Beweismethoden ::

mathematischer Beweis is Herleitung der Wahrheit - Falschheit - einer Aussage einer Menge von Axiomen - nicht beweisbare Grundtatsachen - und oder bereits bewiesenen Aussagen mittels logischer Folgerungen. Bewiesene Aussagen sind Sätze

Definition :: Benennung oder Bestimmung eines Begriffs Lemma :: Hilfssatz, als Grundlage für einen wichtigeren Satz formulliert und bewiesen wird Theorem :: Satz, jedoch wichtiger Korollar :: einfache Folgerung aus Satz

normale Form:

Mathematisch Sätze haben oft die Form : Wenn V - Voraussetzung - gilt, dann gilt auch B - Behauptung - wobei V und B Aussagen sind.

Kurz $V⟶B$

Voraussetzung wird gesetzt, um Grundsatz zu bilden :: Sei V wahr $⟶$ …. $⟶B$

Bsp :: Sei $n\in N$ Ist N gerade, so ist auch $n^2$ gerade

Beweis: Sei $n\in Ngerade$ - Voraussetzung $⟶n=2\ast k$ für ein $k\in N=\exists l\in Nmitn=n=\ast 2k$ $⟶n^2=(2k{)}^2=4k^2=2\ast (2k^2)$ $⟶n^{2}isgerade.$ proof end

another example

Beweis durch Kontraposition

vgl Satz 1.9f : $A⟹B\equiv \neg B⟹\neg A$ d.h. statt $V⟹B,kannauch\ne B⟹\neg V$ gezeigt werden. Umsetzung davon :: [Es gelte $\ne B⟹\dots .⟹\neg V$ ]

Sei $n\in N$: Ist $n^2$ gerade(V), so ist auch n gerade(B).

Sei n ungerade - B negiert $\neg B$ gilt - $⟹n=2k+1$ für ein$k\in N_0$ $⟹n^2=(2k+1{)}^2=4k^{2+4+1}=2\ast (2k^2+2k)+1$ > +1 lässt Summe ungerade werden $⟹n^2$ ist ungerade $//$\neg V$

Beweis durch Widerspruch - indirekter Beweis ::

Zu Zeigen ist aus Aussage A. Wir gehen davon aus dass A nicht gelte ($\neg A$istwahr)undfolgerndurchlogischeSchl\ddot{u}sseeine2.AussageBvonderwirwissen,dasssiefalschist.WennallelogischenSchl\ddot{u}ssekorrektwaren,muss$\neg A$falschgewesensein,alsoAwahr.Bspeuklid::$\sqrt{2} \not \in Q$Beweis:wirnehmenan,dassdieAussagefalschist,also$\sqrt{2} \in Q$gilt.Daherfolgt:$\sqrt{2} = \frac{p}{q}$mitp,q$\in Z$teilerfremd(vollst\ddot{a}ndiggek\ddot{u}rzterBruch.)$\Longrightarrow 2 = \frac{p^{2} }{q^{2} } \Longrightarrow p^{2} = 2*q^2$soistpgerade,daauchp2geradeist-folgtausanderemBeweisalsop=2rf\ddot{u}rein$r \in Z\longrightarrow p^{2}= (2r)^{2} = 2q^{2} \Longrightarrow 4r^{2}= 2q^{2} \Longrightarrow 2r^{2}= q^{2} \Longrightarrow q2 ist gerade \Longrightarrow q$istgeradeAlsopgerade,ggerade>Widerspruchzup,qteilerfremd->AlsowarAnnahmefalsch,esmuss$\sqrt{2} \not \in Q$ gelten // end of proof

Vollständige Induktion ::

Eine Methode um Aussage über natürliche Zahlen zu beweisen::

Gaußsche Summenformel als Beispiel :: 1+2+3 …. 1000 = 1000/2 * (1000+1() allgemeine Vermutung zur Formulierung : $n \in N$1+2\dots +n=$\frac{n(n+1)}{2}$DabeidreiSchritten\ddot{o}tig::Induktionsanfang:$n =1$orthefirstnumberrequiredInduktionsvoraussetzung:EsgelteIAf\ddot{u}rjedesbeliebige,feste$n \in N > n_{0}$Induktionsschritt::$\forall n\in N, n \geq n_{0,start}$: Ist A(n) wahr so ist A(n+1) wahr.

Sofern Anfang und Schritt wahr sind, ist die Aussage für alle N wahr. Gemäß Domino-Prinzip