \mathbb{R}\cup \{\infty \}$ sein.

Meist kann man mit der Formel von Euler den Konvergenzradius einfacher berechnen, indem man ::

$\mathcal{P}=\underset{n⟶\infty }{\lim }|{\frac{a_n}{a}}_{n+1}|$ Dabei ist zu beachtne, dass die dabei entstehende Folge $|{\frac{a_n}{a}}_{n+1}|$ konvergieren muss.

Wichtig zu beachten, die ANwendung ist genau andersherum zu der ANwendung des Quotientenkriterium zum Beweisen von Konvergenz für Reihen [[math1_Reihen#Quotientenkriterium ::]]

Die Anwendung der Formel von Euler ist nur dann möglich, wenn wir eine Folge habe, welche nicht mit mehreren Verläufen definiert ist. Also wäre es für $a_n=a_n=1,\text{n gerade}\frac{1}{n},\text{n ungerade}$ >> hier ist die Formel nicht anwendbar, da :: $\lim sup|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\infty ,\lim |\dots |=0$ für die jeweiligen Fälle! - Keine Wir führen auch hier ein : Falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\underset{n⟶\infty }{\lim }\frac{|a_n}{a_{n+1}}|=\infty$ –> die Folge divergiert bestimmt gegen $\infty$, dann setzen wir den Konvergenzradius $\mathcal{P}=+\infty$ !

Konvergenz von Potenzreihen ::

Sei $P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k\ast x^k$ eine Potenreihe mit einem Konvergenzradius $\mathcal{P}$.

Dann gilt für uns ::

1. Für alle $x\in \mathbb{R}$ mit $|x|<\mathcal{P}$ konvergiert die Potenzreihe $P(x)$ absolut! das heißt, die Reihe konvergiert $\forall x\in \mathbb{R}$ die im Konvergenzintervall $(-\mathcal{P},\mathcal{P})$ liegen. Ist $\mathcal{P}=\infty$ dabei unendlich, dann gilt die Konvergenz für $\forall x\in \mathbb{R}$ !
2. Für alle $x:|X|>\mathcal{P}$ divergiert die Reihe $P(x)$ -< da dise außerhalb des Konvergenzradius liegt und somit eine Reihe bildet, die divergieren muss –> keine Nullfolge, konstanter Anstieg etc.
3. Für $|x|=\mathcal{P}$ ist keine allgemeine Ausage möglich. Daraus folgt, dass der Konvergenzintervall verschieden gesetzt werden kann. Sei es, dass wir separat geprüèt haben, dass für den $\mathcal{P}=1$ Konvergenzradius die Reihe $a_n$ konvergiert, dann können wir sie im Intervall miteinbringen. Demnach unterscheiden ir in der Schreibweise :: $(-\mathcal{P}m\mathcal{P})$ sofern der Konvergenzradius an der Stelle $\mathcal{P}$ nicht geprüft oder konvergierend ist. $[-\mathcal{P},\mathcal{P}]$ sofern auch die Grenzwerte des Konvergenzradius die Reihe konvergieren lassen. Variationen zwischen der beiden Intervallsformen sind auch möglich –> schließlich betrachten wir einmal im positiven Raum und negativen Raum!

Beweis der Aussagen ::

Unter Anwendung des Wurzelkriteriums können wir 1. beweisen ::

$\sum _{k=0}^{\infty }|a_k\ast x^k|$ konvergiert, falls $\underset{n⟶\infty }{\lim }sup\sqrt[n]{|a_n\ast x^n}|<1$ gilt Das heißt dann, dass : $|x|\ast \underset{n⟶\infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n}|<1⟺|x|<\frac{1}{\underset{n⟶\infty }{\lim }\sqrt[n]{|a_n|}}=\mathcal{P}$ –> weiterhin ist das der Ausdruck für [[#Cauchy-Hadamard ::]]
2. kann analog bewiesen werden.

Allgemeine Form einer Potenzreihe ::

$P(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a)k\ast (x-b{)}^k$ wobei $b\in \mathbb{R}$ der Entwicklungspunkt ist –> das heißt b ist der Punkt, um welchen wir die Reihe verschieben müssen, um die Reihe zu betrachten

Es gilt hierbei ::

![[Pasted image 20230126162112.png]] $\mathcal{P}$ ist der Konvergenzradius von $\sum a_k{x}^k$ $⟹$ die Reihe konvergiert absolut für alle $|x|<\mathcal{P}$ – als0 $x\in (-\mathcal{P},\mathcal{P})$
$⟹$ die Reihe divergiert, für alle $|x|>\mathcal{P}$

![[Pasted image 20230126162254.png]] Die Reihe $\sum a_k(x-b{)}^k$ $⟹$ konvergiert absolut für $|x-b|<\mathcal{P}$ –> also $x\in (b-\mathcal{P},b+\mathcal{P})$ $⟹$ divergiert für $|x-b|>\mathcal{P}$ Auch hier muss man den Randfall $x=b-\mathcal{P}$ und $x=b+\mathcal{P}$ separat nachprüfen!

Demnach ist das Vorgehen dann :: $sofernwireinb-Konstante-haben,dann:1.erst$\mathcal{P}$ ohne b ausrechnen 2. und dann mittels der Bemerkung des [[#Allgemeine Form einer Potenzreihe ::|Entwicklungspunkt]] verwenden und nochmals erörtern

Beispiel dafür ::

Wir können die harmonische Reihe betrachten! :: $\sum\limits_{k=0}^{\infty}x^{k}$undbestimmenihrenKonvergenzradiusunterAnwendungderDefinitiondesKonvergenzradius::$\mathcal{P} =1$dennf\ddot{u}ralle$x\in (-1,1)$istdieReihekonvergent,sonstdivergent.Weiterhinm\ddot{u}sstenwirnochdieRandf\ddot{a}lle-1und1betrachten::f\ddot{u}rx=1$\sum\limits_{k=0}^{\infty} 1^{k} = 1$undsomitgem\ddot{a}ßdesDivergenzkriteriumsdivergent!f\ddot{u}rx=-1$\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}$istdieReiheebenfallsdivergent>>dasiealternierendbeschr\ddot{a}nkt,abernichtkonvergentist.somitistderentg\ddot{u}ltige\ast \ast Konvergenzradius\ast \ast$(-1,1)$ !

Die Exponentialreihe ::

$\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}} {k!}$betrachtemandieReiheandersaufgeteilt::$a_{k}= \frac{1}{k!},b=0$dawirnichtumeineKonstanteverschieben!$= 1 + \frac{x}{1}, \frac{x^{2}}{2!}, \frac{x^{3}}{3!} \ldots$siehatdenKonvergenzradius$\infty$.da::UnterAnwendungdereulerschenFormelzumBerechnendes\ast \ast Konvergenzradius\ast \ast ::$\frac{|a_{n}}{a_{n+1}}| = \frac{\frac{1}{k!}}{\frac{1}{(n+1)!}} = \frac{(n+1)!}{n!} = \frac{n! * n+1}{n!} = n+1 \longrightarrow \infty$f\ddot{u}r$n\longrightarrow \infty$alsoistdann\ast \ast derKonvergenzradius\ast \ast$\mathcal{P}=\infty$dieseReihekonvergiertalsof\ddot{u}rall$x\in\mathbb{R}$!Wirk\ddot{o}nnendieFunktionauchandersdefinieren:exp:$\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$-siefunktionierteigentlichauchf\ddot{u}r$\mathbb{R}+$:=$x \longmapsto exp(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$-->DieserAusdruckistf\ddot{u}rjedes$x\in\mathbb{R}$ eine endliche Zahl >> also sie konvergiert für jede Zahl zu einer bestimmten!