Eigenwerte und Eigenvektoren :

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Wir möchten nun bestimmte Vektoren und Werte betrachten, die unter Umständen eine Matrix sehr spezifisch bestimmen oder darstellen können. Eigenvektoren sind dabei spezifische Vektoren, welche wir zu einer Matrix $A\cdot v_1$ multiplizieren können und dabei beispielsweise den Vektor selber nicht stark verändern.

Weiterführende Links:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors

Definition Eigenwert / Eigenvektor :

Sei $A\in M_n(K)$ eine Matrix. Wir nennen jetzt einen Skalar $\lambda \in K$ einen Eigenwert von $A$, wenn es einen Vektor $\mathcal{O}\ne x\in K^n$ gibt, (welcher nicht trivial, also $\ne \mathcal{O}$ ist), sodass dan ngilt: $A\cdot x=\lambda \cdot x$.

[!Bemerkung] Wir haben also eine Multiplikation eines Vektors mit einer gegebenen Matrix und wir können dann ferner betrachten, dass nach der Multiplikation der Vektor gleich, aber mit einem Skalar $\lambda$ multipliziert resultiert. Also weiter betrachtet heißt das, dass wir den Vektor durch die Matrix gestreckt,verkürzt, verschoben haben um diesen Eigenwert, diesen Skalar.

Ferner nennen wir dann jeden Vektor $x$ welcher diese Eigenschaft erfüllt, einen Eigenvektor von $A$. Es folgt die Eigenschaft:

$Eig(\lambda )=Ei{g}_A(\lambda )=\{x\in K^n|A\cdot x=\lambda \cdot x\}$ -> Also wir können damit die Menge aller Eigenvektoren bestimmen, die die Eigenschaft aufweisen (dass sie nicht grundlegend verändert, aber nur gestreckt/kürzt werden) und dabei Abhängig von dem gegebenen Eigenwert $\lambda$ sind Wir wissen nun auch, dass der Nullvektor immer enthalten ist, er ist dabei auch trivial $\mathcal{O}\in Ei{g}_A(\lambda )$

Begriffsklärungen :

In Abhängigkeit mit der Determinante [[math2_Determinanten]] lässt sich folgend ein Eigenwert berechnen: $$\lambda \in K\text{ Eigenwert}⟺\det (A-\lambda \cdot E_n)=0$$ Möchten wir jetzt dieses Problem lösen, können wir es als LGS betrachten und dann auflösen: Berechnen des LGS: $$[A-\lambda \cdot E_n]\cdot x=0$$

[!Anmerkung] Wir können dies folgend vereinfachen, bzw wissen wir schon, dass die Subtraktion von Matrizen einfach jeden Eintrag miteinander subtrahiert. Wir können also folgend vereinfachen: $A-\lambda \cdot E_n=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \dots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right)\cdot x=0$

#nachtragen #TODO BEISPIEL FÜR BERECHNUNG AUS PUE11 ->

Eigenvektor abhängig Determinante:

[!Satz] Sei $A\in M_n(K)$ eine Matrix. Dann gilt: $\lambda \in K$ ist Eigenvektor von $A⟺\det (A-\lambda \cdot E_n)=0$ Also sofern wir einen Eigenvektor von einer Matrix gefunden haben, ist dann folgend die Determinante der Matrix subtrahiert mit den Eigenwerten Null. Wir nennen weiter die zu $\lambda$ gehörenden Eigenvektoren, welche die nicht triviale Lösung des folgenden LGS bilden $[A-\lambda \cdot E_n]\cdot x=0$ also weiter auch: $Ei{g}_A(\lambda )=K(A-\lambda \cdot E_n)$

Beweis dafür:

Für einen Eigenwert $\lambda$ und ein Eigenvektor $x$ von $A$ gilt dann: $$Ax=\lambda x⟺A\cdot x=\lambda E_n\cdot x$$ $$(A-\lambda \cdot E_n)\cdot x=\mathcal{O}$$ Wir können da also draus folgern, dass gilt: $\lambda$ ist ein Eigenwert von $A$ $⟺$ $(A-\lambda \cdot E_n)\cdot x=\mathcal{O}$ und hat noch weitere Lösungen als $x=\mathcal{O}$ (der trivialen-Lösung). Das ist dann äquivalent : $⟺rg(A-\lambda E_n)<n$ und auch Der Rang muss also definitiv kleiner werden, als die Menge von Variablen, die wir in unserem LGS haben $⟺(A-\lambda E_n)$ ist nicht invertierbar $⟺\det (A-\lambda E_n)=0$ Ein Vektor $x$ ist also genau dann ein Eigenvektor von $A$, wenn $x\ne 0$ und $(A-\lambda \cdot E_n)\cdot x=\mathcal{O}$

Wir können sehen, dass wir dieses Problem auch mit einem Polynom betrachten können, wo dann die Nullstellen dessen die Eigenwerte der Matrize sein werden!

Charakteristisches Polynom :

Für eine Matrix $A\in M_n(K)$ nennen wir $$P_A(\lambda )=\det (A-\lambda \cdot E_n)$$ das Charakteristische Polynom in Abhängigkeit der Matrix $A$. Also einfach der Lösungsraum für die Matrix:

Beispiel:

Sei $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 4\end{array}\right)\in M_2(\mathbb{R})$ Folgend ist das charakteristische Polynom dann: $$P_A(\lambda )=\det (\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ -2& 4-\lambda \end{array}\right))=(1-\lambda )\cdot (4-\lambda )+2⟶4+{\lambda }^2-5\lambda +2$$ $${\lambda }^2-5\lambda +6=0⟺(\lambda -3)\cdot (\lambda -2)=0$$ Also ${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=2$ -> wir wissen, dass es zwei Lösungen gibt, denn wir haben ein quadratisches Polynom gegeben.

Wir wollen jetzt die Eigenvektoren berechnen : Indem wir zuerst $\lambda =3$ setzen: $$\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ -2& 4-\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ Eine mögliche Lösung für besagte Gleichung wäre $x=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$. Wir haben hier jetzt die Lösung bzw. einen Eigenvektor unter Betrachtung der Eigenwerte berechnet.

Sofern wir jetzt noch den Eigenraum bestimmen möchten, müssen wir anschließend noch einen passenden Raum aufstellen: Dafür: berechnen wir den Eigenraum zu ${\lambda }_1$. Also $Ei{g}_A({\lambda }_1=3)=\ker (\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ -2& 1\end{array}\right))=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)⟩$ oder auch $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\cdot x|x\in \mathbb{R}\}$

Wir möchten jetzt noch für ${\lambda }_2$ berechnen: $$\left(\begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ -2& 4-\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ Wir können sehen, dass beide Spalten linear abhängig sind und somit nur noch eine Gleichung lösen: $-x+y=0⟹y=x$ Wir möçhten aber eine spezifische Lösung betrachten: etwa $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ es gilt dann $Eig+A({\lambda }_2=2)=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)⟩$

Anwendungsgebiete:

Berechnen von Matrixpotenzen:

Wir können mittels der Berechnung von charakteristischen Polynomen bzw. durch die Berechnung von Eigenvektoren und Eigenwerten einfacher berechnen. Wenn wir also $A^{2023}=A\cdot A\cdot A\dots ,\cdot A$ berechnen wollen, können wir dies auch vereinfacht berechnen. Betrachten wir dabei die vorherige Matrize aus dem [[#Beispiel]]:

1. Dafür bilden wir Matrix $S_1$ die zu jedem Eigenwert von $A$ jeden Eigenvektor also Spalte enthält. Also für unser Beispiel: $S=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E{v}_1& E{v}_2\end{array}\right)$ Wir brauchen ferner die Inverse dieser : $S^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$

   [!Folgerung] Und damit dann: $A=S\cdot D\cdot S^{-1}$ also am Beispiel: $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}{\lambda }_1=3& 0\\ 0& {\lambda }_2=2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$

Also in unserem Beispiel wäre das dann am Ende: $$ S$\cdot D^{2023}\cdot S^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3^{2023} & 0 \ 0 & 2^{2023} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Unter Abhängigkeit von $n$ müssten wir jetzt noch weiter umformen / ausrechnen, jedoch bei solchen finiten Ausdrücken nicht zwingend.

Weitere Anwendungsgebiete:

1. Eigenschwindungen von Brücken etc
2. Google Page-Rang algorithmus [[111.99_algo_googlePageRank]]
3. Eigenfaces -> procedural generation of unique faces with the use of Eigenvectors

Berechnen der Eigenwerte einer Matrix

Für eine Matrix $A\in M_n(K)$ ist folgend das charakteristische Polynom: $P_A(\lambda )=\det (A-\lambda \cdot E_n)=\det (\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \dots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ a_{n1}& \dots & \dots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right))$ ein Polynom vom Grad $n$ -> welches aus der Definition der Determinante folgt. Wir können für das Polynom $P_A(\lambda )$ eine Nullstelle finden. Diese Nullstellen des Polynoms sind dann genau die Eigenwerte von $A$.

[!Hinweis] Menge von Eigenwerten je nach Körper Ist $K=\mathbb{R}$, so besitzt $A$ also höchstens $n$ Eigenwerte, für $K=\mathbb{C}$ besitzt $A$ genau $n$. Weiterhin müssen diese n verschiedenen Eigenwerte nicht notwendig verschieden sein.

Bemerkung - algebraische Vielfachheit:

Die Anzahl des Auftretens eines Eigenwertes $\lambda$ als eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms in $P_A(\lambda )$ nennt man die algebraische Vielfachheit von $\lambda$.

Beispiel:

Betrachten wir folgende Matrix: $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 0\\ 0& 2& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\in M_3(\mathbb{R})$ Wir möchten davon jetzt das charakteristische Polynom betrachten und so die Eigenwerte bestimmen: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 \ 0 & 2 & -1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \Longrightarrow \det(\begin{pmatrix} 2-\lambda & 3 & 0 \ 0 & 2-\lambda & -1 \ 0 & 0 & 1-\lambda \end{pmatrix}) = (2-\lambda)\cdot$(2-\lambda) \cdot (1-\lambda)$$ wir sehen dabei direkt die Nulstellen und somit Eigenwerte: ${\lambda }_1=2$, ${\lambda }_2=1$

[!Hinweis] Evaluieren dabei tritt ${\lambda }_1$ zweimal auf und wir sagen dazu dann, dass dieser Eigenvektor eine algebraische VIelfachheit von $2$ hat. und weiter hat ${\lambda }_2$ eine algebraische Vielfachheit von 1

[!tip] Zerlegung einer Matrix Sofern wir eine Matrix $A\in M_n$ haben, und weiter noch $n$ Eigenwert: -> Aber nur n-1 Eigenvektoren, dann können wir die Matrix nicht diagonalisieren -> Aber haben auch n Eigenvektoren, dann können wir die Matrix diagonalisieren

Diagonalisierbarkeit:

Eine Matrix $A\in M_n(K)$ heißt / nennen wir diagonalisierbar, wenn wir diese zerlegen können. Bzw ist sie diagonalisierbar, wenn sie folgende Eigenschaften aufweist:

• ist invertierbar -> also $\exists S\in M_n(K)$ , wobei S das Inverse der Matrix ist!
• denn so kann gelten $A=S\cdot D\cdot S^{-1}$ Dabei ist die Struktur folgend: $$D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \dots & 0\\ ⋮& \ddots & \dots \\ 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$ Also ist $D$ eine Diagonalmatrix, deren Einträge jeweils ${\lambda }_i$ auf der Diagonale genau den Eigenwerten von $A$ entsprechen.

[!tip] Bemerkung: $$D=S^{-1}\cdot A\cdot S$$

Die Darstellung einer Matrix in der Form eines Produktes $S\cdot D\cdot S^{-1}$ ist unter Anderem zum [[#Berechnen von Matrixpotenzen]] hilfreich.

Spektralsatz:

Motivation für den Spektralsatz: Ferner die Frage: Ist jede quadratische Matrix, diagonalisierbar?

• Nein, denn wir brauchen Charakteristika bezüglich der linear abhängigen Vektoren

[!tip] Spektralsatz:

1. $A\in M_n(K)$ ist diagonalisierbar $⟺$ Es gibt $n$ linear unabhängige Eigenvektoren von $A$.
2. Besitzt $A$ n verschiedene Eigenwerte $⟹$ so ist $A$ diagonalisierbar. $$A\text{ diagonalisierbar}⟸A\text{ besitzt n verschiedene Eigenvektoren}$$

Beweis

Wir können uns dabei das Beispiel aus [[#Berechnen von Matrixpotenzen]] nochmals anschauen: $A$ ist diagonalisierbar, also folgt $\exists S$ die invertierbar ist mit $$S^{-1}\cdot A\cdot S=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)⟺A\cdot S=S\cdot \left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & {\lambda }_n\end{array}\right)$$ Sei dafür dann: $S=(s_1,\dots ,s_n)$ wobei $s_1,\dots$ den Spalten entspricht. Für die $i$-te Spalte $s_i$ von $S$ gilt dann folgend $A\cdot s_i={\lambda }_i\cdot s_i|i\in \{1,\dots ,n\}$ $⟹$ wir schließen daraus dann, dass $s_i$ ein Eigenvektor zum Eigenwert ${\lambda }_i$ von $A$ ist.

Wir können so also relativ einfach die Eigenvektoren zu gewissen Eigenwerten entnehmen / betrachten.

[!Abstract] Folgerung Es gilt also, wie wir zuvor schon gezeigt haben: $S$ ist invertierbar $⟺$ die Spalten $S_1,\dots ,S_n$ sind linear unabhängig.

diagonalisierbare Matrizen ohne $n$ verschiedene Eigenwerte:

Wir wir aus der Implikation im [[#Spektralsatz]] schon erkennen können, gibt es eben auch diagonalisierbare Matrizen, welche nicht n verschiedene Eigenwerte aufweisen:

Betrachten wir als Beispiel dafür: spezifisch möchten wir $E_n$ betrachten, denn sie ist bereits in Diagonalform vorliegend $$E_n\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & 1\end{array}\right)={\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & 1\end{array}\right)}_S\cdot {\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & 1\end{array}\right)}_D\cdot {\left(\begin{array}{ccc}1& \dots & 0\\ 0& \ddots & 0\\ 0& \dots & 1\end{array}\right)}_{S^{-1}}=S\cdot D\cdot S^{-1}$$ Sofern wir da jetzt das charakteristische Polynom berechnen möchten, folgt: $$P_{E_n}(\lambda )=(1-\lambda {)}^n=0⟹\lambda =1$$ und ist ein n-facher Eigenwert, dabei sind die Eigenvektoren die kanonischen Einheitsvektoren, also $e_1,\dots ,e_n$.

geometrische Vielfachheit:

[!Abstract] Definition Ist $\lambda \in K$ ein Eigenwert von $A\in M_n(K)$, so heißt jetzt $\dim (Ei{g}_A(\lambda ))(\ge 1)$ die geometrische Vielfachheit von $\lambda$ Wichtig: sie muss nicht mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmen, also kann gelten: $$\text{algebraische Vielfachheit}\ge \text{geometrische Vielfachheit}$$

Es gilt weiterhin noch für: $A\in M_n(K)$ $A$ diagonalisierbar $⟺$ für jeden Eigenwert von A, stimmen die algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen

Beispiel:

Betrachten wir nochmals die Einheitsmatrix $E_n$: Für $E_n$ ist ${\lambda }_1=1$ der Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit $n$. gleichzeitig ist da dann auch die $\dim (Ei{g}_{E_n})(\lambda )=n$ -> was der Geometrischen Vielfachheit entspricht. (also wenn wir sie betrachten, dann streckt diese Matrix alle Vektoren des $K^n$-Vektorraumes, um den Faktor 1). Sie sind also Eigenvektoren. und somit folgt $⟹E_n$ ist diagonalisierbar.