Ringe und Körper :

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zuvor haben wir primär Strukturen angeschaut, die nur eine Verknüpfung ($\cdot ,+,\dots$) implementiert hat. Wollen wir jedoch eine Menge mit mehreren möglichen, spezifisch nur $\cdot ,+$, Verknüpfungen betrachten.

Definition Ring :

Sei $R\ne \varnothing$ eine Menge mit zwei Verknüpfungen $+$ und $\cdot$. Dann heißt eine Struktur $(R,+,\cdot )$ RING, falls folgende Bedingungen erfüllt werden:

1. $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe –> [[math2_gruppen#Definition:]] Dabei betrachten wir das neutrale Element $e=0$ und das Inverse Element zu a mit $a^{-1}=-a$. Wir können es dann folgend notieren: $a-b⟺a+(-b)$ da wir $-$ als ein beschreibendes Vorzeichen nutzen und dennoch addieren können
2. $(R,\cdot )$ muss eine Halbgruppe bezüglich der Multiplikation sein. –> [[math2_gruppen#Halbgruppen :]] d.h. wir müssen hier mindestens Assoziativ zeigen, das Inverse und neutrale Element müssen nicht zwingend existieren –> Schließt diese Existenz aber nicht aus!
3. Weiterhin muss das Distributivgesetz gelten: $a\cdot (b+c)⟺(a\cdot b)+(a\cdot c)⟺ab+ac$ und $(a+b)\cdot c⟺(a\cdot c)+(b\cdot c)⟺ac+bc$ $\forall a,b,c\in R$ Wir haben diese Regel auch mit Punkt-Vor-Strich-Konvention beschrieben –> weswegen wir das Ganze auch einfach ohne Klammern niederschreiben können.
4. $(R.+,\cdot )$ wird Ring mit Eins genannt, falls gilt, dass $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist, in der ein neutrales Element mit $1\ne 0$ existiert, also das neutrale Element der Multiplikation ungleich des neutralen Element der Addition ist, und weiterhin gilt: $a\cdot 1=1\cdot a=a\forall a\in R$
5. Ist $(R,+,\cdot )$ ein Ring mit Eins, so heißen bezüglich der Multiplikation $\cdot$ die invertierbaren Elemente Einheiten. Wir beschreiben es dann mit : $a\in R$ bezüglich der Multiplikation $a^{-}1$. Weiterhin beschreiben wir mit $R^{\ast }$ dann die Menge der Einheiten in $R$

Bei den meisten Körpern, die wir betrachten, ist das Einselement meist einfach mit $1$ bezeichnet. Wenn wir uns jedoch den Raum von Vektoren anschauen, dann kann da das Einselement auch eine Matrize mit diverse Einträgen sein und weicht somit von der 1 ab.

Beispiele ::

1. $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ kommutativ, Ring mit Eins (1)
   1. $({\mathbb{Z}}^{\ast })\in \{1,-1\}$
2. $(\mathbb{Q},+.\cdot )$ sowie $(\mathbb{R},+,\cdot )$
3. Weiterhin können wir die Menge der Einheiten beschreiben: ${\mathbb{Q}}^{\ast }=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$ und ${\mathbb{R}}^{}=\mathbb{R}\setminus \{0\}$
4. $(2\mathbb{Z},+,\cdot )$ als kommutativer Ring ohne Eins
5. der triviale Ring $\{0\},+,\cdot$ ohne Eins
6. Sei $$\begin{gathered} m\in \mathbb{N},m \\ geq2 \end{gathered}$$: $({\mathbb{Z}}_m,\oplus ,\odot )$ ist ein kommutativer Ring mit Eins
7. $({\mathbb{R}}^n,+,\cdot )$ ist auch ein kommutativer Ring mit Eins

Allgemein folgern wird: $R_1,\dots ,R_n$ sind Ringe$⟹$ $R_{1}x,\dots ,R_{n}x$ sind auch Ringe

Rechnen mit Ringen :

Sei $(R,+,\cdot )$ ein Ring, und $a,b\in \mathbb{R}$. Dann muss gelten:

1. $a\cdot 0=0\cdot a=0$ –> Die 0 ist jetzt nicht mehr nur das neutrale Element der Addition, sondern sie terminiert auch Werte und reduziert sie auf 0 bezüglich der Multiplikation Man nennt es auch das absorbierende Element in der Multiplikation
2. $(-a)\cdot b=a\cdot (-b)=-(a\cdot b)$
3. $(-a)\cdot (-b)=a\cdot b$

Beweis der Rechenregeln:

1. Es gilt $a\cdot 0=a\cdot (0+0)⟺a\cdot 0+a\cdot 0$ Wir addieren $-(a\cdot 0)$(das Inverse von $a\cdot 0$) auf beiden Seiten und resultieren mit: $0a\cdot 0$ und Analog dazu: $0\cdot a=0$
2. Es gilt $(-a)\cdot b+a\cdot b{=}^{\text{Distributivgesetz}}(-a+a)\cdot b=0\cdot b-0$ Also ist $(-a)\cdot b$ das Inverse zu $a\cdot b$, d.h. $(-a)\cdot b=-(a\cdot b)$
3. $(-a)(-b)=-(a\cdot (-b))=-(-a\cdot b)=a\cdot b$

Bemerkung: 1,-1 als Einheiten :

In jedem Ring mit Eins sind 1 und -1 Einheiten - denn $(-1)\cdot (-1)=1$ also -1 ist sein eigenes Inverses ( gemäß der zuvor betrachteten Definition!) Es kann mehr geben, so beispielsweise $1=-1$ in $(\mathbb{Z},\oplus ,\odot )$ denn $1\oplus 1=0,1\odot 1=1$ Im Gegensatz kann 0 keine Einheit sein, denn es kann nie $1\ne 0$ gelten!

Binomialsatz in Ringen :

In einem kommutativen Ring $R$ gilt der Binomialsatz: Also : $(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}(n\in \mathbb{N},a,b\in R)$

in 2er Potenzen ergeben sich da dann die binomischen Formel

Dabei gilt folgendes: $a^0{b}^n=b^n$ –> es kann im Ring auch keine 1 geben, dann gilt es dennoch! und weiterhin auch $a^n{b}^0=a^n$ $a^k=a_1\cdot \dots \cdot a_k$ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}=a^{k{b}^{n-k}+\dots +}{a}^k{b}^{n-k}$ und das ganze $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$-mal konkatenieren.

Definition Körper / Fields $\mathbb{F}$ ::

Ein kommutativere Ring $(K,+,\cdot )$mit Eins –> vollständige Gruppe mit neutrales El 1 in der Multiplikation, heißt Körper $\vee$ field($\mathbb{F}$, wenn jedes Element $-\ne x\in K$ eine Einheit ist,( d.h wenn $K^{\ast }=K\setminus \{0\}$) gilt.

Wir sprechen also von einem Körper, wenn wir für jedes Element ein Inverses existiert (gilt also nicht für alle, da wir sonst keinen kompletten Ring mit Eins haben)

Beispiele ::

1. $(\mathbb{Q},+,\cdot )$ und $(\mathbb{R},+,\cdot )$ sind Körper, da sie in ihrer Definition abgeschlossen sind

   Außer für die 0 aber die lassen wir bewusst aus, weil man sie nicht invertieren kann //

2. $(\mathbb{Z},+,\cdot )$ beschreibt kein Körper, da die Inversen nicht immer gebildet werden können.

Körper aus Mengen ${\mathbb{Z}}_m$

${\mathbb{Z}}_m^{\ast }=\{x\in {\mathbb{Z}}_m|gcd(x,m)=1\}$ ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation $\odot$ $⟹({\mathbb{Z}}_m,\oplus ,\odot )$ ist genau dann ein Körper, wenn $m$ eine Primzahl ist –> Denn sonst findet sich kein Inverses für jedes Element. Ein Gegenbeispiel sei gegeben mit: $({\mathbb{Z}}_6,\oplus ,\odot )$ Denn wie wir zuvor betrachtet haben, sind alle Elemente, die nicht teilerfremd zu unserem Raum sind, $(6)$ in dem Beispiel, ohne die Existenz eines Inversen Elementes!

Rechnen in Körpern \ Nullteilerfreiheit ::

Sei $(K,+,\cdot )$ ein Körper und $a,b,\in K$ Dann gelten folgende Regeln:

1. $a-b=0⟺a=0\vee b=0{⟺}^{\text{denn es gilt}}x(x-1)=0⟺x^2-x=0$

   Wir können passend aufteilen und so die ganze Formulierung vereinfachen

Beweise:

Wir wollen die erste Regel (1) beweisen: Beweis:$⟸$: betrachten wir folgend: $0\cdot \vee a\cdot 0=0$ haben wir zuvor bereits bewiesen, bzw. gezeigt Beweis:$⟹$: Sei $a\cdot b=0$, und nehmen wir weiter an, dass $a\ne 0$, also $\exists a^{-1}$
Dann folge daraus die Beschreibung von $b$ mit: $b=1\cdot b=(a^{-1}\cdot a)\cdot b=a^{-1}(a\cdot b{)}_{=0}$

Wir können ferner einen bestimmten Körper betrachten, der versucht (hat) die Operationen $\in \mathbb{R}$ abzuschließen –> $\sqrt{2}=?⟹i=-1$ [[math2_komplexeZahlen|Körper der komplexen Zahlen]]