Gauß Jordan-Algorithmus :

specific part of [[math2_Matrizen_Grundlage]] and [[math2_Matrizen_LGS]] broad part of [[103.00_anchor_math]]

Zuvor haben wir bereits betrachtet, dass ein LGS genau eine Lösung haben kann. Wenn wir das wissen und das Ergebnis berechen wollen, können wir das so tun, dass wir die Zeilenstufenform generieren und anschließend mit dieser Form die ganze Matrix auf eine Diagonalform umstellen.

Anwendung:

Sei also gegeben: $Ax=b,A\in M_n(K),b\in K^n,rg(A)=n$ Nach der vorherigen Bemerkung [[#Lösungsräume von LGS]] besitzt dieses LGS genau einen Vektor $x\in K^n$ als valide Lösung! Wir können diesen unter Anwendung des [[#Gaußches Eliminitationsverfahren]] herausfinden. Statt nun aber nur auf eine Zeilenstufenform zu reduzieren, können wir $(A,b)$ dann weiter auf die Form $(E_n,b^{\prime })$ bringen –> also wir reduzieren sie so, dass sie eine Diagonalmatrix mit dem gelösten Vektor $b^{\prime }$ erhalten. Dies ist unter Anwendung weiterer elementarer Zeilenumformungen möglich. $b^{\prime }$ ist dann genau die Lösung, also $=x$

Beispiel:

Sei $\begin{array}{cc}2x_1+x_2& =10\\ x_1+3x_2& =15\end{array}$ uber $\mathbb{R}$. Wir möchten die erweiterte Koeffizientenmatrix betrachten: $(A,b)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& |10\\ 1& 3& |15\end{array}\right){⟺}^{\text{i - 2ii, vertauschen}}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& |10\\ 0& -5& |-20\end{array}\right){=}_{\text{ii 1/5}}\left(\begin{array}{ccc}2& 1& |10\\ 0& 1& |4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& |6\\ 0& 1& |4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& |3\\ 0& 1& |4\end{array}\right)$ und das entspricht der Lösung! also $x=\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)$