scattered-lenity

Untervektorräume: #card

specific part of [[math2_Vektorräume]]

Sei $K$ ein Körper, Sei V mit $K,+,\cdot$ ein Vektorraum. Definieren wir eine Teilmenge $U:=U\subset V,U\ne \varnothing$ als einen Untervektorraum/Unterraum , sofern gilt: Dass U mit $K,+,\cdot$ ebenfalls ein Vektorraum ist. Die Struktur ist also ähnlich, wie bei [[math2_gruppen#Halbgruppen|Halbgruppen]] . Wichtig ist die Existens des Nullvektors : also $0\in U$ ^1684967015977

Betrachten wir dafür diverse Beispiele :

Beispiele von Untervektorräumen: #card

$V={\mathbb{R}}^2,K^2,U=\{\left(\begin{array}{c}\delta \\ 0\end{array}\right)\}:\delta \in \mathbb{R}/K$ dann ist $U$ ein Unterraum von ${\mathbb{R}}^2/K^2$ ^1684967015984

Unterraumkriterium: #card

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. $\varnothing \ne U\subset V$ ist ein Unterraum von $V$ , dann gilt weiterhin: $⟺$

1. $u\in U,\delta \in K⟹\delta \cdot u\in U$ -> also eine Multiplikation mit Skalar sollte wieder mit einem Vektor i definierten Raum resultieren.
2. $u,v\in U⟹u+v\in U$ -> die Addition von zwei Vektoren sollte einen neuen ergeben, welcher ebenfalls in der Menge bzw dem Unterraum enthalten ist. Zusammengefasst heißt es auch:$\forall u,v\in U,\forall \delta ,\gamma \in K:\delta \cdot u+\gamma \cdot v\in U$ -> Also die Linearkombinationen aller Elemente ist weiterhin in dem Raum enthalten!

Beweis des Unterraumkriterium: #card

$⟹$ gilt, denn nach gegebener Definition ist $U$ bereits ein Vektorraum und somit gilt auch die Abgeschlossenheit bezüglich aller Linearkombinationen. $⟸$ gilt, sofern man die Vektorraum-Eigenschaften durchrechnet und dabei beide Paradigmen angibt, also: $\delta \cdot u\in U,u+v\in U$ ^1684967015992

Beispiel für Unterräume:

1. $V$ ist ein $K$-VR. $\mathcal{O}\ne u,v\in V,u\ne v$. Dann definieren wir folgend: $G=\{\delta \cdot v|\delta \in K\}$ –> bildet einen Untervektorraum und ist weiter eine Menge, die das Vielfache des gegebenen Vektors $v$ darstell. geometrisch betrachtet ist es eine Gerade..
2. $V={\mathbb{R}}^n$ G ist eine Gerade durch den Nullpunkt des Vektorraumes.
3. Definieren wir ferne eine Ebene $E=\{\delta \cdot u+\gamma \cdot v|\delta ,\gamma \in K\}$. Es beschreibt eine Ebene durch $\mathcal{O}$
4. für einen Vektor $w\ne \gamma \cdot v(\gamma \in K)$ , also einem Vektor, außerhalb einer Gerade(geometrisch können wir eine weitere Menge $G^{\prime }=\{w+\delta \cdot v|\delta \in K\}$ definieren, die jedoch kein Unterraum ist. geometrisch betrachtet ist es eine parallel verschobene Gerade $G$, das Problem dabei ist dann, dass sie keinen Nullvektor mehr beinhaltet!
5. Sei $V={\mathbb{R}}^3$ dann können wir eine Menge/Ebene $U_1=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3|x_1+x_2-x_3=0\}$ beschreiben, die nur nach bestimmten Kriterien gefüllt wird –> Muss die Gleichung lösen. Es handelt sich um einen Unterraum, das müssen wir jedoch zeigen.
   Starten wir mit dem Nullvektor: $\mathcal{O}\in U_1$ denn $0+0-0=0\square$ Multiplikation im Raum: $\delta \in \mathbb{R},u=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)\in U_1$ Also für u gilt $x_1+x_2-x_3=0$ Wir prüfen jetzt: $\delta \cdot u=\left(\begin{array}{c}\delta \cdot u_1\\ \delta \cdot u_2\\ \delta \cdot u_3\end{array}\right)=\delta u_1+\delta u_2-\delta u_3=\delta (u_1+u_2-u_3)=0\square$ Dadurch haben wir die Bedingung erfüllt! Wir können jetzt weiter $u=\left(\begin{array}{c}{u}_1,u_2,u_3\end{array}\right)v=\left(\begin{array}{c}{v}_1,v_2,v_3\end{array}\right)\in U_1$ Also Vektoren im Raum. Gilt jetzt $u+v\in U_1$?: $u+v=u=\left(\begin{array}{c}{u}_1+v_1,u_2+v_2,u_3+v_3\end{array}\right)=(u_1+v_1)+(u_2+v_2)-(u_3+v_3)=(u_1+u_2-u_3)+(v_1+v_2-v_3)=0+0=0\square$ Wir haben also einen Unterraum definiert, da die Kriterien erfüllt wurden!

Vektorraum einer Ebene: $U_1=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_{1+2}\end{array}\right)|x_1,x_2\in \mathbb{R}\}=x_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)|x_1,x_2\in \mathbb{R}$ –> wir beschreiben eine Ebene, welche auch ein UNtervektorraum ist!. Sie reduziert die gegebene Dimension von $R^3⟶R^2$ beispielsweise…

$U_2=\{\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^3|x_1+x_2-x_3=1\}$ ist kein Untervektorraum, warum? Weil wir keinen Nullvektor habe $\mathcal{O}$ !

weiteres Beispiel:

Sei $I\subseteq \mathbb{R}$ ein Intervall. C eine Funktion auf $I$ Dann ist die Menge $C(I)$ -> continuous/stetig auf $I$ Dann ist die Menge $C(I)\subseteq \mathbb{R}$ ein Unterraum von der übergeordneten Menge $F(I,\mathbb{R})$ -> Beispiel eines Unterraumes im Funktionen-Raum